广西专用高考数学一轮复习考点规范练18定积分与微积分基本定理含解析新人教A版理

考点规范练18　定积分与微积分基本定理

基础巩固

1.若(sin x-acos x)dx=2,则实数a等于(　　)

A.-1 B.1 C.- D

答案:A

解析:(sinx-acosx)dx=(-cosx-asinx)=-a+1=2,∴a=-1.

2.如图,设不等式组表示的平面区域为长方形ABCD,长方形ABCD内的曲线为抛物线y=x2的一部分,若在长方形ABCD内随机取一个点,则此点取自阴影部分的概率等于(　　)

A B C D

答案:B

解析:由题意,可得长方形的面积S长方形=1×2=2,阴影部分的面积S阴影部分=x2dx=x3,故此点取自阴影部分的概率为

3.如图,由曲线y=x2-4,直线x=0,x=4和x轴围成的封闭图形(阴影部分)的面积是(　　)

A(x2-4)dx B

C|x2-4|dx D(x2-4)dx+(x2-4)dx

答案:C

解析:当0≤x≤2时,阴影部分面积S1=[0-(x2-4)]dx=(4-x2)dx;当2≤x≤4时,阴影部分面积S2=(x2-4)dx.

故所求阴影部分面积S=S1+S2=(4-x2)dx+(x2-4)dx=|x2-4|dx.

4.由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为,则m的值为(　　)

A.2 B.3 C.1 D.8

答案:A

解析:所围图形面积S=(m-)dx==m3-m3=,解得m=2.

5.若s1=x2dx,s2=dx,s3=exdx,则s1,s2,s3的大小关系为(　　)

A.s1<s2<s3 B.s2<s1<s3 C.s2<s3<s1 D.s3<s2<s1

答案:B

解析:由于s1=x2dx=x3,

s2=dx=lnx=ln2,s3=exdx=ex=e2-e.

且ln2<<e2-e,则s2<s1<s3.

6.设f(x)=sin tdt,则f的值等于(　　)

A.-1 B.1 C.-cos 1 D.1-cos 1

答案:D

解析:∵fsintdt=(-cost)=1,

∴f=f(1)=sintdt=(-cost)=1-cos1.

7.设函数f(x)=xm+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于(　　)

A B C D

答案:A

解析:因为f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,

于是f(-x)dx=(x2-x)dx=

8(ex+x)dx=　　　　　. 

答案:e-

解析:(ex+x)dx==e+-1=e-

9.若函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f'(1),则f(x)dx=.

答案:-4

解析:因为f(x)=x3+x2f'(1),所以f'(x)=3x2+2xf'(1).

所以f'(1)=3+2f'(1),解得f'(1)=-3.所以f(x)=x3-3x2.

所以f(x)dx=(x3-3x2)dx==-4.

能力提升

10.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=2f(x0),x0>0,则x0=(　　)

A.2 B C.1 D

答案:D

解析:∵函数f(x)=ax2+b(a≠0),

f(x)dx=a+2b,

又f(x)dx=2f(x0),a+2b=2a+2b.

又x0>0,∴x0=

11.已知某物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m,则力F(x)做的功为(　　)

A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J

答案:B

解析:力F(x)所做的功为10dx+(3x+4)dx=20+26=46(J).

12.(2020陕西铜川二模)在等比数列{an}中,a3=9,且前三项和为S3=3x2dx,则公比q的值是(　　)

A.1 B.- C.1或- D.-1或-

答案:C

解析:S3=3x2dx=x3=33=27,即前三项和为S3=27,

∵a3=9,

即,

即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-

13dx+dx=　　　　　. 

答案:2π+1

解析:因为dx=lnx=lne-ln1=1,

又dx的几何意义表示y=对应上半圆的面积,即dx=π×22=2π,

所以dx+dx=2π+1.

14.我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图(1),函数f(x)=的图象与x轴围成一个封闭区域A(阴影部分),将区域A(阴影部分)

沿z轴的正方向上移6个单位长度,得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示,其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等,则此柱体的体积为　　　　　. 

答案:3π+

解析:由题意得,阴影区域在区间(0,2]上为半个圆,底面积S=S圆-sindx=+cos,

所以该柱体的体积为6=3π+

高考预测

15.(2020河南信阳期末)如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sin x(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则a的值为(　　)

A B

C D

答案:C

解析:构成试验的全部区域是矩形OABC,其面积为a=8.

记“向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分”为事件E,则构成事件E的区域即为图中阴影部分,其面积为sinxdx=-cosx=1-cosa.

所以P(E)=,解得cosa=-

∵a∈(0,π),∴a=