2021-2022学年安徽省合肥市肥东县综合高中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省合肥市肥东县综合高中高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年是中国共产党成立周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，首批支短视频全网发布，传扬中国共产党伟大精神，为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从青春之歌、闪闪的红星、英雄儿女、焦裕禄等四支短视频中随机选择两支观看，则选择观看青春之歌的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在张电话卡中，有张移动卡和张联通卡，从中任取张，若事件“张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(    )

A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡
C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡

3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高现随机抽取位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为，，，，，，，，，则这组数据的分位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设是复数的共轭复数，若，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知一个堑堵的底面积为，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一．端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰．粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同．某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄．若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(    )
   参考数据：，

A.  B.  C.  D.

8. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是(    )

A. 与是异面直线
B. 平面
C. ，为异面直线，且
D. 平面
 

9. 如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为(    )

A.
B. 截面
C.
D. 异面直线与所成的角为
 

10. 已知，，为三条不同的直线，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则

11. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为棱上的点，且，现有下列结论：
    当时，平面；
    存在，使得平面；
    当时，点到平面的距离为；
    对任意，直线与都是异面直线．
    其中所有正确结论的编号为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况、统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例；得到如下饼图：
    
    则下面结论中不正确的是(    )

A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量与满足，则与的夹角为______．
14. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，，，为的中点，平面，若，试求异面直线与所成角的余弦值          ．

15. 如图是一名护士为一位病人测量体温所得数据的折线统计图．以下描述正确的是______填上所有正确的序号
    护士平均每天为病人测量次体温；
    第一天病人病情并未得到有效控制，体温在不断反复；
    从第二天凌晨起病人体温在一直下降；
    病人体温的极差为．

16. 某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    设是虚数，是实数，且．
    求的值；
    求的实部的取值范围．
18. 本小题分
    已知，，分别为内角，，的对边，．
    求；
    若，的面积为，求的周长．
19. 本小题分
    如图，一座山其高为，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从往匀速行驶，在处测得山顶的仰角为，经过后汽车到达处，这时测得山顶的仰角为，且．
    求这辆汽车的速度；
    若汽车从往行驶秒时到达处，求此时山顶与汽车的距离．

20. 本小题分
    如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点．
    证明：平面平面；
    若平面，求三棱锥的体积．

21. 本小题分
    如图，已知四边形为梯形，，，为矩形，且平面平面，又，．
    证明：平面；
    求到平面的距离．

22. 本小题分
    年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照，，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图．
    试估计这名果农苹果销售量的平均数；
    根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的分位数结果精确到；
    假设这名果农在未打开销路之前都积压了万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失元的成本费，试估计这名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对青春之歌、闪闪的红星、英雄儿女、焦裕禄等四支短视频编号，分别为，，，，
则样本空间为，，，，，，
其中事件“随机选择两部，选择观看青春之歌”包含的样本点为：
，，，
所以由古典概型得计算公式可得所求概率为．
故选：．
对青春之歌、闪闪的红星、英雄儿女、焦裕禄等四支短视频编号，分别为，，，，从四支短视频中随机选择两支观看，利用古典概型、列举法能求出选择观看青春之歌的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在张电话卡中，有张移动卡和张联通卡，
从中任取张，若事件“张全是移动卡”的概率是，
概率是的事件是“张全是移动卡”的对立事件，
概率是的事件是“至多有一张移动卡”．
故选：．
由已知得概率是的事件是“张全是移动卡”的对立事件，由此能求出结果．
本题考查事件的对立事件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的性质的合理运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以数据，，，，，，，，，的分位数是
．
故选：．
根据百分位数的定义，即可求出该组数据的分位数．
本题考查了百分位数计算问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数模的运算，主要考查了复数模的运算性质的理解与应用，属于基础题．
利用复数模的运算性质求解即可．

【解答】

解：因为复数，
则．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：设，为实数，
因为，
所以，
即，
所以，
所以，或，
当，时，，
当，时，．
故选：．
结合复数的四则运算及复数相等条件可求，代入所求式子进行化简可求．
本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，考查了数学运算的核心素养，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，若堑堵的底面积为，体积为的球与其各面均相切，
如图：是球在底面的俯视图，
设球的半径为，则，解可得；
设棱柱的底面周长为，则，解得，
故该堑堵的侧面积为：，
该堑堵表面积为：．
故选：．
根据题意，利用球体的体积公式可得内切接球的半径，得到三棱柱的高，求出三棱柱的底面三角形的边长，即可求解该堑堵的表面积．
本题考查棱柱、球的体积、表面积的计算，弄清楚直三棱柱与外接球之间的一些数据关系，是解本题的关键，属于中等题．
 

7.【答案】 

【解析】解：蛋黄近似看成一个棱长为的正四面体的内切球，
正四面体为，设四面体的内切球的球心为，内切球半径为，
则球心到四个面的距离都是，
四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
四面体的内切球半径，
棱长为的正四面体的表面积，
棱长为的正四面体的高，
棱长为的正四面体的体积，
可得，
包裹的蛋黄的最大体积为．
故选：．
蛋黄近似看成一个棱长为的正四面体的内切球，正四面体为，设四面体的内切球的球心为，内切球半径为，由四面体的体积为，求得四面体的内切球半径，即可求解．
本题考查正四面体外接球与内切球半径的求法，考查数形结合的思想方法，训练了利用等积法求正四面体内切球的半径，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；
不正确，由题意知，上底面是一个正三角形，故不可能存在平面；
C正确，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；
不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；
故选：．
由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查线面平行的性质与判定．属于基础题．
首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把、平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．
【解答】
解：因为截面是正方形，所以、，
则平面、平面，
所以，，
由可得，故A正确；
由可得截面，故B正确；
异面直线与所成的角等于与所成的角，故D正确；
，．
，，
而当时，由，知，
故C错误．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：，若，，则或，故A不正确．
，若，，，则或与相交，故B不正确．
，若，，则或，故C不正确．
，如图，由可得，易证，故D正确．

故选：．
由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可．
本题考查空间线面的位置关系．使用空间线面、面面平行垂直的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论．
 

11.【答案】 

【解析】解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，所以平面的法向量为
，，，因为，所以与平面不平行，错误．
，，，所以与不垂直，故与平面不垂直，错误．
，，所以平面的法向量为．
又，所以到平面的距离为，正确．
因为，，在平面内，在平面外，所以与为异面直线，正确．
故选：．
以为原点，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与的关系判断选项，利用与的关系判断选项，利用公式求点到平面的距离．
本题考查空间向量在线面位置关系，点到平面的距离的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设新农村建设前农村经济收入为，可得新农村建设后农村的经济收入为，
则新农村建设前，农村的种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为，
新农村建设后，农村的种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为，
对于，新农村建设后，种植收入增加，故选项A错误；
对于，新农村建设后，其他收入增加了倍，故选项B正确；
对于，新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故选项C正确；
对于，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和点总收入的比例为，超过经济收入的一半，D正确．
故选：．
利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，则，再设与的夹角为，
若，则有，变形可得，则，
又由，故，则，
故，
又由，则；
故答案为：．
根据题意，设，再设与的夹角为，由，变形可得，又由，分析可得，由向量夹角公式求出的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
取中点，连结，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．

【解答】

解：取中点，连结，
四棱柱的底面是平行四边形，
，，，为的中点，，，又平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

，，设，则，
，，
解得，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为： ．

15.【答案】 

【解析】解：天给出个数据，所以平均不到次，所以不正确；
由图可知第一天病人病情并未得到有效控制，体温在不断反复；所以正确；
由图知，第三天体温略有上升，所以不正确；
由图知极差为，所以正确；
故答案为：．
根据体温折线图可得答案．
本题考查折线图的数据调查的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，
设表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意，，
甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：


．
故选：．
设表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意，，能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】设，
则，
是实数，且，
，得，
．
由知，
则，即，
的实部取值范围为． 

【解析】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的模公式，即可求解．
由知，则，即，即可求解．
 

18.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，即，
由为三角形内角得；
由知，
的面积，
所以，
由余弦定理得，
所以，
故．
所以的周长为． 

【解析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合二倍角公式可求，进而可求；
由已知结合三角形面积公式可求，然后结合余弦定理可求，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及二倍角公式，还考查了三角形的面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：如图所示：

根据题意得：，，，
由于平面，
所以和都是直角三角形，
所以，，，由于
由于．
所以为直角三角形，
所以，
所以．
汽车从往行驶秒时到达处，故BE，
在中，，
在中，
利用余弦定理：，
解得． 

【解析】直接利用线面垂直的性质，判定和为直角三角形，进一步利用勾股定理的应用求出结果；
利用的结论和余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的值，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

20.【答案】证明：平面，平面，，
四边形是正方形，，，平面，平面，
平面，平面，
平面平面；
解：平面，平面，平面平面，
，又是中点，是中点，
． 

【解析】，可推出平面，进而可证平面平面；
平面，可得出是中点，可得可求体积．
本题考查面面平行的证明，考查空间几何体的体积，属中档题．
 

21.【答案】解：证明：为矩形，且平面平面，
平面，平面，
，，．
在梯形中，，，，
，，从而，
在中，，，，
，
．
在中，，，，
，
．
，
平面A.
在中，，，
则的面积，
三棱锥的体积，
在中，，而，
的边上的高．
的面积，
设点到平面的距离为，
由等体积法得，
，则，
到平面的距离为． 

【解析】推导出平面，平面，，，，由此能证明平面A.
设点到平面的距离为，由等体积法能求出到平面的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：设这名果农苹果销售量的平均数为百千克，
则，
故这名果农苹果销售量的平均数为万千克．
因为，，
所以分位数在第组内，且分位数为．
销售量在的每位果农的利润为万元；
销售量在的每位果农的利润为万元；
销售量在的每位果农的利润为万元；
销售量在的每位果农的利润为万元．
因为，，，这组的人数分别为，，，，
所以这名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为万元． 

【解析】由频率分布直方图能求出这名果农苹果销售量的平均数．
由，，得到分位数在第组内，由此能求出分位数．
分别求出销售量在、、、的每位果农的利润和，，，这组的人数，由此能求出这名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润．
本题考查平均数、分位数、总利润的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．