江西省南昌青云谱区民德学校2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

这是一份江西省南昌青云谱区民德学校2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江西省南昌市青云谱区民德学校八年级（下）
期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝（　　）
A．4 B．12 C．24 D．28
3．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
4．（3分）期中考试后，甲说：“我组成绩是86分的同学最多”，乙说：“我组9人成绩排在最中间的恰好也是86分”，两位同学的话反映的统计量分别为（　　）
A．众数和中位数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和平均数
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）交y轴于点A，交x轴于点B，且（AB+OA）（AB﹣OA）＝，则不等式kx+b＞0的解集为（　　）

A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
6．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝　 　．

9．（3分）已知点M（m，3）在直线y＝2x﹣1上，则m＝　 　．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 　 　．

11．（3分）已知a﹣＝﹣1，则a2+的值为 　 　．
12．（3分）E是菱形ABCD的对角线BD上的一点，且△ABE和△ADE都为等腰三角形，则∠DAE的大小为 　 　．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．

15．（6分）先化简，再求值．先化简：÷（1﹣），再求值，其中a＝﹣1．
16．（6分）已知y﹣4与x成正比，且当x＝﹣1时，y＝2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当y＝﹣2时，求x的值．
17．（6分）如图，在8×4的正方形网格中，A，B均在网格线的格点上．请仅用无刻度直尺按以下要求作图．（保留作图痕记）

（1）在图1中，作出一个以AB为斜边的直角三角形．
（2）在图2中，作出一个以AB为直角边，且面积为的直角三角形．

18．（6分）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）求一班参赛选手的平均成绩；
（2）此次竞赛中，二班成绩在C级以上（包括C级）的人数有几人？
（3）求二班参赛选手成绩的中位数．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝，点D在AB上，且BD＝1，CD＝2．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．

21．（8分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的相对小数部分．如[2.13]＝2，2.13的相对小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13．
（1）[]＝　 　，的相对小数部分＝　 　．﹣3.2的相对小数部分＝　 　．
（2）设的相对小数部分为m，求（+[]）m的值．
（3）设2﹣的相对小数部分为x，y为有理数．若x（x+y）的值为有理数，求x（x+y）的值．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）已知甲、乙两地相距90km，A、B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A、B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求直线OC和DE的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当B出发几小时后，A在B的前面？

23．（9分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G．
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由．
（2）在（1）条件下，若AB＝6，求EF的长．

六、（本大题共12分）
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC＝S△AOB，求直线PC的表达式．
（3）若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年江西省南昌市青云谱区民德学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可判断．
【解答】解：（A）原式＝3，故A不是最简二次根式，
（B）原式＝2，故B不是最简二次根式，
（D）原式＝，故D不是最简二次根式，
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．
2．（3分）已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝（　　）
A．4 B．12 C．24 D．28
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，根据2（AB+BC）＝32，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）＝32，
∴BC＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
3．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵92+122＝225，152＝225，
∴92+122＝152，
∴以9，12，15为边能构成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13为边能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵82+152＝289，172＝289，
∴82+152＝172，
∴以8，15，17为边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵182+122＝468，222＝484，
∴182+122≠222，
∴以18，12，22为边不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（3分）期中考试后，甲说：“我组成绩是86分的同学最多”，乙说：“我组9人成绩排在最中间的恰好也是86分”，两位同学的话反映的统计量分别为（　　）
A．众数和中位数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和平均数
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．
【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，
故选：A．
【点评】本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小．
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）交y轴于点A，交x轴于点B，且（AB+OA）（AB﹣OA）＝，则不等式kx+b＞0的解集为（　　）

A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
【分析】先由已知求出B的坐标，再数形结合写出直线在x轴上方部分的x的取值范围可得答案．
【解答】解：∵（AB+OA）（AB﹣OA）＝，
∴AB2﹣OA2＝，即OB2＝，
∴OB＝（负值已舍去），
∴B（，0），
由图象可知：不等式kx+b＞0的解集为x＜，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数解析式的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣8，
∴点A的坐标为（﹣8，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣4，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣4，2），D′（0，﹣2），
∴，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
故选：B．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝　10　．

【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9．（3分）已知点M（m，3）在直线y＝2x﹣1上，则m＝　2　．
【分析】把M点的坐标代入函数解析式，即可求出答案．
【解答】解：∵点M（m，3）在直线y＝2x﹣1上，
∴代入得：3＝2m﹣1，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能得出关于m的方程是解此题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 　12　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
11．（3分）已知a﹣＝﹣1，则a2+的值为 　5﹣2　．
【分析】先根据完全平方公式得出a2+＝（a﹣）2+2a，再代入，最后求出答案即可．
【解答】解：∵a﹣＝﹣1，
∴a2+
＝（a﹣）2+2a
＝（﹣1）2+2
＝2﹣2+1+2
＝5﹣2，
故答案为：5﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
12．（3分）E是菱形ABCD的对角线BD上的一点，且△ABE和△ADE都为等腰三角形，则∠DAE的大小为 　72°或36°　．
【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：如图，当点E离点D比较近时，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴设∠ABD＝∠DAB＝x，
∵△ABE和△ADE都为等腰三角形，
∴AE＝DE，AB＝BE，
∴∠ADE＝∠EAD＝x，∠BAE＝∠BEA，
∵∠AEB＝∠ADE+∠EAD，
∴∠AEB＝2x＝∠BAE，
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，
∴x＝36°，
∴∠DAE＝36°，
当点E'离点B比较近时，同理可求∠DAE'＝72°，
综上所述：∠DAE＝72°或36°．
故答案为：72°或36°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）计算：．
【分析】在二次根式的加减运算中，先对各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．
【解答】解：原式＝
＝
＝14．
【点评】二次根式加减的实质是合并同类二次根式．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝11，继而代入可求出△OCD的周长．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝11，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝18，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝18+11＝29．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
15．（6分）先化简，再求值．先化简：÷（1﹣），再求值，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝﹣•
＝﹣，
当a＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）已知y﹣4与x成正比，且当x＝﹣1时，y＝2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当y＝﹣2时，求x的值．
【分析】（1）利用正比例函数的定义可设y﹣4＝kx，然后把当x＝﹣1时，y＝2代入求出k即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）利用一次函数解析式，计算自变量为﹣2对应的函数值即可．
【解答】解：（1）设y﹣4＝kx，
∵当x＝﹣1时，y＝2，
∴2﹣4＝﹣k，解得k＝2，
∴y﹣4＝2x，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+4；
（2）把y＝﹣2代入y＝2x+4得，﹣2＝2x+4，
∴x＝﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，求得函数的解析式是解题的关键．
17．（6分）如图，在8×4的正方形网格中，A，B均在网格线的格点上．请仅用无刻度直尺按以下要求作图．（保留作图痕记）

（1）在图1中，作出一个以AB为斜边的直角三角形．
（2）在图2中，作出一个以AB为直角边，且面积为的直角三角形．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，△ABE即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
18．（6分）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．

【分析】证出△ABC≌△DEF（ASA），得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．
【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的性质证出AB＝DE是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）求一班参赛选手的平均成绩；
（2）此次竞赛中，二班成绩在C级以上（包括C级）的人数有几人？
（3）求二班参赛选手成绩的中位数．
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）总人数乘以A、B、C等级所占百分比可得；
（3）根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：（1）一班参赛选手的平均成绩为＝88.5（分）；

（2）二班成绩在C级以上（包括C级）的人数有（5+10+2+3）×（1﹣25%）＝15（人）；

（3）∵C、D等级人数所占百分比为25%+30%＝55%，总人数为20，
∴二班参赛选手成绩的中位数为80分．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝，点D在AB上，且BD＝1，CD＝2．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，
∴BD2+CD2＝12+22＝（）2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝4，DB＝1，
∴AD＝3，
在Rt△ACD中，∵CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴AC的长为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（8分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的相对小数部分．如[2.13]＝2，2.13的相对小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13．
（1）[]＝　2　，的相对小数部分＝　﹣2　．﹣3.2的相对小数部分＝　0.8　．
（2）设的相对小数部分为m，求（+[]）m的值．
（3）设2﹣的相对小数部分为x，y为有理数．若x（x+y）的值为有理数，求x（x+y）的值．
【分析】（1）根据新定义[a]的意义，结合无理数的估算，逐个进行计算即可；
（2）利用新定义表示出m，再代入代数式求值；
（3）表示出2﹣的小数部分x，再根据x（x+y）的结果为有理数，进而确定y的值，再代入求值即可．
【解答】解：（1）[]表示不大于的最大整数，2＜＜3，
∴[]＝2，的相对小数部分＝﹣2，
﹣3.2的小数部分为﹣3.2﹣[﹣3.2]＝﹣3.2﹣（﹣4）＝0.8，
故答案为：2，﹣2，0.8；
（2）由题意得：[]＝2，m＝﹣2，
∴（+[]）m＝（+2）（﹣2）＝1；
（3）由题意得：x＝2﹣﹣[2﹣]＝2﹣﹣（﹣1）＝3﹣，
x（x+y）＝（3﹣）（3﹣+y），
若使结果是有理数，则3﹣+y＝﹣3﹣，
此时x（x+y）＝（3﹣）（﹣3﹣）＝7﹣9＝﹣2．
【点评】本题考查平方差公式，新定义的概念的理解以及无理数的运算等知识，准确理解新定义的意义和两个无理数的积为有理数的特征是解决问题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）已知甲、乙两地相距90km，A、B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A、B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求直线OC和DE的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当B出发几小时后，A在B的前面？

【分析】（1）设直线OC的解析式为s1＝kt，将（3，60）代入，利用待定系数法求解；设直线DE的解析式为s2＝mt+n，将（1，0），（3，90）代入，利用待定系数法求解；
（2）A在B的前面，即s2＞s1，根据（1）中所求解析式得到不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设直线OC的解析式为s1＝kt，
将（3，60）代入，得3t＝60，t＝20
所以直线OC的解析式为s1＝20t；
设直线DE的解析式为s2＝mt+n，
将（1，0），（3，90）代入，
得，解得，
所以直线DE的解析式为s2＝45t﹣45；

（2）由题意，得45t﹣45＞20t，
解得t＞，
即当B出发小时后，A在B的前面．
【点评】此题考查了一次函数与不等式的应用，利用待定系数法求出直线OC和DE的函数解析式是解题的关键．
23．（9分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G．
（1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由．
（2）在（1）条件下，若AB＝6，求EF的长．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD＝CD＝BD，AD⊥BC，然后由正方形的判定可得结论；
（2）由（1）得，∠ADB＝90°，然后由正方形的性质可得∠FAD＝90°，AF∥CD，再通过全等三角形的判定与性质可得AE的长，最后根据勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形，理由如下：
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，
∵四边形ADCF是平行四边形，且AD＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCF为正方形；
（2）由（1）得，∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，AB＝6，
∴AD＝BD＝AF＝6，
∵四边形ADCF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AF∥CD，
在△FAE和△BDE中，
，
∴△FAE≌△BDE（AAS），
∴AE＝DE＝AD＝，EF＝BE，
∴EF＝BE＝＝3．
【点评】此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
六、（本大题共12分）
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上．
（1）求点A，B的坐标．
（2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC＝S△AOB，求直线PC的表达式．
（3）若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特点直接求解即可；
（2）由题意可得S△PAC＝＝×（3﹣xC）×2，求出C点坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
（3）设E（t，﹣t+3），则Q（﹣t+，﹣t+3），当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，则|t﹣|＝|t﹣3|，求出t即可求E点坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则y＝3，
∴A（3，0）；
（2）将点P（1，m）代入y＝﹣x+3，
∴m＝2，
∴P（1，2），
由（1）可得OA＝OB＝3，
∴S△AOB＝×3×3＝，
∵S△PAC＝S△AOB，
∴S△PAC＝＝×（3﹣xC）×2，
∴xC＝﹣，
∴C（﹣，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+；
（3）存在点E，使得四边形EMNQ为正方形，理由如下：
设E（t，﹣t+3），则Q（﹣t+，﹣t+3），
∴EQ＝|t﹣|，EM＝|t﹣3|，
当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM，
∴|t﹣|＝|t﹣3|，
解得t＝﹣或t＝，
∴E（﹣，）或（，）．

【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的判定及性质是解题的关键．