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2023年新高考数学一轮复习滚动过关检测05集合-平面向量与复数（2份打包，解析版+原卷版）
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这是一份2023年新高考数学一轮复习滚动过关检测05集合-平面向量与复数（2份打包，解析版+原卷版），文件包含2023年新高考数学一轮复习滚动过关检测05集合-平面向量与复数含答案详解doc、滚动过关检测五集合常用逻辑用语不等式函数与导数三角函数与解三角形数列平面向量与复数docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
1．设集合M＝{x|lg3(x－2)<0}，N＝{x|x≥－2}，集合M∩N＝( )
A．{x|－2≤x<2} B．{x|－2≤x<3}
C．{x|22．[2021·新高考Ⅰ卷]已知z＝2－i，则zeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(z,\s\up6(－))＋i))＝( )
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
3．[2022·山东春考]已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,12)，sin\f(5π,12)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)，sin\f(π,12)))，那么a·b等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D．0
4．[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
5．在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则eq \f(a4＋a5,a1＋a2)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
6．[2022·福建三明模拟]在△ABC中，点D满足eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，点E为线段AD的中点，则向量eq \(CE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
7．[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a，b满足|b|＝eq \r(2)|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．45° B．135°
C．60° D．120°
8．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x)＝f(－x)e2x，当x>0时，f′(x)>f(x)恒成立，则下列判断一定正确的是( )
A．e5f(2)B．f(2)C．e2f(－2)D．f(－2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．[2022·江苏无锡一中月考]若复数z满足z(1－2i)＝10，则( )
A．|z|＝2eq \r(5)
B．z－2是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝eq \f(\r(5),5)
10．下列命题错误的是( )
A．命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“∃x∈R，x2＋1>3x”
B．函数“f(x)＝cs ax－sin ax的最小正周期为π”是“a＝2”的必要不充分条件
C．x2＋2x≥ax在x∈[1,2]时有解⇔(x2＋2x)min≥(ax)min在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))时成立
D．“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”
11．[2022·山东师范大学附中月考]定义在R的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈(0,3)时f(x)＝x2－3x，则以下结论正确的有( )
A．f(x)的周期为6
B．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))对称
C．f(2021)＝2
D．f(x)的图象关于x＝eq \f(3,2)对称
12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( )
A．|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|
B．|eq \(AP1,\s\up6(→))|＝|eq \(AP2,\s\up6(→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝eq \(OP1,\s\up6(→))·eq \(OP2,\s\up6(→))
D. eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．[2022·天津静海一中月考]已知lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n的值为________．
14．[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝________.
15．[2022·江苏响水中学月考]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|16．[2022·北京101中学高三开学考试]△ABC中，D为AC上的一点，满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→)).若P为BD上的一点，满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m>0，n>0))，则mn的最大值为________；eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a，b满足，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝2，且a与b不共线．
(1)若向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，求实数k的值；
(2)若向量a与b的夹角为60°，求2a＋b与a－b的夹角θ.
18．(12分)[2022·山东日照模拟]向量m＝(2sin x，eq \r(3))，n＝(cs x，cs 2x)，已知函数f(x)＝m·n，
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)－\f(π,6)))＝eq \r(3)，且sin B＋sin C＝eq \f(13\r(3),14)，求b＋c的值．
19．(12分)设{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是公差为1的等差数列，已知a2＝2，a4＝a3＋4，a3＝b3＋b1.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}的前n项和为Tn，求Tn.
20．(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n.
(1)求C；
(2)若eq \r(6)c＋3b＝3a，求sin A.
21．(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1.
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,n)))是常数数列；
(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋x－ex.
(1)若a＝eq \f(1,2)，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．
滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数
1.答案：C
解析：因为M＝{x|lg3(x－2)<0}＝{x|22．答案：C
解析：因为z＝2－i，故eq \(z,\s\up6(－))＝2＋i，故zeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(z,\s\up6(－))＋i))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2i))＝6＋2i.
3．答案：A
解析：a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,12)，sin\f(5π,12)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)，sin\f(π,12)))，a·b＝cseq \f(5π,12)cseq \f(π,12)＋sineq \f(5π,12)sineq \f(π,12)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
4．答案：A
解析：因为eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq \(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三点共线．
5．答案：A
解析：由题设，a2a3＝aeq \\al(2,1)q3＝8，又a1＝1，可得q＝2，∴eq \f(a4＋a5,a1＋a2)＝eq \f(a1q3＋a1q4,a1＋a1q)＝eq \f(24,3)＝8.
6．答案：D
解析：
由E为线段AD的中点，则eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))，又D满足eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→)).
7．答案：B
解析：∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝3|a|2－|a|·|b|cs 〈a，b〉－2|b|2＝0，又|b|＝eq \r(2)|a|且|a|≠0，
∴3|a|2－eq \r(2)|a|2cs 〈a，b〉－4|a|2＝－|a|2－eq \r(2)|a|2cs 〈a，b〉＝0，
∴cs 〈a，b〉＝－eq \f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4)，即〈a，b〉＝135°.
8．答案：B
解析：令g(x)＝eq \f(fx,ex)，则g′(x)＝eq \f(f′x－fx,ex)，
∵x>0时，f′(x)>f(x)恒成立，∴x>0时，g′(x)>0，即g(x)单调递增，又eq \f(fx,ex)＝eq \f(f－x,e－x)，则g(－x)＝g(x)，g(x)为偶函数．
∴x<0时，g(x)单调递减．
eq \f(f2,e2)＝eq \f(f－2,e－2)e5f(－2)、ef(－3)>f(－2)，∴A、C、D错误，B正确．
9．答案：AB
解析：由题意z＝eq \f(10,1－2i)＝eq \f(101＋2i,1－2i1＋2i)＝2＋4i，|z|＝2eq \r(5)，A选项正确；
z－2＝4i，B选项正确；
z在复平面内对应点为(2,4)，对应点在第一象限，C选项错误；
sin α＝eq \f(4,\r(4＋16))＝eq \f(2\r(5),5)，D选项错误．
10．答案：ACD
解析：对A：命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x，故A错误；对B：由函数f(x)＝cs ax－sin ax＝eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(π,4)))，则T＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2π,a)))＝π，则a＝±2，故B正确；对C：a＝2时，x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，而(x2＋2x)min＝3<(2x)max＝4，故C错误；对D，当“a·b<0”时，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”，故D错误．
11．答案：ACD
解析：因为f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，
所以f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，故A选项正确；
由于函数为R的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－3)＝－f(x)＝f(－x)，所以根据周期性得f(x＋3)＝f(－x)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
所以f(x)的图象关于x＝eq \f(3,2)对称，故B错误，D正确；
对于C选项，结合周期性得
f(2 021)＝f(336×6＋5)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1＋3＝2，故正确．
故选ACD.
12．答案：AC
解析：A：eq \(OP1,\s\up6(→))＝(cs α，sin α)，eq \(OP2,\s\up6(→))＝(cs β，－sin β)，所以|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝eq \r(cs 2α＋sin 2α)＝1，|eq \(OP2,\s\up6(→))|＝eq \r(cs2 β＋－sin β2)＝1，故|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|，正确；
B：eq \(AP1,\s\up6(→))＝(cs α－1，sin α)，eq \(AP2,\s\up6(→))＝(cs β－1，－sin β)，
所以|eq \(AP1,\s\up6(→))|＝eq \r(cs α－12＋sin 2α)＝eq \r(cs 2α－2cs α＋1＋sin 2α)
＝eq \r(21－cs α)＝eq \r(4sin 2\f(α,2))＝2|sin eq \f(α,2)|，
同理|eq \(AP2,\s\up6(→))|＝eq \r(cs β－12＋sin 2β)＝2|sin eq \f(β,2)|，故|eq \(AP1,\s\up6(→))|，|eq \(AP2,\s\up6(→))|不一定相等，错误；
C：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝1×cs(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cs(α＋β)，eq \(OP1,\s\up6(→))·eq \(OP2,\s\up6(→))＝cs α·cs β＋sin α·(－sin β)＝cs(α＋β)，正确；
D：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝1×cs α＋0×sin α＝cs α，eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝cs β×cs(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β))，故一般来说eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))≠eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))，错误．
故选AC.
13．答案：eq \f(9,2)
解析：由题设，m＋2n＝lgaeq \f(1,2)＋2lga3＝lgaeq \f(9,2)，∴am＋2n＝algaeq \f(9,2)＝eq \f(9,2).
14．答案：45
解析：因为数列{an}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝15，所以a5＝5，所以S9＝eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a9)),2)＝9a5＝45.
15．答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))
解析：由图象知：eq \f(3T,4)＝eq \f(11,2)－1＝eq \f(9,2)，即T＝6，则T＝eq \f(2π,ω)＝6，可得ω＝eq \f(π,3)，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，A))，B的横坐标为1＋eq \f(T,2)＝1＋3＝4，即B(4，－A)，
∵eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，∴(1，A)·(4，－A)＝0，则1×4－A2＝0，A>0，得A＝2，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))，
由五点作图法知：eq \f(π,3)×1＋φ＝eq \f(π,2)，得φ＝eq \f(π,6)，综上，函数的解析式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6))).
16．答案：eq \f(1,16) 16
解析：
如图所示，由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋4neq \(AD,\s\up6(→))，所以m＋4n＝1(m>0，n>0)，
所以mn＝eq \f(1,4)m·(4n)≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋4n,2)))2＝eq \f(1,16)，等号成立当且仅当m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,8)，所以mn的最大值为eq \f(1,16).
因为eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)＋\f(1,n)))(m＋4n)＝8＋eq \f(16n,m)＋eq \f(m,n)≥16，等号成立当且仅当m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,8)，
所以eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为16.
17．解析：(1)因为向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a＋kb＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ka＋2b))，且a与b不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝kλ,k＝2λ))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(\r(2),2),k＝－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(\r(2),2),k＝\r(2)))(舍)；所以实数k的值为－eq \r(2)；
(2)因为向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，
所以a·b＝|a|·|b|·cs 60°＝1×2×eq \f(1,2)＝1，
(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝2|a|2－a·b－|b|2＝2×12－1－22＝－3，
|2a＋b|＝eq \r(2a＋b2)＝eq \r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq \r(4＋4＋22)＝2eq \r(3)，
|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1－2×1＋22)＝eq \r(3)，
所以cs θ＝eq \f(2a＋b·a－b,|2a＋b|·|a－b|)＝eq \f(－3,2\r(3)×\r(3))＝－eq \f(1,2)，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
18．解析：(1)f(x)＝m·n＝2sin xcs x＋eq \r(3)cs 2x＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴f(x)的最小正周期T＝π；
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得：eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))(k∈Z)．
(2)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)－\f(π,6)))＝2sin A＝eq \r(3)得：sin A＝eq \f(\r(3),2)，又A为锐角，∴A＝eq \f(π,3)；
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(7,\f(\r(3),2))＝eq \f(14\r(3),3)，
∴b＋c＝eq \f(14\r(3),3)(sin B＋sin C)＝eq \f(14\r(3),3)×eq \f(13\r(3),14)＝13.
19．解析：(1)设{an}的公比为q，因为a2＝2，a4＝a3＋4，所以a2q2＝a2q＋4，即2q2＝2q＋4，
所以q2－q－2＝0，因为q>0，所以q＝2，
所以an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1，
所以a3＝b3＋b1＝4，
设{bn}的公差为d，则d＝1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＋2d＋b1＝4,d＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝1,d＝1))，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n；
(2)因为an＝2n－1，所以a1＝20＝1，所以an＋bn＝2n－1＋n，
所以Tn＝(20＋22＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋n)＝eq \f(1－2n,1－2)＋eq \f(n1＋n,2)＝2n＋eq \f(n2＋n,2)－1，所以Tn＝2n＋eq \f(n2＋n,2)－1.
20．解析：(1)因为m∥n，所以(c－a)(sin A＋sin C)＝(b－a)sin B，由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
(2)由(1)知B＝eq \f(2π,3)－A，由题设及正弦定理得eq \r(6)sin C＋3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝3sin A，
即eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A＝sin A，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2).
由于0故sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))cseq \f(π,3)＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
21．解析：(1)由n(an＋1－an)＝an＋1得：nan＋1＝(n＋1)an＋1，即eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋eq \f(1,nn＋1)
∴eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，即有eq \f(an＋1＋1,n＋1)＝eq \f(an＋1,n)，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,n)))是常数数列；
(2)由(1)知：eq \f(an＋1,n)＝a1＋1＝3，∴an＝3n－1，∴bn＝(－1)n(3n－1)，
即bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n－1，n为偶数,－3n－1，n为奇数))，
∴当n为偶数时，Sn＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3n－4＋3n－1))＝eq \f(3n,2)，显然Sn≤－99无解；
当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝eq \f(3n＋1,2)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3n＋1－1))＝－eq \f(3n＋1,2)，令Sn≤－99，解得：n≥eq \f(197,3)，
结合n为奇数得：n的最小值为67.
22．解析：(1)当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x－ex，
所以f′(x)＝x＋1－ex，
令g(x)＝f′(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，
所以当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≤g(0)＝0，即f′(x)≤0，
所以函数f(x)为R上的单调递减函数．
(2)若f(x)≤1恒成立，即ax2＋x－ex≤1恒成立，
显然，当x＝0时成立，
当x≠0时，不等式等价于a≤eq \f(ex－x＋1,x2)恒成立，
令h(x)＝eq \f(ex－x＋1,x2)，
则h′(x)＝eq \f(x－2ex＋1,x3)，
当h′(x)>0时，得x<0或x>2，即函数h(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，
当h′(x)<0时，得0由于x→－∞时，h(x)由正数趋近于0，当x＝2时，h(2)min＝eq \f(e2－1,4)>0，
所以函数h(x)的草图如图，
所以a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex－x＋1,x2)))min恒成立，只需a≤0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0]．
1．设集合M＝{x|lg3(x－2)<0}，N＝{x|x≥－2}，集合M∩N＝( )
A．{x|－2≤x<2} B．{x|－2≤x<3}
C．{x|2
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
3．[2022·山东春考]已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,12)，sin\f(5π,12)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)，sin\f(π,12)))，那么a·b等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D．0
4．[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
5．在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则eq \f(a4＋a5,a1＋a2)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
6．[2022·福建三明模拟]在△ABC中，点D满足eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，点E为线段AD的中点，则向量eq \(CE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
7．[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a，b满足|b|＝eq \r(2)|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．45° B．135°
C．60° D．120°
8．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x)＝f(－x)e2x，当x>0时，f′(x)>f(x)恒成立，则下列判断一定正确的是( )
A．e5f(2)
9．[2022·江苏无锡一中月考]若复数z满足z(1－2i)＝10，则( )
A．|z|＝2eq \r(5)
B．z－2是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝eq \f(\r(5),5)
10．下列命题错误的是( )
A．命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“∃x∈R，x2＋1>3x”
B．函数“f(x)＝cs ax－sin ax的最小正周期为π”是“a＝2”的必要不充分条件
C．x2＋2x≥ax在x∈[1,2]时有解⇔(x2＋2x)min≥(ax)min在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))时成立
D．“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”
11．[2022·山东师范大学附中月考]定义在R的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈(0,3)时f(x)＝x2－3x，则以下结论正确的有( )
A．f(x)的周期为6
B．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))对称
C．f(2021)＝2
D．f(x)的图象关于x＝eq \f(3,2)对称
12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( )
A．|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|
B．|eq \(AP1,\s\up6(→))|＝|eq \(AP2,\s\up6(→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝eq \(OP1,\s\up6(→))·eq \(OP2,\s\up6(→))
D. eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．[2022·天津静海一中月考]已知lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n的值为________．
14．[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝________.
15．[2022·江苏响水中学月考]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a，b满足，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝2，且a与b不共线．
(1)若向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，求实数k的值；
(2)若向量a与b的夹角为60°，求2a＋b与a－b的夹角θ.
18．(12分)[2022·山东日照模拟]向量m＝(2sin x，eq \r(3))，n＝(cs x，cs 2x)，已知函数f(x)＝m·n，
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)－\f(π,6)))＝eq \r(3)，且sin B＋sin C＝eq \f(13\r(3),14)，求b＋c的值．
19．(12分)设{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是公差为1的等差数列，已知a2＝2，a4＝a3＋4，a3＝b3＋b1.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}的前n项和为Tn，求Tn.
20．(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n.
(1)求C；
(2)若eq \r(6)c＋3b＝3a，求sin A.
21．(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1.
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,n)))是常数数列；
(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋x－ex.
(1)若a＝eq \f(1,2)，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．
滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数
1.答案：C
解析：因为M＝{x|lg3(x－2)<0}＝{x|2
解析：因为z＝2－i，故eq \(z,\s\up6(－))＝2＋i，故zeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(z,\s\up6(－))＋i))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2i))＝6＋2i.
3．答案：A
解析：a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,12)，sin\f(5π,12)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)，sin\f(π,12)))，a·b＝cseq \f(5π,12)cseq \f(π,12)＋sineq \f(5π,12)sineq \f(π,12)＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
4．答案：A
解析：因为eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq \(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三点共线．
5．答案：A
解析：由题设，a2a3＝aeq \\al(2,1)q3＝8，又a1＝1，可得q＝2，∴eq \f(a4＋a5,a1＋a2)＝eq \f(a1q3＋a1q4,a1＋a1q)＝eq \f(24,3)＝8.
6．答案：D
解析：
由E为线段AD的中点，则eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))，又D满足eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→)).
7．答案：B
解析：∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝3|a|2－|a|·|b|cs 〈a，b〉－2|b|2＝0，又|b|＝eq \r(2)|a|且|a|≠0，
∴3|a|2－eq \r(2)|a|2cs 〈a，b〉－4|a|2＝－|a|2－eq \r(2)|a|2cs 〈a，b〉＝0，
∴cs 〈a，b〉＝－eq \f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4)，即〈a，b〉＝135°.
8．答案：B
解析：令g(x)＝eq \f(fx,ex)，则g′(x)＝eq \f(f′x－fx,ex)，
∵x>0时，f′(x)>f(x)恒成立，∴x>0时，g′(x)>0，即g(x)单调递增，又eq \f(fx,ex)＝eq \f(f－x,e－x)，则g(－x)＝g(x)，g(x)为偶函数．
∴x<0时，g(x)单调递减．
eq \f(f2,e2)＝eq \f(f－2,e－2)
9．答案：AB
解析：由题意z＝eq \f(10,1－2i)＝eq \f(101＋2i,1－2i1＋2i)＝2＋4i，|z|＝2eq \r(5)，A选项正确；
z－2＝4i，B选项正确；
z在复平面内对应点为(2,4)，对应点在第一象限，C选项错误；
sin α＝eq \f(4,\r(4＋16))＝eq \f(2\r(5),5)，D选项错误．
10．答案：ACD
解析：对A：命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x，故A错误；对B：由函数f(x)＝cs ax－sin ax＝eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(π,4)))，则T＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2π,a)))＝π，则a＝±2，故B正确；对C：a＝2时，x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，而(x2＋2x)min＝3<(2x)max＝4，故C错误；对D，当“a·b<0”时，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”，故D错误．
11．答案：ACD
解析：因为f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，
所以f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，故A选项正确；
由于函数为R的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－3)＝－f(x)＝f(－x)，所以根据周期性得f(x＋3)＝f(－x)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
所以f(x)的图象关于x＝eq \f(3,2)对称，故B错误，D正确；
对于C选项，结合周期性得
f(2 021)＝f(336×6＋5)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1＋3＝2，故正确．
故选ACD.
12．答案：AC
解析：A：eq \(OP1,\s\up6(→))＝(cs α，sin α)，eq \(OP2,\s\up6(→))＝(cs β，－sin β)，所以|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝eq \r(cs 2α＋sin 2α)＝1，|eq \(OP2,\s\up6(→))|＝eq \r(cs2 β＋－sin β2)＝1，故|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|，正确；
B：eq \(AP1,\s\up6(→))＝(cs α－1，sin α)，eq \(AP2,\s\up6(→))＝(cs β－1，－sin β)，
所以|eq \(AP1,\s\up6(→))|＝eq \r(cs α－12＋sin 2α)＝eq \r(cs 2α－2cs α＋1＋sin 2α)
＝eq \r(21－cs α)＝eq \r(4sin 2\f(α,2))＝2|sin eq \f(α,2)|，
同理|eq \(AP2,\s\up6(→))|＝eq \r(cs β－12＋sin 2β)＝2|sin eq \f(β,2)|，故|eq \(AP1,\s\up6(→))|，|eq \(AP2,\s\up6(→))|不一定相等，错误；
C：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝1×cs(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cs(α＋β)，eq \(OP1,\s\up6(→))·eq \(OP2,\s\up6(→))＝cs α·cs β＋sin α·(－sin β)＝cs(α＋β)，正确；
D：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝1×cs α＋0×sin α＝cs α，eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝cs β×cs(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β))，故一般来说eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))≠eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))，错误．
故选AC.
13．答案：eq \f(9,2)
解析：由题设，m＋2n＝lgaeq \f(1,2)＋2lga3＝lgaeq \f(9,2)，∴am＋2n＝algaeq \f(9,2)＝eq \f(9,2).
14．答案：45
解析：因为数列{an}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝15，所以a5＝5，所以S9＝eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a9)),2)＝9a5＝45.
15．答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))
解析：由图象知：eq \f(3T,4)＝eq \f(11,2)－1＝eq \f(9,2)，即T＝6，则T＝eq \f(2π,ω)＝6，可得ω＝eq \f(π,3)，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，A))，B的横坐标为1＋eq \f(T,2)＝1＋3＝4，即B(4，－A)，
∵eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，∴(1，A)·(4，－A)＝0，则1×4－A2＝0，A>0，得A＝2，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))，
由五点作图法知：eq \f(π,3)×1＋φ＝eq \f(π,2)，得φ＝eq \f(π,6)，综上，函数的解析式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6))).
16．答案：eq \f(1,16) 16
解析：
如图所示，由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋4neq \(AD,\s\up6(→))，所以m＋4n＝1(m>0，n>0)，
所以mn＝eq \f(1,4)m·(4n)≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋4n,2)))2＝eq \f(1,16)，等号成立当且仅当m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,8)，所以mn的最大值为eq \f(1,16).
因为eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)＋\f(1,n)))(m＋4n)＝8＋eq \f(16n,m)＋eq \f(m,n)≥16，等号成立当且仅当m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,8)，
所以eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为16.
17．解析：(1)因为向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a＋kb＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ka＋2b))，且a与b不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝kλ,k＝2λ))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(\r(2),2),k＝－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(\r(2),2),k＝\r(2)))(舍)；所以实数k的值为－eq \r(2)；
(2)因为向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，
所以a·b＝|a|·|b|·cs 60°＝1×2×eq \f(1,2)＝1，
(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝2|a|2－a·b－|b|2＝2×12－1－22＝－3，
|2a＋b|＝eq \r(2a＋b2)＝eq \r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq \r(4＋4＋22)＝2eq \r(3)，
|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1－2×1＋22)＝eq \r(3)，
所以cs θ＝eq \f(2a＋b·a－b,|2a＋b|·|a－b|)＝eq \f(－3,2\r(3)×\r(3))＝－eq \f(1,2)，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
18．解析：(1)f(x)＝m·n＝2sin xcs x＋eq \r(3)cs 2x＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴f(x)的最小正周期T＝π；
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得：eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))(k∈Z)．
(2)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)－\f(π,6)))＝2sin A＝eq \r(3)得：sin A＝eq \f(\r(3),2)，又A为锐角，∴A＝eq \f(π,3)；
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(7,\f(\r(3),2))＝eq \f(14\r(3),3)，
∴b＋c＝eq \f(14\r(3),3)(sin B＋sin C)＝eq \f(14\r(3),3)×eq \f(13\r(3),14)＝13.
19．解析：(1)设{an}的公比为q，因为a2＝2，a4＝a3＋4，所以a2q2＝a2q＋4，即2q2＝2q＋4，
所以q2－q－2＝0，因为q>0，所以q＝2，
所以an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1，
所以a3＝b3＋b1＝4，
设{bn}的公差为d，则d＝1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＋2d＋b1＝4,d＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝1,d＝1))，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n；
(2)因为an＝2n－1，所以a1＝20＝1，所以an＋bn＝2n－1＋n，
所以Tn＝(20＋22＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋n)＝eq \f(1－2n,1－2)＋eq \f(n1＋n,2)＝2n＋eq \f(n2＋n,2)－1，所以Tn＝2n＋eq \f(n2＋n,2)－1.
20．解析：(1)因为m∥n，所以(c－a)(sin A＋sin C)＝(b－a)sin B，由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
(2)由(1)知B＝eq \f(2π,3)－A，由题设及正弦定理得eq \r(6)sin C＋3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝3sin A，
即eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A＝sin A，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2).
由于0
21．解析：(1)由n(an＋1－an)＝an＋1得：nan＋1＝(n＋1)an＋1，即eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋eq \f(1,nn＋1)
∴eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，即有eq \f(an＋1＋1,n＋1)＝eq \f(an＋1,n)，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,n)))是常数数列；
(2)由(1)知：eq \f(an＋1,n)＝a1＋1＝3，∴an＝3n－1，∴bn＝(－1)n(3n－1)，
即bn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n－1，n为偶数,－3n－1，n为奇数))，
∴当n为偶数时，Sn＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3n－4＋3n－1))＝eq \f(3n,2)，显然Sn≤－99无解；
当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝eq \f(3n＋1,2)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3n＋1－1))＝－eq \f(3n＋1,2)，令Sn≤－99，解得：n≥eq \f(197,3)，
结合n为奇数得：n的最小值为67.
22．解析：(1)当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x－ex，
所以f′(x)＝x＋1－ex，
令g(x)＝f′(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，
所以当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≤g(0)＝0，即f′(x)≤0，
所以函数f(x)为R上的单调递减函数．
(2)若f(x)≤1恒成立，即ax2＋x－ex≤1恒成立，
显然，当x＝0时成立，
当x≠0时，不等式等价于a≤eq \f(ex－x＋1,x2)恒成立，
令h(x)＝eq \f(ex－x＋1,x2)，
则h′(x)＝eq \f(x－2ex＋1,x3)，
当h′(x)>0时，得x<0或x>2，即函数h(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，
当h′(x)<0时，得0
所以函数h(x)的草图如图，
所以a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex－x＋1,x2)))min恒成立，只需a≤0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0]．
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