江西省上饶市广信区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

全区2021/2022学年度第二学期期末考试八年级数学试卷

一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．若代数式有意义，则x的取值范围是(　　)

A．  B．  C．  D．

2．下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（       ）

A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15

3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（       ）

A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形

C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形

4．一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（          ）.

A．一、二、三 B．二、三、四

C．一、三、四 D．一、二、四

5．北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（       ）．

A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，31

6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．计算：______．

8．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为__．

9．如图，在正方形外作等边，则___________．

10．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为________．

11．甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差s2甲与s2乙的大小关系是s2甲_______s2乙．（填“＞”或“＜”）

12．在平面直角坐标系中，直线yx﹣8与x轴，y轴分别交于点A，B．M是y轴上一点．若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在坐标轴上，则点M的坐标为 _____．

三.解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．计算：

(1)

(2)

14．如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．

15．如图，CD是的高，若，，．

(1)求证：；

(2)求CD的长．

16．声音在空气中的传播速度y（m/s）随气温x（℃）的变化而变化.下表给出了一组不同气温下声音传播的速度：

（1）当x的值为35时，求对应的y的值；

（2）求y与x的关系式.

17．如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：

(1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份；

(2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份．

四.解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：（单位：分）

（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用；

（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？

19．观察下列各式及其验证过程：

，验证：；

，验证：．

(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．

(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．

20．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

五.解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明：a2+b2＝c2；

（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．

22．在一条笔直的道路上依次有甲、乙、丙三地，小刚与小亮在这条道路上练习跑步．小刚从甲地匀速跑步到丙地，同时小亮从乙地匀速跑步到甲地，在甲地休息2分钟后，以另一速度匀速跑步到丙地．小刚、小亮距甲地的路程y（米）与小刚跑步的时间x（分）之间的函数关系如图所示．

(1)a的值为_________，乙地与丙地相距_________米．

(2)求小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式．

(3)直接写出小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时x的值．

六.解答题（本大题共1题，12分）

23．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．

(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．

(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．

(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．

1．B

解析：

解：∵有意义，

∴，

解得：，

故选：B．

2．A

解析：

解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意；

B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；

C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；

D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．

故选：A．

3．D

解析：

解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，

又∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，

又∵AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；

故选：D．

4．D

解析：

∵一次函数y=-2x+3中，k=-2＜0，b=3＞0，

∴一次函数y=-2x+3的图象经过第一、二、四象限．

故选D．

5．A

解析：

解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；

把数据按从小到大的顺序排列后，处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．

故选：A．

6．C

解析：

解：①∵F是BC的中点，

∴BF＝FC，

在▱ABCD中，AD＝2AB，

∴BC＝2AB＝2CD，

∴BF＝FC＝AB，

∴∠AFB＝∠BAF，

∵，

∴∠AFB＝∠DAF，

∴∠BAF＝∠FAD，

∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；

②延长EF，交AB延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴∠MBF＝∠C，

∵F为BC中点，

∴BF＝CF，

在△MBF和△ECF中，

，

∴△MBF≌△ECF（ASA），

∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，

∵CE⊥AE，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠BAE＝90°，

∵FM＝EF，

∴EF＝AF，故②正确；

③∵EF＝FM，

∴S△AEF＝S△AFM，

∵E与C不重合，

∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；

④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，

∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，

∴∠EFA＝180°﹣2x，

∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，

∵∠CEF＝90°﹣x，

∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，

故选：C．

7．

解析：

解：

故答案为：

8．10

解析：

解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，

故斜边长，

故答案为：10．

9．

解析：

解：四边形是正方形，

，，

又是等边三角形，

，，

，，

．

，

故答案为．

10．

解析：

解：根据图象得：当 时，函数图象位于 轴下方，此时 ，

∴关于x的不等式的解集为．

故答案为：．

11．>

解析：

解：∵甲地日平均气温的比乙地的日平均气温的变化幅度大，

∴方差s2甲＞s2乙．

故答案为＞．

12．（0，﹣3）或（0，0）或（0，12）

解析：

解：∵直线yx﹣8与x轴，y轴分别交于点A，B．

∴A（6，0），B（0，﹣8），

∴AB10，

设M（0，m），

①如图，当点B恰好落在x轴负半轴上时，

∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，

∴AB＝AB′＝10，BM＝B′M，

∴OB′＝AB′﹣OA＝4，

∴B′（﹣4，0），

∴（m+8）2＝42+m2，

解得m＝﹣3，

∴M（0，﹣3）；

②如图，当点B恰好落在y轴正半轴上时，

∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴正半轴上，

∴MB＝MB′，AB＝AB′＝10，

∴AM⊥y轴，

∴点M与原点重合，

∴M（0，0）；

③如图，当点B恰好落在x轴正半轴上时，

∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴正半轴上，

∴AB＝AB′＝10，MB＝MB′，

∴OB′＝OA+AB′＝6+10＝16，MB′＝8+m，

∴（m+8）2＝162+m2，

解得m＝12，

∴M（0，12）；

综上，点M的坐标为（0，﹣3）或（0，0）或（0，12）．

故答案为：（0，﹣3）或（0，0）或（0，12）．

13．(1)0

(2)

（1）

解：原式

；

（2）

解：原式

 ．

14．∠C=50°，∠B=130°．

解析：

∵∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，

∴∠BAD＝50°．

∴在平行四边形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°．

15．(1)见解析

(2)

（1）

解：∵，，，

∴，，

∴ ，

∴；

（2）

解：∵，，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴．

16．（1）352 ;（2）y=x+331.

解析：

解：（1）观察图表数据，气温每升高5℃，音速增加3，

当x的值为35时，（35-25）÷5=2，

则此时对应y=346+3×2=352；

（2）设y与x的关系式为y=kx+331，根据题意，当x=5时，y=334，

∴5k+331=334

∴k=,

∴y=x+331.

17．(1)见解析

(2)见解析

解析：

（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示．

（2）解：如图所示，直线OE即为所示．

18．（1）甲被录用；（2）乙被录用．

解析：

解：（1）甲的平均成绩为（分）；

乙的平均成绩为（分），

因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，

所以甲被录用；

（2）根据题意，甲的平均成绩为（分），

乙的平均成绩为（分），

因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，

所以乙被录用．

19．(1)猜想：，验证见解析．

(2)（为任意自然数，且），证明见解析．

解析：

（1）猜想：，

验证：

（2）（为任意自然数，且），证明如下：

（为任意自然数，且）．

20．(1)当时，四边形ABQP是矩形

(2)当时，四边形AQCP是菱形

(3)菱形AQCP周长为cm；菱形AQCP面积为cm2

解析：

（1）解：根据矩形的判定定理确定当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形．

∵点P，Q的速度都是，点P，Q运动的时间为．

∴，．

∵矩形ABCD中，，

∴．

∴．

∴t=16-t．

∴t=8．

∴当时，四边形ABQP是矩形．

（2）解：根据菱形的判定定理确定当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形．

∵矩形ABCD中，，，，

∴，．

∴．

解得t=6．

∴当时，四边形AQCP是菱形．

（3）解：∵t=6，

∴．

∴，．

21．（1）证明见解析；（2）23

解析：

解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，

∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；

（2）由图可知：

（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，

∴2ab＝10，

∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．

【点睛】

本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．

22．(1)4；1600；

(2)y=300x-1800；

(3)和 12．

（1）

∵小亮从甲地到丙地时，从图像可以看出，此线段过（6，0），（14，2400）两点，

由函数图象得：a=6-2=4，由题意，甲地与乙地距离800米，甲地与丙地相距2400米，

故乙地与丙地距离1600米；

故答案为：4；1600；

（2）

设小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，

∵小亮从甲地到丙地时，从图像可以看出，此线段过（6，0），（14，2400）两点，

∴，解得：,

∴小亮从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为：y=300x-1800；

（3）

设小刚从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为：y=tx，

∵小刚第16分钟到达丙地，路程为2400米，

∴16t=2400，

解得：t=150，

∴小刚从甲地到丙地y与x之间的函数关系式为：y=150x，

设小亮从乙地到甲地y与x之间的函数关系式为：y=mx+m，

∵小亮从乙地到甲地时，从图像可以看出，此线段过（4，0），（0，800）两点，

∴，解得：，

小亮从乙地到甲地y与x之间的函数关系式为：y=-200x+800，

①0≤x≤4时，150x=-200x+800，

解得：x=；

②6＜x≤14时，150x=300x-1800，

解得：x=12，

综上，小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时x的值为和12．

23．(1)，

(2)，证明见解析

(3)

（1）

解：，，

，

四边形是“垂美四边形”，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：，；

（2）

结论：，

证明：∵于点O，

∴，

∴.

同理可得，，

∴

（3）

解：如图：连接CG、BE，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴四边形GCBE为垂美四边形，

由（2）中结论可知，

∵，，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

根据线段为正数可知