2023年高考数学一轮复习课时规范练68不等式的证明含解析新人教A版理

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课时规范练68　不等式的证明基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥. 2.(2021安徽蚌埠三模)已知函数f(x)=m-|x|-|x-1|,m∈R,且f(x)的最大值为1,(1)求实数m的值;(2)若a>0,b>0,a+b=m,求证:≥4. 3.(2021陕西西安中学二模)已知a>0,b>0且a2+b2=2.(1)若使≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;(2)证明:(a5+b5)≥4. 综合提升组4.(2021江西赣县模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)≤x+3的解集;(2)若f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:. 5.(2021山西太原二模)已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|(m>0).(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)的最小值为,且a+b=m(a>0,b>0),求证:+2. 创新应用组6.(2021广西桂林二模)已知实数a,b,c,满足a+b+c=1.(1)若a,b∈R+,c=0,求证:a+2+b+2≥;(2)设a>b>c,a2+b2+c2=1,求证:a+b>1. 答案：课时规范练1.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由bc,可得abc,故a,所以max{a,b,c}2.(1)解: ∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当x(x-1)≤0时,等号成立,∴f(x)max=m-1=1,∴m=2.(2)证明由a>0,b>0,a+b=2≥2,∴ab≤1,4,当且仅当a=b=1时,等号成立.3.(1)解: ∵a,b∈(0,+∞),且a2+b2=2,(a2+b2)=1+4+5+2=,当且仅当b2=2a2时,等号成立,则|2x-1|-|x-1|,当x时,不等式化为1-2x+x-1,解得-x;当<x<1时,不等式化为2x-1+x-1,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为2x-1-x+1,解得1≤x综上,x的取值范围为-.(2)证明(方法1)(a5+b5)=a4+b4+=(a2+b2)2-2a2b2+4-2a2b2+2=4-2a2b2+2a2b2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.(方法2)由柯西不等式可得(a5+b5)=2+2[()2+()2]≥2=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.(1)解: ①当x≤-1时,2-2x≤x+3,解得x≥-,则不等式的解集为空集;②当-1<x≤3时,4≤x+3,解得1≤x≤3;③当x>3时,2x-2≤x+3,解得x≤5,则3<x≤5.综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.(2)证明因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x+3|=4,当且仅当(x+1)(x-3)≤0时,等号成立.所以m=4,所以a+b+c=m=4,[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·=2+2+2=,当且仅当a+b=b+c=c+a,即a=b=c=时,等号成立.5.(1)解: 当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,则解得-2≤x<-1或-1≤x<x≤2,∴原不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤2}.(2)证明由题意得f(x)=∴f(x)min=f=m2+m=,∴m=1或m=-(舍去),∴a+b=1,令0<θ<,则+2=cosθ+2sinθ=sin(θ+φ),当θ=-φ0<φ<,且tanφ=时,上述不等式等号成立.6.证明(1)c=0时,a+b=1,a+2+b+2≥==,∵a,b∈R+,a+b=1,=(a+b)=2+2+2=4,从而a+2+b+2,当且仅当即a=b=时,等号成立;(2)假设a+b≤1,则由a+b+c=1,知c≥0,故a>b>c≥0,又由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,得ab+bc+ac=0,但由a>b>c≥0,知ab+bc+ac>0,矛盾,故假设a+b≤1不成立,则a+b>1.