广西专用高考数学一轮复习考点规范练53变量间的相关关系统计案例含解析新人教A版文

考点规范练53　变量间的相关关系、统计案例

基础巩固

1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(　　)

A.若K2的观测值为6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此在100个吸烟的人中必有99个患有肺病

B.由独立性检验知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有99%的可能患肺病

C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误

D.以上三种说法都不正确

2.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如表所示.

根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为=6.5x+t,则可以预测2022年该型号无人机的销量大约为(　　)

A.40万件

B.41.5万件

C.45万件

D.48万件

3.(2021河北张家口模拟)某组织为研究爱好跑步是否与性别有关进行了一个调查,得到如下列联表,若这两个变量没有关系,则a的值可能为(　　)

单位:人

A.720 

B.500 

C.300 

D.200

4.某市2020年4月至2021年3月每月最低气温与最高气温(单位:℃)的折线统计图如图所示.已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r=0.83,则下列结论错误的是              (　　)

A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关

B.月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月

C.9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大

D.每月最高气温与最低气温的平均值在4~9月逐月增加

5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为　　　　　. 

6.(2021全国Ⅱ)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附:K2=.

7.(2021广西梧州模拟预测)垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位:万人)和该县年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得xi=80,yi=4 000,=80,=8 000,(xi-)(yi-)=700.

(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合;

(2)求y关于x的线性回归方程,用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨?

参考公式:相关系数r=,对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

能力提升

8.某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况,随机抽取6岁、9岁、12岁、15岁、18岁的青少年身高数据各1 000个,根据各年龄段平均身高作出散点图和回归直线l如图所示.根据图中数据,下列对该样本描述错误的是(　　)

A.根据样本数据估计,该地区青少年身高与年龄成正相关

B.所抽取数据中,5 000名青少年平均身高约为145 cm

C.直线l的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量

D.从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据,由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l上

9.已知x与y之间的几组数据如下表:

假设根据上表数据所得线性回归直线方程x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是(　　)

A.>b',>a'

B.>b',<a'

C.<b',>a'

D.<b',<a'

10.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到列联表如下表所示:

已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是　　　　　.(填序号) 

①列联表中c的值为30,b的值为35

②列联表中c的值为15,b的值为50

③根据列联表中的数据,若在犯错误的概率不超过 0.025的前提下,能认为“成绩与班级有关系”

④根据列联表中的数据,若在犯错误的概率不超过 0.025的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”

高考预测

11.(2021山东淄博模拟)我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区,在顺利完成月面自动采样之后,成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道,这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞,对我国航天事业具有重大而深远的影响,为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好,某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作,前五天的报名情况为:第1天3人,第2天6人,第3天10人,第4天13人,第5天18人,通过数据分析已知,报名人数与报名时间具有线性相关关系.

(1)已知第x天的报名人数为y,求y关于x的线性回归方程,并预测第7天的报名人数(结果四舍五入取整数).

(2)该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系,随机调查了100名学生,并得到如下2×2列联表:

请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.

参考公式及数据:回归方程x中斜率的最小二乘估计为;

K2=,其中n=a+b+c+d.

答案：

1.C　解析独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.

2.B　解析=2,=22.

又因为直线=6.5x+t过点(2,22),

故6.5×2+t=22,解得t=9.

故预测2022年该型号无人机的销量大约为=6.5×5+9=41.5(万件).

故选B.

3.B　解析因为两个变量没有关系,所以k==0,解得a=500.

4.D　解析每月最低气温与最高气温的线性相关系数r=0.83,可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关,A项正确;

由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月,B项正确;

9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大,C项正确;

每月的最高气温与最低气温的平均值在4~8月逐月增加,9月开始减少,D项错误.

故选D.

5.68　解析由题意,得=30,,代入回归直线方程=0.67x+54.9,

得=0.67×30+54.9,解得a=68.

6.解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为;

乙机床生产的产品中一级品的频率为.

(2)由题意可知K2的观测值

k==≈10.256>6.635.

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

7.解(1)由题意知,相关系数r==0.875.

因为y与x的相关系数接近1,

所以y与x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.

(2)由题意可得,=8.75,

-8.75×=200-8.75×4=165,

所以=8.75x+165.

当x=10时,=8.75×10+165=252.5,

所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.

8.D　解析在给定范围内,随着年龄的增加,年龄越大,身高越高,该地区青少年身高与年龄成正相关,故A正确;用样本数据估计总体可得平均身高约是145cm,故B正确;根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量,故C正确;各取一人具有随机性,根据数据作出的点只能在直线附近,不一定在直线上,故D错误,故选D.

9.C　解析由题意可知,

b'=2,a'=-2,.

=-,

则<b',>a',故选C.

10.③　解析由题意知,成绩优秀的学生人数是30,成绩非优秀的学生人数是75,所以c=20,b=45,①②错误.

根据列联表中的数据,得到k=≈6.109>5.024,

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩与班级有关系”.故③正确,④错误.

11.解(1)时间的平均数为=3,

报名人数的平均数为=10,

所以=3.7,=10-3.7×3=-1.1,

所以线性回归方程为=3.7x-1.1.

把x=7代入得=24.8≈25,所以第7天的报名人数约为25.

(2)由列联表数据可得k==12,因为12>10.828,

所以在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.