2021-2022学年广东省广州市南沙区高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年广东省广州市南沙区高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，么(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年北京冬奥会期间，需从名志愿者中选人去为速度滑冰、花样滑冰、冰球一个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知随机变量，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心、且“拐点”就是对称中心、函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 甲，乙，丙，丁个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是(    )

A. 总共有种安排方法
B. 若甲安排在实验室帮忙，则有种安排方法
C. 若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有种安排方法
D. 若甲、乙安排在同一个地方帮忙，则有种安排方法

10. 设随机变量服从正态分布，正态分布的正态密度线如图所示．则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 在一个袋中装有质地大小一样的黑球，个白球，现从中任取个小球，设取的个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 随机变量服从二项分布
C. 随机变量服从超几何分布 D.

12. 定义；在区间上，若数是减函数：且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得(    )

A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 在上是“弱减函数”
D. 若在上是“弱减函数”，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知变量与相对应的一组数据为，，，，，变量与相对应的一组数据为，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则、和三者之间的大小关系是______用符号“”连接
14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，，若“冰雹猜想”中，则所有可能的取值的集合______．
15. 已知函数有两个不同的极值点，，且，则实数的取值范围是______．
16. 已知，则______，______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数．
    求曲线在点处的切线方程；
    求函数在上的最大值和最小值．
18. 保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样辆汽车调查，得到新能源汽车辆与年份代码年的数据如下表：

建立关于的线性回归方程；
假设该地区年共有万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区年有多少辆新能源汽车．
参考公式：回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

19. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项和．
20. 某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投篮投中的概率为，三分线外定位投篮投中的概率为，测试时三分线外定位投篮投中得分，罚球位上篮投中得分，不中得分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮次，三分线外定位投篮次．
    求“该同学罚球位定位投篮投中且三分线外定位投篮投中次”的概率；
    求该同学的总得分的分布列和数学期望．
21. 为了解我区高中学生阅读情况，随机调查了位同学每月课外阅读时间小时，并将这个数据按阅读时间整理得到下表；

将每月课外阅读时间小时及以上者视为“阅读达人”，小时以下者视为“非阅谜达人”．
请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有的把握认为“阅读达人”与性别有关？

用样本估计总体，将频率视为概率．现从全区高中学生中随机抽取人，则抽到“阅读达人“最有可能的人数是多少？
附表：独立性检验临界值

参考公式：，其中．

22. 已知函数．
    求函数的单调区间；
    若函数有两个不同的零点，，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的图象在点处的切线方程为，
函数在处的导数值为，即．
故选：．
由已知切线方程可得切线的斜率，再由导数的几何意义得答案．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意，从名志愿者中选人服务个不同项目，不同的安排方法有种．
故选：．
根据给定条件，利用排列的意义列式计算作答．
本题主要考查简单的排列组合，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意事件记两次的点数均为偶数，包含的基本事件数是，，，，，，，，共个基本事件，
在发生的条件下，两次的点数之和为，
包含的基本事件数是，，共个基本事件，
．
故选：．
此是一个条件概率模型的题，可以求出事件包含的基本事件数，与在发生的条件下，事件包含的基本事件数，再用公式求出概率．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由已知图象可得在和时，，递增；
在时，，递减，
所以选项C正确，其它均错．
故选：．
由函数的导数的图象可得的单调性，可得结论．
本题考查函数的图象的判断，以及导数和函数的单调性的关系，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由已知可得，则，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故选：．
根据二项式系数和公式即可求出的值，再求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，随机变量，可得，
又由，解得，
即随机变量，可得．
故选：．
结合结合二项分布期望公式列方程求，再由二项分布方差公式和方差性质即可求．
本题主要考查二项分布的方差，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，，，，，，的差的数列为：，，，，，，
这个数列的差组成的数列为：，，，，，是等差数列，
所以前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为：．
故选：．
利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，
所以，由，得，解得，
而，即的对称中心为，
所以，
则
．
故选：．
由题意首先确定函数的对称中心，然后结合函数的对称中心即可确定代数式的值．
本题主要考查导数的新定义问题，导数的应用，函数的对称性及其应用等知识，属于中等题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：安排方法为：，A正确．
对于：若甲安排在实验室帮忙的安排方法为：，B错误．
对于：若图书馆需要安排两位志愿者帮忙的安排方法为：，C错误．
对于：甲、乙安排在同一个地方帮忙的安排方法为：，D正确．
故选：．
根据排列组合的特点，先分组再分配求解即可．
本题主要考查排列组合，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
对：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A正确；
对：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B正确；
对：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项C正确；
对：由对称性可得，故选项D错误．
故选：．
由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案．
本题主要考查正态分布，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，服从超几何，故B错误，C正确，
，故A错误，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，以及期望公式，即可秋季．
本题主要考查超几何分布的概率公式，以及期望公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，是反比例函数，在上单调递减，而不单调，故A错误；
对于，，其导数，在上，有，则是减函数，
，其导数，在上是增函数，有，则是增函数，
故在上是“弱减函数”，B正确；
对于，，其导数，
在区间上，恒成立，即恒成立，
则恒成立，在上为减函数，
，在上为增函数，
故在上为“弱减函数”，C正确；
对于，若，在单调递减，
则在上恒成立，必有，解得，
而在单调递增，
故若在上是“弱减函数”，则，D正确．
故选：．
根据题意，由“弱减函数”的概念依次判断各选项，即可得答案．
本题考查函数单调性的判断，函数的导数与单调性的关系，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，由已知中的数据可知：
第一组数据中变量、之间成正相关，相关系数，
第二组数据中变量与之间成负相关，相关系数，
即．
故答案为：．
根据已知分析出两组数据中变量的相关关系，从而判断出相关系数的符号和大小．
本题考查变量间的相关关系的判断，注意正确理解正负相关的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：“冰雹猜想”中，若为奇数，则，则；若为偶数，则，．
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则．
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则．
若为奇数，则，则；若为偶数，则，则．
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则．
若为奇数，则，则；若为偶数，则，则．
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则．
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则．
综上，所有可能的取值的集合．
故答案为：．
采用“倒推”的方式，推导出过程见注意分类讨论思想的应用．
本题考查简单的归纳推理、数列的递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由函数的解析式可得，
注意到函数的定义域为，
故在上有两个不同的实数根，
据此可得函数与函数在上有两个不同的交点，
绘制函数在上的图像如图所示，

结合函数图像可得实数的取值范围是．
故答案为：．
首先求得导函数的解析式，然后将原问题转化为两个函数交点个数的问题，数形结合即可求得实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，由函数的极值求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
 

16.【答案】   

【解析】解：因为展开式的通项公式为，
所以展开式中的系数为，
所以，
由，得
，
令，则，
故答案为：；．
由题意可得是展开式中系数的倍，对已知式子两边求导，然后令，可求出的值．
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．
 

17.【答案】解：，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即；
由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得唯一极大值，也是最大值，
因为，，
所以函数的最小值为，最大值为， 

【解析】先对函数求导然后结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；
结合导数分析函数的单调性，求出函数的极值及区间端点值，进而可求．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性及极值，最值关系的应用，属于中档他．
 

18.【答案】解：，，．
因为，所以，所以．
预测该地区年抽样汽车调查中新能源汽车数，
当时，，该地区年共有万辆汽车．
所以新能源汽车． 

【解析】第一步分别算第，的平均值，第二步利用，公式即可得到方程．
由第一问的结果，带入方程即可算出预估的结果．
本题主要考查线性回归方程，属于基础题．
 

19.【答案】解：已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列，
设公差为，则，
又，
则，
即，
即，
即数列的通项公式为；
由可得：，
则． 

【解析】由已知可得，则，然后求出数列的通项公式即可；
由可得：，然后累加求和即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属基础题．
 

20.【答案】解：设该同学“罚球位上定位投篮投中”为事件，“三分线外定位投篮投中”为事件，“该同学罚球位定位投篮投中且三分线外定位投篮投中次”为事件，
则，，
所以，
的可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

故该同学的总得分的期望． 

【解析】Ⅰ利用相互独立事件的乘法概率公式求解即可；
Ⅱ先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
本题考查了相互独立事件的乘法概率公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：联表如下：

．
所以没有的把握认为“阅读达人”与性别有关．
抽到“阅读达人“最有可能的人数为：人． 

【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
根据古典概型求得阅读达人的概率，乘以人数即可．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
 

22.【答案】解：，
因为，，
故当时，，此时在上单调递增，
当时，时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间，此时函数最多一个零点，不符合题意；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
又时，，且时，，
若使有个零点，则，
即，
令，则在时单调递增且，
所以，
故的取值范围为． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，进而可求函数的单调区间；
结合中单调性的讨论及函数零点存在条件可建立关于的不等式，结合函数的性质解不等式可求的范围．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，函数性质的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．