初中数学青岛版九年级上册第4章 一元二次方程综合与测试单元测试练习题
展开青岛版初中数学九年级上册第四单元《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. B. C. D.
- 下列方程是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
- 若为方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
- 用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
- 方程经配方后，可化为( )
A. B. C. D.
- 方程的正根为( )
A. B. C. D.
- 若代数式的值是，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 不能确定
- 方程的根是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 排列：从个不同元素中任取个按照一定的顺序排成一列，叫作从个元素中取出个元素的一个排列．所有不同排列的个数，称为从个不同元素中取出个元素的排列数，一般我们记作，则例如如果；求的值( )
A. B.
C. D.
- 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式每两班之间都赛一场，共需安排场比赛，则八年级班级的个数为( )
A. B. C. D.
- 如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为米、米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为米，可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
- 关于的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是( )
A. 是正数，是负数 B.
C. 是正数，是负数 D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 已知是关于的一元二次方程的一个根，则实数的值为______．
- 代数式与的值相等，则的值为______．
- 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______．
- 如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为______
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 已知是方程的解，求实数的值．
- 已知关于的一元二次方程为常数．
若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
若它的一个实数根是关于的方程的根，求证：． - 解方程：
；
． - 按要求解下列方程：
配方法；
公式法； - 解方程：．
解方程：． - 已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一实数根大于，求的取值范围． - 已知关于的方程．
求证：不论为何值，方程都有两个不相等的实数根；
若方程一根为，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长． - 已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
求的取值范围；
若，求及的值；
是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． - “人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，月份第一周接待游客人，第三周接待游客人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
求该景点在月份的第二周接待游客多少人？
该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的倍，平均每位游客购买件旅游纪念品．该景点只销售，两种旅游纪念品，种纪念品每件利润元，种纪念品每件利润元，且售出的种纪念品的数量不多于种纪念品的倍，设第四周该景点售出种旅游纪念品件，获得的总利润为元，求与的函数关系式，并求出获得的最大利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】
【解析】解：该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B.当时，不是关于的一元二次方程，故本选项不合题意；
C.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
3.【答案】
【解析】解：为方程的解，
，
，
，
故选：．
由题意可得，再由，代入求值即可．
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根据求根公式解一元二次方程，根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，再利用求根公式求解．
【解答】
解：原方程可化为，
，，，
，
，
，．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：
解得：，
故选：．
首先把方程化为一般形式，即，此题可以公式法求解．
解一元二次方程的方法有配方法，公式法和因式分解法，前两种可以解所有一元二次方程，不过因式分解法解题时相对简单．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
由方程可知或，然后解两个一次方程即可．
【解答】
解：或，
，．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
或，
，．
故选：．
先根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了阅读理解能力．
10.【答案】
【解析】解：设八年级共有个班，
依题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，，
八年级共有个班．
故选：．
设八年级共有个班，利用比赛的总场数八年级的班级数八年级的班级数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：．
由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设方程的两根为、，方程的两根为、．
关于的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于的一元二次方程也有两个同号非零整数根，
，，
故选项A与说法均错误，不符合题意；
关于的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于的一元二次方程也有两个同号非零整数根，
，，
、不能同时为，否则两个方程均无实数根，
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：．
设方程的两根为、，方程的两根为、根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出，，即可判断与；由方程有两个实数根结合根的判别式得出，，利用不等式的性质以及完全平方公式得出，即可判断与．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：将代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
将代入方程得关于的方程，解之可得．
本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键
14.【答案】，
【解析】解：根据题意得：，
整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
故答案为：，．
根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，经检验即可得到的值．
此题考查了解一元二次方程公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
16.【答案】
【解析】解：设修建的路宽应为 ，根据题意得：
，
解得：，不合题意，舍去，
则修建的路宽应为米．
故答案为：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
17.【答案】解：由题意得：
，
，
解得：或，
检验：当时，，
是原方程的根，
当时，，
是原方程的根，
实数的值为或．
【解析】把代入方程中可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一元二次方程的解，一定要注意解分式方程必须检验．
18.【答案】解：解关于的方程得，
把代入方程得，
整理得，解得或；
证明：解关于的方程得，
把代入方程得，
整理得，
所以，
因为，
所以的最小值为．
【解析】先解一次方程得到，然后把代入一元二次方程得到，然后解关于的方程即可；
先解一次方程得到，把代入方程得到，所以，利用配方法得到，然后根据非负数的性质可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19.【答案】解：去分母得，
解得，
检验：当时，，则是原方程的解，
所以原方程的解为；
，
，
，
，
，
所以，．
【解析】先把分式方程化为整式方程得到，再解整式方程，然后进行检验确定原分式方程的解；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了解分式方程．
20.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，．
【解析】方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解；
方程利用求根公式计算即可求出．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法．
21.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
或，
所以，．
【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22.【答案】证明：
，
此方程总有两个实数根；
解：，
，
，，
方程有一实数根大于，
，
解得，
即的取值范围为．
【解析】先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
利用公式法解方程得到，，根据题意得，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23.【答案】解：由题意可知：
，
，
，
不论为何值，方程都有两个不相等的实数根．
当代入，
，
原方程化为：，
或
该三角形的周长为
【解析】根据判别式即可求出答案．
将代入原方程可求出的值，求出的值后代入原方程即可求出的值．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
24.【答案】解：方程有实数根，
．
解得．
依题意：，且
则：，；
，
【解析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
利用根与系数的关系得，，则可先求出，再求出的值；
利用根与系数的关系得，，则利用求出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
25.【答案】解：设该景点接待游客数量的周平均增长率为，根据题意，
得，
解得：，，舍去，
该景点接待游客数量的周平均增长率为，
人，
该景点在月份的第二周接待游客为人；
该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的倍，
该景点第四周接待游客为人，
设第四周该景点售出种旅游纪念品件，则该景点售出种旅游纪念品件，
根据题意得：，
售出的种纪念品的数量不多于种纪念品的倍，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最大，最大值为，
与的函数关系式为，最大利润为元．
【解析】设该景点接待游客数量的周平均增长率为，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
根据总利润，两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
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