2021-2022学年辽宁省葫芦岛市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省葫芦岛市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45分）

1. 已知复数其中为虚数单位在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知为锐角，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5. 万花筒，是由苏格兰物理学家大卫布鲁斯特爵士发明的一种光学玩具，将有鲜艳颜色的实物放于圆筒的一端，圆筒中间放置一正三棱镜正三棱柱，另一端用开孔的玻璃密封，由孔中看去即可观测到对称的美丽图像．如图，已知正三棱镜底面边长为，高为，现将该三棱镜放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面积至少为容器壁的厚度忽略不计，结果保留(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数的图象为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为结果保留整数(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在等腰中，已知，，，分别是边，上的点，且，其中，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 复数，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15分）

10. 对函数的表述错误的是(    )

A. 最小正周期为
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在区间上递增
D. 点是图象的一个对称中心

11. 已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，分别与、所成的角相等，则
D. 若，，，若，则、、交于同一点

12. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是(    )

1. 
   B.
   C.
   D. 对任意的，

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 写出两个与终边相同的角______．
14. 函数的周期为，则的值为______；的单调递减区间为______．
15. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜如图，已知“天眼”的形状为球冠球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的直径，球冠的高，则球的半径______精确到整百．
16. 已知同一平面上的和分别是边长为和的正三角形其中，，和，，均按逆时针排列，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，均为锐角，且．
    求的值；
    求的值．
18. 如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面．
    求证：直线直线；
    平面平面．

19. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，角，，的对边分别为，，，且满足_____，．
    ；
    ；
    ．
    求角；
    求周长的取值范围．
20. 已知，，函数的周期为，当时，函数有两个不同的零点，．
    求函数的对称中心的坐标；
    实数的取值范围；
    (ⅱ)求的值．
21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，已知，且平面，．
    在线段上确定一点使得平面平面，并说明理由；
    若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正切值．

22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内包含边界，则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为．
    若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
    已知机器人甲的速度是机器人乙的速度的．
    (ⅰ)若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
    (ⅱ)如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数其中为虚数单位在复平面内对应的点在第四象限，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为为锐角，，
所以．
故选：．
由已知利用诱导公式可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
则实数．
故选：．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．

【解答】

解：把函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理可得正三棱柱的底面外接圆半径，
即圆柱底面圆半径，又圆柱的高，
圆柱的侧面积为．
故选：．
先由正弦定理求出圆柱底面圆半径，再求圆柱的侧面积即可得解．
本题考查正弦定理，圆柱的侧面积，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是基础题，考查三角函数的图象与性质，注意函数的奇偶性，三角函数值的应用，考查计算能力、推理能力，常考题型．
利用正切函数的奇偶性，判定函数的奇偶性，结合的范围确定函数值的正负来判断的图象的正确选项．
【解答】
解：因为是奇函数，
所以是奇函数，
因此，不正确，
又因为时函数值为正，
所以不正确，
故A正确；
故选A．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，以及实际应用题与解三角形的综合应用．
在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据直角三角形算出即可．

【解答】

解：由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，，
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：在等腰中，已知，，
，
，分别是边，的中点，
，，
，
两边平方得，，
，
，其中，，即，
当时，的最小值为，
的最小值是，
故选：．
利用向量的数量积运算和线性运算得到，再利用模的运算整理成关于以为变量的二次函数，再利用二次函数求最值即可．
本题考查向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，二次函数性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，故A错误，
，，
当，都不等于时，，故B错误，
，，
故，故C正确，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以：函数的最小正周期为，
当时，，
故：选项A、B正确．
令：，
解得：，
当时，函数的单调增区间为，
故：选项C正确．
故选：．
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与平面的位置关系，空间中共点、共线问题，面面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，等角定理，属于较易题．
根据空间中直线与平面的位置关系即可判断；由面面垂直的性质及线面垂直的判定定理即可判断；利用直线与平面所成的角即可判断；根据空间中共点、共线问题即可判断．

【解答】

解：、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，
对于，若，，则或，故A错误；
对于，若，，，设，，，
在平面内作，在平面内作，
因为，，，，所以，又，所以，
因为，，，，所以，又，所以，
又、，，所以，故B正确；
对于，若，、分别与、所成的角相等，则与相交或平行或异面，故C错误；

对于，若，，，设，如图所示，则故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：依题意，即，
在中，由正弦定理可得，所以，
因为，
所以，
所以，
即，故A正确；
又，
，
所以，即，
所以，即，
所以，故C正确，B错误；
因为，所以，则，
所以




，故D正确；
故选：．
依题意，即，再根据所给定义及三角恒等变换公式一一计算可得．
本题考查了正弦定理和三角恒等变换公式的应用，属于中档题．
 

13.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：与角终边相同的角的集合为，
取，可得；
取，可得，
故与角终边相同的角是，．
故答案为：，答案不唯一．
写出与角终边相同的角的集合，取值得答案．
本题考查终边相同角的概念，是基础题．
 

14.【答案】  ， 

【解析】解：因为函数的周期，
所以，
所以，
令，，
所以，，
所以函数的单调递减区间为，，
故答案为：，，．
根据题意可得，解得，令，，即可得出函数的单调递减区间为，．
本题考查正弦型函数的周期和单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如下图所示：

球心到截面圆的距离为，
由勾股定理可得，化简得，
解得，
又，，
所以，
故答案为：．
作出图形，可知球心到截面圆的距离为，利用勾股定理列等式可求得．
本题考查了球的截面圆的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
则



，
，，，
．
故答案为：．
设，则，根据数量积的运算律，将转化为关于的三角函数，再根据正弦函数的性质计算即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的表示以及计算和三角函数的图象与性质，考查计算能力，属中档题．
 

17.【答案】解：由为锐角，且，知，
因为，均为锐角，所以，
又，所以，
所以．
． 

【解析】先利用同角三角函数的平方关系求得和的值，再根据，并利用两角差的余弦公式，展开运算，得解；
根据，利用两角和的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】证明：直线平面，，平面平面，
．
，是的中点，
是的中点，
又，
，
又，，
，
又，，，，平面，
平面，
又平面，
平面平面． 

【解析】由线面平行的性质定理证明即可；
由线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可．
本题考查了线面平行的性质定理以及面面垂直的证明，属于基础题．
 

19.【答案】解：选，，
由正弦定理得，，
因为，
所以，即，
由为三角形内角得，；
选，，
，
整理得，，
由为三角形内角得，；
选，，
由三角形面积公式得，，
故，
由为三角形内角得，；
因为，
由余弦定理得，，
故，
所以，当且仅当时取等号，
解得，，
因为，
故．
周长的取值范围． 

【解析】选，，结合正弦定理及同角基本关系可求，进而可求；
选，，结合二倍角公式进行化简可求，进而可求；
选，，结合三角形面积公式及向量数量积定义进行化简求，进而可求；
由余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，二倍角公式，三角形的面积公式及向量数量积的定义的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，
．
因为函数的周期为，所以所以，
由，得，
所以的对称中心为．
由，得，
作出函数在上的图像，如图所示．

由图可知，，所以的取值范围为，
由图可知，，所以． 

【解析】根据向量数量积的坐标运算以及降幂公式、辅助角公式可将化为三角函数的一般形式，根据周期性求出的值，由三角函数的对称性即可得结果；
题意转化为的图象与交点的情形，进而得的范围以及的值，进而可得结果．
本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：为中点，证明如下：
连接，，过作于，

于是在中，，，故，
在中，，，故，
所以，为等腰三角形，
又平面，，
所以，为等腰三角形，
故在等腰三角形和等腰三角形中有，，
又，且，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
由的结果可知，为二面角的平面角，
在中，，
，
所以，
由中证明可知平面，
故与平面所成角为，
在中，，又，
与平面所成角的正切值为． 

【解析】为中点，连接，，过作于，由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；
由线面角与二面角的定义求解即可．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：如图，在中，由余弦定理得，
，
所以．
所以，当且仅当时等号成立．
故两机器人运动路程的和的最大值为．

在中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，
故A，由正弦定理可得，
所以．
设，则，．
由余弦定理可得，
所以，
所以．
由题意得，，当且仅当时取到等号．
所以矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 

【解析】用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值；
利用正弦定理求得；
设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值．
本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形及二次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．