2023年新高考数学一轮复习滚动过关检测02集合-函数与导数（2份打包，解析版+原卷版）

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滚动过关检测二　集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·河北沧州一中月考]已知集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{(x，y)|y＝x2－3}，则A∩B的真子集个数为(　　)A．3  B．4C．7  D．82．[2022·福建厦门一中月考]已知a，b＞0，则“≤1”是“ab≤1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是(　　)A．f(x)＋g(x)为奇函数B．f(x)＋g(x)为偶函数C．f(x)g(x)为奇函数D．f(x)g(x)为偶函数4．[2022·山东实验中学月考]设a＝0.540.45，b＝0.450.54，c＝log0.540.45，则下列不等关系成立的是(　　)A．a>b>c  B．c>b>aC．b>a>c  D．c>a>b5．[2022·湖北孝感模拟]已知函数f(x)＝x·(x－a)2在x＝2处有极小值，则a的值为(　　)A．2       B．6C．2或6   D．－2或66．[2022·湖北武汉一中月考]若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)≤0的x的取值范围为(　　)A．(－∞，－1]∪[5，＋∞)B．[－1,0]∪[5，＋∞)C．[－1,0]∪[2,5]D．(－∞，－1]∪[2,5]7．[2022·湖南长沙麓山国际实验学校月考]若两个正实数x，y满足＋＝1，且存在这样的x，y使不等式x＋<m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　)A．(－1,4)B．(－4,1)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)8．[2022·山东济宁模拟]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　)A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·重庆八中月考]若ln a<ln b，则(　　)A.<             B.>C．3a＋a<3b＋b    D．3a＋a>3b＋b10．[2022·福建厦门模拟]已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　)A．f(x1)<f(x2)B．f(x3)<f(x2)C．f(x)在(a，b)内有2个极值点D．f(x)的图象在点x＝0处的切线斜率小于011．[2022·湖北恩施模拟]已知函数f(x)＝|x|＋|x|－cos x，则以下说法正确的是(　　)A．f(x)是偶函数B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增C．当x≤0时，f(x)≤－1D．方程f(x)＝0有且只有两个实根12．[2022·福建福州外国语学校月考]已知函数f(x)＝，函数g(x)＝xf(x)，下列选项正确的是(　　)A．点(0,0)是函数f(x)的零点B．∃x1∈(0,1)，x2∈(1,3)，使f(x1)>f(x2)C．函数f(x)的值域为[－e－1，＋∞)D．若关于x的方程[g(x)]2－2ag(x)＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是∪三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．ax2－2x＋1≥0，∀x>0恒成立，则实数a的取值范围是________．14．[2022·江苏镇江模拟]曲线y＝ln(2x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)．16．[2022·浙江金华模拟]设函数f(x)＝已知不等式f(x)≥0的解集为[－，＋∞)，则a＝________，若方程f(x)＝m有3个不同的解，则m的取值范围是________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－2，x∈[1,3]．(1)当a＝4时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．        18．(12分)已知函数f(x)＝2x－，g(x)＝，且f(x)的图象关于坐标原点成中心对称．(1)求实数a的值；(2)若在y轴的右侧函数f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，求实数m的取值范围．       19.(12分)[2022·北京十五中月考]已知函数f(x)＝＋aln x，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x＋2，求a的值；(2)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．                         20．(12分)已知x＝0是函数f(x)＝ln(a＋x)＋－ax的一个极值点．(1)求a的值；(2)证明：f(x)≥1.         21．(12分)[2022·湖北武汉模拟]北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2件．(1)求该商店一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)求出L的最大值Q(a)．                   22．(12分)[2022·山东莱西模拟]已知函数f(x)＝ax＋eln x(a∈R)，g(x)＝.(1)讨论函数F(x)＝f(x2)的单调性；(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．       滚动过关检测二　集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数1．答案：A解析：联立方程，解得或，即A∩B＝{(3,6)，(－1，－2)}，有2个元素，故A∩B的真子集有22－1＝3个．2．答案：B解析：充分性：取a＝，b＝10，满足≤1，但是ab＝2，不满足ab≤1.故充分性不满足；必要性：ab≤1⇒≤＝≤1.故必要性满足．故“≤1”是“ab≤1”的必要不充分条件．3．答案：C解析：令F1(x)＝f(x)＋g(x)，则F1(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－F1(x)，且F1(－x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2(x)＝f(x)g(x)，则F2(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F2(x)，且F2(－x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选C.4．答案：D解析：因为f(x)＝0.54x在R上递减，所以1＝0.540>0.540.45>0.540.54，又因为f(x)＝x0.54在[0，＋∞)上单调递增，所以0.540.54>0.450.54>0，由1＝0.540>0.540.45>0.540.54,0.540.54>0.450.54>0，所以1>0.540.45>0.450.54>0，因为g(x)＝log0.54x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.540.45>log0.540.54＝1，所以c>a>b.5．答案：A解析：∵函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2，又f(x)＝x(x－a)2在x＝2处有极值，∴f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或6，又由函数在x＝2处有极小值，故a＝2，a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，所以函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处有极大值，不符合题意．6．答案：C解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，所以由xf(x－2)≤0可得：或或x＝0，解得－1≤x≤0或2≤x≤5.7．答案：C解析：因为正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且＋＝1，即x＝2，y＝8时取等号，所以min＝4，因为存在x，y使不等式x＋<m2＋3m有解，所以m2＋3m>4，解得：m>1或m<－4，所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．8．答案：C解析：由题意可知，函数f(x)在R上单调递减．f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.构造h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，即e2f(2)<ef(1)，ef(2)<f(1)，故A，B错误；构造g(x)＝，定义域为R，则g′(x)＝＝>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(1)，即>，f(2)>ef(1)，故D错误．9．答案：BC解析：∵ln a<ln b，∴0<a<b，∴>，故A错误，B正确；令f(x)＝3x＋x，易得f(x)是单调递增函数，∴f(a)<f(b)，即3a＋a<3b＋b，故C正确，D错误．10．答案：AC解析：由y＝f′(x)的图象可知：当a<x<x3或x5<x<b时，f′(x)>0，当x3<x<x5时f′(x)<0，所以y＝f(x)在(a，x3)上单调递增，在(x3，x5)上单调递减，在(x5，b)上单调递增，对于A、B，y＝f(x)在(a，x3)上单调递增，所以y＝f(x)在(x1，x3)上单调递增，所以f(x1)<f(x2)<f(x3)，故选项A正确，选项B不正确；对于C，y＝f(x)在(a，x3)上单调递增，在(x3，x5)上单调递减，在(x5，b)上单调递增，所以y＝f(x)在x＝x3处取得极大值，在x＝x5处取得极小值，所以f(x)在(a，b)内有2个极值点，故选项C正确；对于D，由图知f′(0)>0，根据导数的几何意义可知f(x)的图象在点x＝0处的切线斜率大于0，故选项D不正确．11．答案：ABD解析：A.f(x)的定义域为R关于原点对称，f(－x)＝|－x|＋|－x|－cos(－x)＝|x|＋|x|－cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确；B.当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋x－cos x，f′(x)＝1＋＋sin x,1＋sin x≥0，>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C.因为f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以x≤0，f(x)≥f(0)＝－1，故错误；D.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝2－cos 1>0，f(0)·f(1)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又因为f(x)为偶函数，所以方程f(x)＝0有且仅有两根，故正确．12．答案：BC解析：对于A,0是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于B，当x<1时，f′(x)＝(x＋1)ex，则当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－1<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以，当0<x<1时，0<f(x)<e；当x>1时，f′(x)＝，则当1<x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以，当1<x<3时，<f(x)<e，画出图象如图1，综上可得，选项B正确；对于C，f(x)min＝f(－1)＝－，选项C正确．结合函数f(x)的单调性及图象可得：函数f(x)有且只有一个零点0，则g(x)＝xf(x)也有且只有一个零点0.　所以对于选项D，关于x的方程[g(x)]2－2ag(x)＝0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)[g(x)－2a]＝0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)－2a＝0有一个非零的实数根⇔函数y＝g(x)的图象与直线y＝2a有一个交点，且x≠0，则g(x)＝当x<1时，g′(x)＝exx(x＋2)，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下： xx<－2－2－2<x<000<x<1g′(x)＋0－0＋g(x)增极大值减极小值增极大值g(－2)＝，极小值g(0)＝0；当x≥1时，g′(x)＝，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下： x11<x<22x>2g′(x)－e－0＋g(x)e减极小值增极小值g(2)＝.画出图象如图2，综上可得，<2a<或2a>e，解得a的取值范围是∪.故D错误．13．答案：[1，＋∞)解析：由ax2－2x＋1≥0，∀x>0恒成立，可得，a≥－对∀x>0恒成立，令y＝－，则y＝1－2，，当＝1时，ymax＝1，所以a≥ymax＝1.14．答案：y＝2x解析：函数y＝ln(2x＋1)的导数为y′＝，所以切线的斜率k＝＝2，切点为(0,0)，则切线方程为y＝2x.15．答案：6 876解析：∵样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2，由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，∴N0·2＝N0，即2＝，两边同时取以2为底的对数，得：＝log23－log27＝－≈－＝－1.2.∴T＝1.2×5 730＝6 876年．∴推测良渚古城存在的时期距今约6 876年．16．答案：0　(0,2)解析：由y＝x3－3x，得y′＝3x2－3；由y′>0得x>1或x<－1；由y′<0得－1<x<1；所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；因此，当x＝－1时，函数y＝x3－3x取得极大值2；当x＝1时，函数y＝x3－3x取得极小值－2；由x3－3x＝0可得x＝0或x＝±；在同一直角坐标系中，作出函数y＝x3－3x与y＝x的大致图象如图，由图象可得，当x∈[－，0]∪[，＋∞)时，x3－3x≥0；因为f(x)＝，为使不等式f(x)≥0的解集为[－，＋∞)，结合图象可知，只有a＝0；所以f(x)＝因为方程f(x)＝m有3个不同的解，等价于函数y＝f(x)与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)＝的大致图象如图：由图象可得，0<m<2.17．解析：(1)当a＝4时，函数f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2.因为x∈[1,3]，所以x－2∈[－1,1]，(x－2)2∈[0,1]，－(x－2)2＋2∈[1,2]，所以函数f(x)的值域为[1,2]．(2)由－x2＋ax－2<0，得：ax<x2＋2.因为x∈[1,3]，所以a<＝x＋.因为x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，所以min＝2，所以a<2.18．解析：(1)∵f(x)的图象关于坐标原点成中心对称，∴f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，2－1－＝－，解得a＝1.又a＝1时，f(x)＝2x－，f(－x)＝2－x－＝－＝－f(x)，所以a＝1.(2)∵在y轴的右侧函数f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，∴2x－>，即m＋1<2x－对x∈(0，＋∞)恒成立．∵y＝2x与y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，∴y＝2x－在(0，＋∞)上是增函数，∴当x>0时，2x－>－1，∴m＋1≤－1，解得m≤－2，故所求实数m的取值范围为(－∞，－2]．19．解析：(1)∵曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x＋2，又直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的导数为f′(x)＝－＋，∴f′(1)＝－＋＝－1，∴a＝1.(2)∵f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，在区间(0，e]上f′(x)＝<0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝.②当<0即a<0时，在区间(0，e]上f′(x)<0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋a.③当0<<e，即a>时，在区间上f′(x)<0，此时函数f(x)在区间上单调递减，在区间上f′(x)>0，此时函数f(x)在区间上单调递增，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln.④当≥e，即0<a≤时，在区间(0，e]上f′(x)≤0，此时函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，则函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝a＋.综上所述，当a≤时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a＋，当a>时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln.20．解析：(1)由题意，f′(x)＝＋－a，因为x＝0是函数f(x)的一个极值点，所以f′(0)＝－a＝0，解得a＝±1.又因为a＋0>0，所以a＝1.(2)证明：由(1)可知f(x)＝ln(x＋1)＋－x的定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝＋－1＝，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥0；当x∈(－1,0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－1,0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，从而对于∀x∈(－1，＋∞)，g(x)≥g(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－1,0)上单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故对于∀x∈(－1，＋∞)，f(x)≥f(0)＝1.21．解析：(1)由题可知，预计每件产品的售价为x元(13≤x≤17)，而每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，所以商店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．(2)∵L＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴L′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，令L′＝0，解得：x＝或x＝18，∵10≤a≤13，∴16≤≤18，所以①当13≤<17，即10≤a≤11.5时，当x∈时，L′(x)≥0，L(x)单调递增，当x∈时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，∴Lmax＝L＝(13－a)3；②当17≤≤18，即11.5≤a≤13时，则L′(x)≥0恒成立，所以L(x)在[13,17]单调递增，∴Lmax＝L(17)＝12－a，所以Q(a)＝.22．解析：(1)F(x)＝f(x2)＝ax2＋eln x2＝ax2＋2eln x(x>0)则F′(x)＝2ax＋＝，当a≥0时，F′(x)≥0，则F(x)为单调递增函数，当a<0时，令F′(x)＝0，解得x＝ ，当x∈时，F′(x)>0，则F(x)为单调递增函数，当x∈时，F′(x)<0，则F(x)为单调递减函数，综上：当a≥0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a<0时，F(x)的增区间为，减区间为.(2)由ax＋eln x＝(x>0)，可得a＋＝，令t＝h(x)＝，则a＋t＝，所以t2＋(a－1)t－a＋1＝0　①，由h′(x)＝＝0，得x＝e，所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，又x→＋∞时，h(x)→0，作出h(x)图象，如图所示，由题意可得方程①的根，有一个t1必在(0,1)内，令一个根t2＝1或t2＝0或t2∈(－∞，0)，当t2＝1时，方程①无意义，当t2＝0时，a＝1，t2＝0不满足题意，所以当t2∈(－∞，0)时，由二次函数的性质可得，解得a>1.综上：实数a的取值范围为(1，＋∞)．