2021-2022学年山东省济宁市金乡县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省济宁市金乡县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列计算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 一组数据：，，，，，若它们的中位数是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 正比例函数的图象经过，两点，若，则的值有可能为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列方程中，有两个相等实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 定义，当时，，当时，；已知函数，则该函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，分别是的三条边，为斜边，我们把形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积等于，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在面积为的菱形中，点沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是(    )
    ；
    ≌；
    平分；
    平分；
    四边形是菱形．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 观察下列几组勾股数，并填空：，，，，，，，，，，，，则第组勾股数为______．
12. 把直线向右平移______个单位可得到直线．
13. 如图，矩形中，对角线、交于点，点是上一点，且，，则 ______ ．

14. 我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为______．
15. 如图，直线：交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使记面积为，面积为，面积为，则等于______．

三、解答题（本题共8小题，共57分）

16. 按要求解下列方程：
    配方法；
    公式法；
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，点的横坐标为，直线交轴于点，且．
    试求直线的函数表达式；
    若将直线沿着轴向左平移个单位，交轴于点，交直线于点试求的面积．

18. 如图，是斜坡上一根电线杆拦腰断成和两段的平面图，现测得，于点，，，试求电线杆未折断时的高度．结果保留根号

19. 八班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各人的比赛成绩如下表

甲队成绩的中位数是______分，乙队成绩的众数是______分；
计算甲队的平均成绩和方差；
已知甲队成绩的方差是分，则成绩较为整齐的是哪个队？

20. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．

21. 黔东南州某销售公司准备购进、两种商品，已知购进件商品和件商品，需要元；购进件商品和件商品，需要元．
    求、两种商品的进货单价分别是多少元？
    若该公司购进商品件，商品件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售已知每件商品运往甲、乙两地的运费分别为元和元；每件商品运往甲、乙两地的运费分别为元和元若运往甲地的商品共件，运往乙地的商品共件．
    设运往甲地的商品为件，投资总运费为元，请写出与的函数关系式；
    怎样调运、两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？投资总费用购进商品的费用运费
22. 如图，长方形，以为坐标原点，、分别在轴、轴上，点的坐标为，点的坐标为，点是边上一点，把长方形沿翻折后，点恰好落在轴上点处．
    求点、的坐标；
    求所在直线的函数关系式；
    在轴上求一点，使成为以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

23. 实践活动探究：数学折纸．
    对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点得到折痕，把纸片展平，连接．
    如图，折痕 ______填“是”或“不是”线段的垂直平分线；折痕 ______填“是”或“不是”线段的垂直平分线；图中是什么特殊三角形？答：______．
    继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点得到折痕，把纸片展平，如图，求的度数．
    如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接四边形是什么特殊四边形，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；，
C.，故此选项符合题意；
D.，无法合并，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式除法运算法则以及二次根式加减运算法则、二次根式的性质等，分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：除外个数由小到大排列为，，，，，
因为原数据有个数，
因这组数据的中位数是；
所以，只有才成立，
即．
故选：．
利用中位数的定义，只有和的平均数可能为，从而得到的值．
本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

3.【答案】 

【解析】解：中，
随的增大而增大，
，
，
正比例函数的图象经过，两点，
，
，
，，，，
只有选项D符合题意，
故选：．
根据正比例函数的性质和得出随的增大而增大，求出，再根据性质得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了正比例函数的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，有理数的大小比较等知识点，能熟记正比例函数的性质是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
根据根的判别式逐项判断即可．
【解答】
解：．，所以方程有两个相等实数根；
B.，所以方程没有实数根；
C.，所以方程有两个不相等实数根；
D.，所以方程有两个不相等实数根．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：当时，，解得，所以直线与轴的交点坐标为，
当时，；
当时，，
所以当时，，
所以不等式的整数解为．
故选：．
先解方程得到直线与轴的交点坐标为，然后利用函数图象写出在轴上方且直线在直线的下方所对应的自变量的范围，再找出此范围内的整数即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解决本题的关键是求出直线与轴的交点坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
矩形的面积为，
，
对角线，交于点，
的面积为矩形面积的，
的面积，
，，
，即，
，
，
，
故选：．
依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，
解得：，
此时，
，
随的增大而减小，
当时，最小值为；
当时，
解得：，
此时，
，
随的增大而增大，
综上，当时，最小值为，
故选：．
根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．
本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
又，，分别是的三条边，为斜边，的面积是，
，即，
又，
，
，
，
解得：，
故选：．
依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点沿运动，的面积逐渐变大，
点沿移动，的面积不变，且此时的面积等于菱形面积的一半，即等于；
点沿的路径移动，的面积逐渐减小．
所以符合题意的选项是．
故选：．
分三段来考虑点沿运动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿的路径移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
 

10.【答案】 

【解析】解：设和的交点为点，如图：

、分别是、的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，且，
，
点为的中点，
，
在和中，，
≌，即正确，
，，
，
，点为平行四边形对角线交点，
，
为中点，
，
，

，为中点，
为中点，即，且，
在和中，，
≌，
，
，即正确，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，

在和中，，
≌，
，
平分，即正确．
，，
四边形是平行四边形，
没有条件得出是菱形，不正确；
故选：．
由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得正确，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，证≌得出得出正确，再证≌得出再求，证出四边形是平行四边形，不正确；此题得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
 

11.【答案】，， 

【解析】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：，
故可得第组勾股数是，，．
故答案为选：，，．
据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：根据这个规律即可解答．
本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知：
直线向右平移个单位，得到直线的解析式为：，
又平移后的直线为，
，
解得，
故答案为：．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，，，求出，，根据矩形性质和已知求出，求出，求出是等边三角形，推出，求出，最后减去的度数，即可求出答案．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质的综合应用，能求出和的度数是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式先将化为：，可得当时，不论取何实数，函数的值为，即可得到直线一定经过的定点为．
【解答】
解：根据题意，可化为：，
当时，不论取何实数，函数的值为，
直线一定经过的定点为，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：直线：交轴的交点坐标为，与轴交点坐标为，
，
面积为，
由题意可知，，，都是等腰直角三角形，每两个相邻的等腰直角三角形的相似比为：，面积比为：，
，
，
，
，
，

，
故答案为：．
根据直线与轴、轴的交点坐标得到等腰直角三角形的边长，进而计算出其面积，进而得到，，都是等腰直角三角形，且两个相邻的等腰直角三角形的相似比为：，面积比为：，逐步求出，，，，，根据规律得出答案．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，得到，，，都是等腰直角三角形，且两个相邻的等腰直角三角形的相似比为：，面积比为：，逐步求出，，，，是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
，；

，
，
，． 

【解析】方程移项后，利用完全平方公式配方，计算即可求出解；
方程利用求根公式计算即可求出．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法．
 

17.【答案】解：根据题意，点的横坐标为，
代入直线：中，
得点的纵坐标为，
即点；
即，
又．
即，且点位于轴上，
即得；
将、两点坐标代入直线中，得
；
；
解之得，，；
即直线的解析式为；

根据题意，
设平移后的直线的解析式为，代入，
可得：，
解得：，
平移后的直线的直线方程为；
即点的坐标为；
联立线的直线方程，
解得，，
即点；
又点，如图所示：
故的面积． 

【解析】根据点的横坐标和直线的解析式，得出点的纵坐标，即可得出的长度，从而可得出的长度，即得点的坐标，分别代入直线的解析式中，解方程组即可得出直线的解析式；
根据平移的性质，得出平移后的直线的解析式，可得出点的坐标，联立直线的解析式，即可得出点的坐标，即可根据三角形面积公式即可得出．
本题主要考查了一次函数的综合应用，要求学生在学习的过程中要挖掘问题中的隐含条件，理解题意．
 

18.【答案】解：作于点，
在中，米，，
米，

在中，
，
，
；

电线杆未折断时的高度为米． 

【解析】作于点，分别在直角三角形和直角三角形中利用锐角三角函数求得线段、、后即可求得答案．
本题考查了勾股定理的应用及解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的解之．
 

19.【答案】  ，  ；
甲队的平均成绩和方差；，

；
乙队的平均成绩是：，
则方差是：．
乙队方差小于甲队方差，
乙队成绩较为整齐． 

【解析】

解：把甲队的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，最中间两个数的平均数是分，
则中位数是分；
乙队成绩中出现了次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是分；
故答案为：，；

见答案；

见答案．
【分析】利用中位数的定义以及众数的定义分别求出即可；
首先求出平均数进而利用方差公式得出即可；
先求出乙队的方差，再利用方差的意义进而得出即可．
此题主要考查了众数、中位数的定义以及方差的定义和性质，正确记忆方差公式是解题关键．  

20.【答案】解：当时，有，即
，即，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
此类考查了勾股定理的证明，读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：设商品的进货单价为元，商品的进货单价为元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品的进货单价为元，商品的进货单价为元；
设运往甲地的商品为件，则设运往乙地的商品为件，
运往甲地的商品为件，运往乙地的商品为件，
则，
与的函数关系式为；
在中，
自变量的取值范围是：，
，
随增大而增大．
当时，取得最小值，元，
最佳调运方案为：调运件商品到甲地，调运件商品、件商品到乙地，最小费用为元．
答：调运件商品到甲地，调运件商品、件商品到乙地总费用最小，最小费用为元． 

【解析】设商品的进货单价为元，商品的进货单价为元，根据购进件商品和件商品，需要元；购进件商品和件商品，需要元列出方程组求解即可；
设运往甲地的商品为件，则设运往乙地的商品为件，运往甲地的商品为件，运往乙地的商品为件，根据投资总费用购进商品的费用运费列出函数关系式即可；由自变量的取值范围是：，根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．
本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的解，关键是根据投资总费用购进商品的费用运费列出函数关系式．
 

22.【答案】解：，，则，则点
设：，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，故点；

将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
，，
故直线的表达式为：；

当点在轴负半轴时，

，则点；
当点在轴正半轴时，
，故点；
综上，点的坐标为：或． 

【解析】，，则，则点，设：，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即可求解；
将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
分当点在轴负半轴、点在轴正半轴两种情况，分别求解即可．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

23.【答案】是  是  等边三角形 

【解析】解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
即点与点关于对称，
即折痕是线段的垂直平分线，
同理，点与点关于对称，
即折痕是线段的垂直平分线，
由折叠知，，
即是等边三角形，
故答案为：是，是，等边三角形；
折叠纸片，点落在边上的点出，
，
；
四边形是菱形，理由如下：
折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
垂直平分，
，，
，
，，
≌，
，
四边形是菱形．
由折叠的性质可得点与点关于对称，点与点关于对称，即可得折痕是线段的垂直平分线，折痕是线段的垂直平分线，又，，可证是等边三角形；
由折叠可知，又，即可求解；
由折叠的性质可得，，，由可证≌，可得，即可判定四边形是菱形．
本题主要考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识进行推理是解题的关键．