青岛版九年级上册第4章 一元二次方程综合与测试课时练习

第4章单元检测

（本检测题满分：100分，时间：90分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列方程一定是一元二次方程的是（   ）

A.             B.

C.             D.

2.是关于的一元二次方程，则的值应为（   ）

A.＝2         B.     C.          D.无法确定

3.若是关于的方程的根，则的值为（   ）

A．1      B．2      C．-1      D．-2

4.下列关于x的方程有实数根的是（     ）

A.x2-x＋1＝0     B.x2＋x＋1＝0

C.(x-1)(x＋2)＝0     D.(x-1)2＋1＝0

5.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ）

A.x(x+1)=28     B.x(x-1)=28

C.x(x+1)=28      D.x (x-1)=28

6.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ）

A．          B．且   

C．          D．且

7.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ）

A．    B．    C．    D．

8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直      角三角形的斜边长是（   ）

A．       B．3        C．6         D．9

9.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（   ）

A.       B.        C.       D.

10.当代数式的值为7时，代数式的值为（  ）

A.4              B.2             C.-2           D.-4

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.若是完全平方式，则的值等于________．

12.无论取任何实数，多项式的值总是_______数．

13.如果，那么的关系是________．

14.如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.

15.若α,β是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则α2+β2=_____________.

16.已知是关于的方程的一个根，则_______．

17.一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=_______.

18.三角形的每条边的长都是方程的根,则三角形的周长是__________．

三、解答题（共46分）

19.（5分）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．

20.（5分）若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值.

21.（5分）如果的值．

22.（5分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

23.（6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.

（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

24．（6分）在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.

25．（6分）若方程的两根是和，方程的正根是，试判断以为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．

26.（8分）如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点处．甲沿着喀什路以 的速度由西向东走，乙沿着北京路以的速度由南向北走．当乙走到点以北 处时，甲恰好到点处．若两人继续向前行走，求两个人相距 时各自的位置．

参考答案

1.D   解析：A选项是分式方程；B选项是二元二次方程；C选项中只有在满足的条件下才是一元二次方程；D选项二次项系数恒成立.故根据定义判断选D.

2.C   解析：由题意得，解得.故选C.

3.D   解析：将代入方程得，∵，∴，∴.故选D.

4.C   解析：把A,B选项中a,b,c的对应值分别代入b2-4ac中，A,B选项中b2-4ac<0，故A,B选项中的方程都没有实数根.而选项D中，由(x-1)2＋1=0得(x-1)2=-1,因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1=0没有实数根.只有选项C中的方程有实数根.

5.B   解析：每个队都要和剩下的(x-1)个队各赛１场，所以每个队各赛（x-1）场，x个队共赛x（x-1）场，因为每场比赛都是两个队参加，这样每个队的比赛场数都重复计算了一次，所以这x个队共比赛x(x-1)场，所以列方程为x(x-1)=28.

6.B    解析：依题意得解得且.故选B．

7.A    解析：依题意得代入得,∴ ,∴ .故选A．

8.B  解析：设和是方程的两个根，解方程，得∴  ∴ 这个直角三角形的斜边长是3，故选B.

9. B    解析：设这两年平均每年绿地面积的增长率是，由题意知

所以这两年平均每年绿地面积的增长率是.

10.A   解析： 当时，即，∴ 代数式

.故选A.

11.10或   解析：若是完全平方式，则，∴ ．

12.正    解析：.

13.    解析：原方程可化为，∴.

14.   解析：∵ Δ＝，∴ ．

15.10   解析：由根与系数的关系可得α+β=2，αβ=-3，所以α2+β2=(α+β）2-2αβ=22-2×(-3）=4+6=10.

16.或    解析：将代入方程得,解得.

17.1   解析：∵ 一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，∴ a+1≠0且a2-1=0，∴ a=1.

18.6或10或12    解析：解方程，得,.∴ 三角形的每条边的长可以为2、2、2或2、4、4或4、4、4（2、2、4不能构成三角形，故舍去），∴ 三角形的周长是6或10或12.

19.解：∵ ，

∴ ．

∴ ．∴ ．∴ ．

20.解:由题意得即当时，关于的一元二次方程的常数项为.

21.解：原方程可化为，

∴ ，∴ =．

22.分析：（1）由第1年的可变成本为2.6万元可以表示出第2年的可变成本为2.6(1+x)万元，则第3年的可变成本为2.6(1+x)2万元，故可以得出答案；（2）根据“养殖成本=固定成本+可变成本”建立方程求解即可.

解：（1）2.6(1+x)2.

（2）根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146，

解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.

答：可变成本平均每年增长的百分率是10%.

点拨：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）.

23.分析：（1）直接将x=-1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，代入方程求出即可.

解：（1）△ABC是等腰三角形.

理由：∵ x=-1是方程的根，

∴ （a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，

∴ a+c-2b+a-c=0，∴ a-b=0，∴ a=b，

∴ △ABC是等腰三角形.

（2）∵ 方程有两个相等的实数根，

∴ （2b）2-4（a+c）（a-c）=0，∴ 4b2-4a2+4c2=0，

∴ a2=b2+c2，∴ △ABC是直角三角形.

（3）∵ △ABC是等边三角形，

∴ （a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为2ax2+2ax=0，

∴ x2+x=0，解得x1=0，x2=-1.

点拨：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理的逆定理等知识，由已知正确获取等量关系是解题关键.

24.解：设小正方形的边长为.

由题意得，解得 .

经检验，符合题意，不符合题意，舍去， ∴ .

答：截去的小正方形的边长为. 

25.解：解方程，得．

  方程的两根是．

  所以的值分别是．

  因为，所以以为边的三角形不存在．

 26.解：设经过 s，两人相距，根据题意得：

，化简得，

解得,（不符合实际情况，舍去）.

当时，36，,

所以当两人相距时，甲在点以东 处，乙在点以北处.