高考数学一轮复习考点规范练45椭圆含解析新人教A版文

考点规范练45　椭圆

基础巩固

1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案:A

解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.

又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.

2.已知椭圆=1的离心率为,则k的值为(　　)

A.- B.21

C.-或21 D.或21

答案:C

解析:若a2=9,b2=4+k,则c=,

由,即,得k=-;

若a2=4+k,b2=9,则c=,

由,即,解得k=21.

3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足(　　)

A.a2>b2 B.

C.0<a<b D.0<b<a

答案:C

解析:由ax2+by2=1,得=1,因为焦点在x轴上,所以>0,所以0<a<b.

4.已知点P(x1,y1)是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是(　　)

A. B.12 

C.16(2+) D.16(2-)

答案:B

解析:∵椭圆方程为=1,∴a=5,b=4,c==3,

因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).

根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=2××3×4=12,故选B.

5.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)

A.+y2=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案:B

解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.

由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.

又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,

故|AF1|=2n.

由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,

得解得

∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴=b.

过点B作x轴的垂线,垂足为点P.

由题意可知△OAF2∽△PBF2.

又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=.

又=b,

∴|BP|=b.∴点B.

把点B坐标代入椭圆方程=1中,得a2=3.

又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为=1.

6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.

因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,

所以圆心到该直线的距离d==a,

整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),

所以,从而e=.故选A.

7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),

则直线l的方程为=1,即bx+cy-bc=0,

短轴长为2b,由题意得×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=.

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　　. 

答案:

解析:由题意得B,C,F(c,0),

所以.

因为∠BFC=90°,所以=0.

所以c2-=0.

又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以e=.

9.已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.

(1)求△ABF2的周长;

(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.

解:(1)∵F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.

∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.

(2)设直线l的方程为x=my-1,

由得(m2+2)y2-2my-1=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-.

∵AF2⊥BF2,∴=0,

∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=(my1-2)(my2-2)+y1y2

=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4

=-2m·+4==0.

∴m2=7.

∴△ABF2的面积S=·|F1F2|·.

10.(2020全国Ⅲ,文21)已知椭圆C:=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

解:(1)由题设可得,得m2=,所以C的方程为=1.

(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.

由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),

所以|BP|=yP,|BQ|=.

因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.

由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).

|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,

故△AP1Q1的面积为.

|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,

故△AP2Q2的面积为.

综上,△APQ的面积为.

能力提升

11.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案:B

解析:∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,

∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.

设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,

化简得x2+y2=c2,联立方程组

整理,得x2=(2c2-a2)·≥0,

解得e≥,又0<e<1,∴≤e<1.故选B.

12.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是　　　　　. 

答案:

解析:设Q(x0,y0),则

解得

因为点Q在椭圆上,所以=1,

化简得a4c2+4c6-a6=0,

即4e6+e2-1=0.

即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,

即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=.

13.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

答案:(1)解设P(x,y),M(x0,y0),

则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).

由得x0=x,y0=y.

因为M(x0,y0)在C上,所以=1.

因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.

(2)证明由题意知F(-1,0).

设Q(-3,t),P(m,n),

则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).

由=1得-3m-m2+tn-n2=1.

又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.

所以=0,即.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

高考预测

14.椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.

解:(1)由题意可得|PF2|==3,

因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,

所以b2=12,故椭圆E方程为=1.

(2)易知点P的坐标为(2,3).

因为∠APF2=∠BPF2,

所以直线PA,PB的斜率之和为0.

设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线PA的方程为y-3=k(x-2),

由

可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,

所以x1+2=,

同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),

可得x2+2=,

所以x1+x2=,x1-x2=,

kAB=

=

=,

所以满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.