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2020-2021学年第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试练习
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这是一份2020-2021学年第1章 三角形的初步知识综合与测试单元测试练习，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学八年级上册第一章《三角形的初步认识》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，正确的是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE.其中正确的结论是( )
A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
3. 下列命题中，真命题的个数有( )
①同一平面内，两条直线一定互相平行；②有一条公共边的角叫邻补角；③内错角相等。④对顶角相等；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 给出下列4个命题：①对顶角相等；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知命题：“若a为实数，则a2=a”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( )
A. a=1 B. a=0
C. a=−1−k( k为实数 ) D. a=−1−k2(k为实数)
6. 如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//BC，BE、CD交于点F.若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是( )
A. 105° B. 110° C. 100° D. 120°
7. 如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：
①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC .其中正确的有个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G.现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE=EF；④MG⋅MH=12，其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是( )
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
11. 如图，用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是( )
A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
12. 小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞(不考虑多个小球相撞的情况).若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球.现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球.以下说法：其中正确的说法是( )
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A. ① B. ②③ C. ③ D. ①③
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 容器中有A，B，C3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；
②最后一颗粒子一定是C粒子；
③最后一颗粒子一定不是B粒子；
④以上都不正确．
其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号)．
14. 在△ABC和△A1B1C1中，已知AC=A1C1=2，BC=4，B1C1=3，∠C=120°，∠C1=60°，点D，D1分别在边AB，A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是______ ．
15. 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=3，BC=5，AE=25，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD=DE.F是AE边上的一点，连接BD和BF，BD且∠FBD=45°，则AF长为______．
16. 已知，在△ABC中，∠A>∠B.分别以点A，C为圆心、大于12AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D；再分别以点B，D为圆心、大于12BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E.若△CDE是等边三角形，则∠A=______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
17. 【初步认识】
(1)如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．
求证：∠BOC=90°+12∠A．
【继续探索】如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设∠AED=m°，∠C=n°(m
①若m=50，n=70，求∠BOD的度数；
②用含m、n的式子直接表示∠BOD的度数为______．
(3)如图③，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，射线CO与∠ADE的平分线所在的直线相交于点H(不与点D重合)，直接写出点H在不同位置时，∠DHC与∠BOC之间满足的数量关系(用含m、n的式子表示)．
18. (1)如图，DE // BC，∠1=∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
(2)若把(1)中的“DE // BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由；
(3)若把(1)中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
19. 如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
20. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
题设：______；
结论：______.(均填写序号)
证明：
______．
21. 如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．
(1)若AC=3，求S1的值
(2)若S1 + S2 = 26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．
22. 已知，在四边形ABCD中，点E、点F分别为AD、BC的中点，连接EF．
(1)如图1，AB//CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB、CD、EF之间的数量关系为______；
(2)如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB、CD、EF之间的数量关系？
(3)如图3，∠ABC=∠BCD=45°，连接AC、BD交于点O，连接OE，若AB=2，CD=22，BC=6，则OE=______．
23. 如图，直线AB，点P为直线AB外一点．
(1)过点P作AB的垂线；(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)
(2)你能证明上述作图的合理性吗？(画出图形，简要说明画法，并说明理由)
(3)如图，已知四边形ABCD，满足AB=AD，CB=CD，若AC=8，BD=6，则四边形ABCD的面积为________．
24. 如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC=6，OD=8.按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；
③作射线OG；
④分别以点C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；
⑤作直线HI，交射线OG于点P．
回答下列问题：
(1)连接PC、PD，填空：
由作法可知，点P在∠AOB的______上，∴点P到OA、OB的______相等．
由作法可知，点P在线段CD的______上，∴PC=______．
(2)若OP=52，求PC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设BE交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°
∵FH⊥BE，
∴∠BGJ+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGJ，
∴∠DBE=∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD=90°−∠BAC，
∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE，
∴∠F=12(∠BAC−∠C)；
③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD=∠BJH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE=∠BAC−∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质.根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】
解：① ∵EG // BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故本选项正确；
② ∵∠A=90 ∘，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG // BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，
即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故本选项正确；
③无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
④ ∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90 ∘+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故本选项正确。
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查平行线的定义，邻补角，内错角，对顶角，点到直线的距离.根据平行线和邻补角、点到直线的距离的定义，内错角、对顶角的性质解答．
【解答】
解：①同一平面内两直线的位置关系有相交、平行、重合，故错误，不是真命题；
②两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，所以有一条公共边的角叫邻补角错误，不是真命题；
③只有两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题；
④对顶角相等是真命题；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故此命题是假命题；
所以④为真命题．
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对顶角、互为补角、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对顶角、互为补角、平行线的判定和性质一一判断即可．
【解答】
解：①对顶角相等；是真命题；
②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；是假命题，可能都是直角；
③同旁内角互补，两直线平行；因此原命题是假命题；
④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．是假命题，需要添加条件两直线平行；
因此是真命题的是①．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：∵若a为实数，则a2=a，
∴a≥0，
∵a=−1−k2(k为实数)<0，
∴可以作为“命题A是假命题”的反例．
故选：D．
直接利用实数的性质进而分别判断．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握实数的性质是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠C′DB=∠BAC′+∠AC′D=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D//EB′//BC，
∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故选：B．
由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
7.【答案】A
【解析】【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴∠BED=∠CED=90°，
又∵△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠BED=90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C不一定在同一直线上，
∴AB不一定垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，
∵∠A=90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∠C≠30°，
若A、D、C在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C=90°，∠C=30°，
∴∠C不一定等于30°
故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE=CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，
若A、D、C在同一直线上，则AD+CD=AC，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD>AC，
∴AD+BD≥AC，故⑤不正确．
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC2+BC2=2，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG//BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=12AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
CF=CD∠2=∠DCECE=CE，
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴AEBC=ACBF，
∴AE⋅BF=AC⋅BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG//BC，MH=CG，
MG=CH，MH//AC，
∴CHBC=AEAB；CGAC=BFAB，
即MG1=AE2；MH1=BF2，
∴MG=22AE；MH=22BF，
∴MG⋅MH=22AE×22BF=12AE⋅BF=12AC⋅BC=12，故④正确；
故选：C．
①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG//BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF⋅BF=AC⋅BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG⋅MH=22AE×22BF=12AE⋅BF=12AC⋅BC=12，依此即可作出判断．
此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；即可得出结论．
【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠COD=∠AOB，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO,
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，与OA>OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选：A．
满足两个条件：①经过点B.②垂直AC；由此即可判断；
本题考查作图−复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】
解：用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，
其作图依据是，在△DOM和△NCE中，OD=CNOM=CEMD=NE,
∴△DOM≌△NCE(SSS)，
∴∠DOM=∠NCE，
∴CN//OA．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样(一奇一偶)．
(AA)→C，A与B一奇一偶；
(BB)→C，A与B一奇一偶；
(CC)→C，A与B一奇一偶；
(AB)→C，A与B一奇一偶；
(AC)→B，A与B一奇一偶；
(BC)→A，A与B一奇一偶．
由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③正确．
故选：D．
①和②可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的A、B数量的奇偶性来判断③的正确与否．
本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现A、B数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
13.【答案】①③
【解析】解：(1)最后剩下的可能是A粒子．
10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；
9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子．
(2)最后剩下的可能是C粒子．
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子．
(3)最后剩下的不可能是B粒子．
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：(B多1个，A、C共减少两个)；
B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：(B少1个，A、C总数不变)；
C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：(B多1个，A、C共减少两个)；
A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：(B少1个，A、C总数不变)；
A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：(B多1个，A、C共减少两个)；
B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：(B少1个，A、C总数不变)，
可以发现如下规律：
①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，
由于开始B粒子共有8颗，
所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个，
所以，最后剩下的不可能是B粒子．
②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的．
所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C．
故答案为：①③．
假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果．
本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，容易出错．
14.【答案】677
【解析】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图，
∵∠ACB=120°，∠A1C1B1=60°，
∴BC//B1C1，
∴ADBD=B1C1BC=34，
作AH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACH=60°，
在Rt△ACH中，CH=1，AH=2×sin60°=3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AB=52+(3)2=27，
∴AD=37AB=37×27=677，
故答案为：677．
由题意可将将△C1A1D1与△ACD重合，从而有BC//B1C1，得出AD=37AB，只要求出AB的长，根据AC=2，BC=4，∠ACB=120°解△ABC即可．
本题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形相似的判定与性质、勾股定理等知识，将将△C1A1D1与△ACD重合，条件集中是解决问题的关键．
15.【答案】354
【解析】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，
∴△BDH是等腰直角三角形，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD=BD，∠EDH=∠CDB，ED=CD，
∴△EDH≌△CDB(SAS)，
∴EH=CB=5，∠HED=∠BCD=90°，
∵∠EDC=90°，∠ABC=90°，
∴HE//DC//AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ABEH=AFEF=AFAE−AF，
∵AE=25，
∴35=AF25−AF，
∴AF=354，
故答案为：345．
将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，利用SAS证明△EDH≌△CDB，得EH=CB=5，∠HED=∠BCD=90°，从而得出HE//DC//AB，则△ABF∽△EHF，即可解决问题．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】45°
【解析】
【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB=30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A=45°．
【解答】
解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA=DC，EB=ED，
∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，
而∠DEC=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=12×60°=30°，
∴∠CDB=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=45°．
故答案为45°．
17.【答案】(90−12m+12n)°
【解析】(1)证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−12(∠ABC+12∠ACB)，
∵∠A十∠ABC十∠ACB=I80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BOC=180°×12(180°−∠A)=90°+12∠A；
(2)解：根据第(1)问建立模型，可将图②补形成下图：
①由题(1)可知∠BOD=90°+12∠F，
∵∠F=180°−∠FEC−∠FCE，
∠FEC=∠AED=50°，∠FCE=180°−∠ACB=110°，
∴∠F=180°−50°−110°=20°，
∴∠BOD=90°+12∠F=100°；
②∵∠F=180°−∠FEC−∠FCE，
∠FEC=∠AED=m，∠FCE=180°−∠ACB=180°−n，
∴∠F=180°−m−(180°−n)=n−m，
∴∠BOD=90°+12∠F=90°+12(n−m)=(90−12m+12n)°；
故答案为：(90−12m+12n)°；
(3)由题(1)可知∠BOC=90°+12∠A，
①如图，点H在△ABC内时，∠DHC−∠BOC=12(n°−m°)；
设CH交DE于点F，
∴∠AED=∠ECF+∠EFC，
∵CO是∠ACB的平分线，
∴∠ECF=12∠ACB，
∵∠AED=m°，∠ACB=n°，
∴∠EFC=∠AED−∠ECF=m°−12n°，
∴∠HFD=∠EFC=m°−12n°，
∵DH平分∠ADE，
∴∠HDF=12∠ADE，
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−∠A−m°，
∴∠HDF=90°−12∠A−m°2，
∵∠HDF+∠DHF+∠HFD=180°，
∴∠DHF=180°−∠HDF−∠HFD=180°−90°+12∠A+m°2+12n°，
∴∠DHC=∠DHF=90°+12∠A+m°2+12n°，
∴∠DHC−∠BOC=90°+12∠A+m°2+12n°−(90°+12∠A)=(12n°−12m°)=12(n°−m°)；
②如图，当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
设CH交AB于点F，
∵∠BFC=∠A+∠ACF，且CO平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ACB=n°2，
∴∠BFC=∠A+n°2，
∴∠HFD=∠BFC=∠A+n°2，
∵DH平分ADE，
∴∠HDF=12∠ADE，
由(1)知，∠HDF=90°−12∠A−m°2，
∵∠DHF+∠HDF+∠HFD=180°，
∴∠DHF=180°−∠HDF−∠HFD，
∴∠DHF=180°−90°+12∠A+m°2−∠A−n°2=90°−12∠A+m°2−n°2，
∴∠DHC=∠DHF=90°−12∠A+m°2−n°2，
∵∠BOC=90°+12∠A，
∴12∠A=∠BOC−90°，
∴∠DHC=90°−∠BOC+90°+m°2−n°2，
∴∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
综上所述：点H在△ABC内时，∠DHC−∠BOC=12(n°−m°)；当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
(1)利用角平分线的性质以及三角形的内角和定理即可证得结论；
(2)①根据(1)可知∠BOD=90°+12∠F，然后利用三角形内角和定理即可求得∠BOD的度数；
②按①的步骤求得即可；
(3)分两种情况讨论：点H在△ABC内时，∠DHC−∠BOC=12(n°−m°)；当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
本题考查了三角形内角和定理，列代数式，利用分类讨论思想解决问题是关键．
18.【答案】解：(1)证明：∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
∴CD // FG．
∴∠BFG=∠CDB．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BFG=90°．
∴FG⊥AB．
(2)真命题．
理由如下：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD // FG．
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2．
∴DE // BC．
(3)真命题．
理由如下：同(2)可得∠2=∠3．
∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
【解析】略
19.【答案】已知：∠1=∠2，∠B=∠C
求证：∠A=∠D
证明：∵∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠3=∠2
∴EC//BF
∴∠AEC=∠B
又∵∠B=∠C
∴∠AEC=∠C
∴AB//CD
∴∠A=∠D
【解析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
20.【答案】①②③ ④ ∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE.(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应边相等)；
【解析】解：答案不唯一．如：
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE.(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应边相等)；
故答案为：①②③；④．
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE.(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应边相等)．
根据三角形全等的判定方法进行组合、证明，答案不唯一．
此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定方法是关键．
21.【答案】解：(1)∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，
∴BC=4，AB=5，
∵由题意可知△AMD≌△AMC，设DM=x，
∴CM=DM=x，AD=AC=3，BD=2，
∵SΔABM+SΔACM=SΔABC
∴12AB×DM+12AC×CM=12BC×AC
∴12×5x+12×3x=12×4×3，
解得DM=x=32，
∴S1=12×BD×DM=32；
(2)∵AC:BC: AB=3:4:5，
∴设AC=3x，BC=4x，AB=5x，
在如图1中：△AMD≌△AMC，
∴CM=DM，AD=AC=3x，则BD=2x，
∵S△ABM+S△ACM=S△ABC，
∴12AB⋅DM+12AC⋅CM=12AC⋅BC，
∴5x⋅DM+3x⋅DM=3x⋅4x，解得：DM=32x，
∴S1=12×BD⋅DM=12×2x⋅32x=32x2．
在如图2中，△BCN≌△BEN，
∵CN=EN，BE=BC=4x，则：AE=x，
∵S△ABN+S△CBN=S△ABC，
∴12AB·EN+12BC·CN=12AC·BC，
∴5x⋅EN+4x⋅EN=3x⋅4x，解得：EN=43x，
∴S2=12×AE⋅EN=12×x⋅43x=23x2
∵S1+S2=26，
∴32x2+23x2=26，解得：x2=12，
∴S△ABC=12⋅3x⋅4x=6x2=72．
【解析】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法．
(1)首先求出AB、BC的长，然后根据图形翻折的性质得出△AMD≌△AMC，设DM=x，根据S△ABM+S△ACM=S△ABC，得到关于x的方程，解方程求出x的值，得出DM的长，最后利用三角形的面积公式进行解答，即可求解；
(2)根据AC:BC: AB=3:4:5，设AC=3x，BC=4x，AB=5x，根据图形翻折的性质得出△AMD≌△AMC，得出CM=DM，AD=AC=3x，则BD=2x，再根据S△ABM+S△ACM=S△ABC得出DM=32x，同样的方法求出EN=43x，最后根据S1+S2=26得到关于x的方程，进一步求出x2的值，即可求解．
22.【答案】(1)2EF=AB+CD 20214
(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K.连接DK，作DH⊥CK于H．
∵∠ABF=∠KCF，BF=FC，∠AFB=∠CFK，
∴△AFB≌△KFC，
∴AB=CK，AF=FK，
∵∠BCD=150°，∠BCK=90°，
∴∠DCK=120°，
∴∠DCH=60°，
∴CH=12CD，DH=32CD，
在Rt△DKH中，DK2=DH2+KH2=(32CD)2+(AB+12CD)2=AB2+CD2+AB⋅CD，
∵AE=ED，AF=FK，
∴EF=12DG，
∴4EF2=DK2，
∴4EF2=AB2+CD2+AB⋅CD．
(3)20214．
【解析】解：(1)结论：AB+CD=2EF，
理由：如图1中，
∵点E、点F分别为AD、BC的中点，
∴BC=FC，AE=ED，
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠GCF，
∵∠BFA=∠CFG，
∴△ABF≌△CFG(ASA)，
∴AB=CG，AF=FG，
∵AE=ED，AF=FG，
∴2EF=DG=DC+CG=DC+AB；
故答案为2EF=AB+CD．
(2)见答案
(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．
由题意：A(1,1)，B(6,0)，D(4,2)，
∵AE=ED，
∴E(52,32)，
∵中线AC的解析式为y=−15x+65，中线BD的解析式为y=12x，
由y=12xy=−15x+65，解得x=127y=67，
∴O(127,67)，
∴OE=(52−127)2+(32−67)2=20214，
故答案为20214．
(1)根据三角形的中位线和全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K.连接DK，作DH⊥CK于H.首先证明△AFB≌△KFC，推出AB=CK，再利用勾股定理，三角形的中位线定理即可解决问题；
(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．想办法求出点E、O的坐标即可解决问题；
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平面直角坐标系、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会建立平面直角坐标系解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】(1)如图PQ即为所求
(2)如图，连接PC、PD、QC、QD，直线PQ交AB于点O，
∵在△PCQ和△PDQ中，
PC=PDPQ=PQCQ=DQ
∴△PCQ≌△PDQ(SSS)
∴∠CPQ=∠DPQ，
∴180°−∠CPQ=180°−∠DPQ，
即∠CPO=∠DPO，
∵在△PCO和△PDO中
PC=PD∠CPO=∠DPOPO=PO
∴△PCO≌△PDO(SAS)
∴∠POC=∠POD
又∵∠POC+∠POD=180°
∴∠POC=90°
∴PQ⊥AB
(3)24．
【解析】
【分析】
此题(1)主要考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
(2)考查全等三角形判定方法，利用SSS，SAS判定．
(3)考查三角形面积问题，可以考虑S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可求的结果．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：设BD与AC交于点E，
∵AB=AD，CB=CD，
由(2)知，AC垂直平分BD，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=12BD·AE+12BD·CE
=12BD(AE+CE)
=12BD·AC
=12×6×8=24，
故答案为24．
24.【答案】平分线 距离 垂直平分线 PD
【解析】解：(1)由作法可知，点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到OA、OB的距离相等．
由作法可知，点P在线段CD的垂直平分线上，
∴PC=PD．
故答案为：平分线，距离；垂直平分线，PD；
(2)如图，过点P作PM⊥OD，PN⊥OA于点M，N，
∴PN=PM，
在Rt△PCN和Rt△PDM中，
PC=PDPN=PM，
∴Rt△PCN≌Rt△PDM(HL)，
∴CN=DM，ON=OM，
∴ON=OC+CN=6+CN，OM=OD−DM=8−DM=8−CN，
∴6+CN=8−CN，
∴CN=1，
∴ON=7，
∵OP=52，
∴PN=OP2−ON2=50−49=1，
∴PC=PN2+CN2=2，
∴PC的长为2．
(1)根据角平分线的性质，线段垂直平分线的性质即可完成填空；
(2)证明Rt△PCN≌Rt△PDM，可得CN=DM，ON=OM，可得6+CN=8−CN，解得CN=1，然后根据勾股定理可得结果．
本题考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
浙教版初中数学八年级上册第一章《三角形的初步认识》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，正确的是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE.其中正确的结论是( )
A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
3. 下列命题中，真命题的个数有( )
①同一平面内，两条直线一定互相平行；②有一条公共边的角叫邻补角；③内错角相等。④对顶角相等；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 给出下列4个命题：①对顶角相等；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知命题：“若a为实数，则a2=a”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( )
A. a=1 B. a=0
C. a=−1−k( k为实数 ) D. a=−1−k2(k为实数)
6. 如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//BC，BE、CD交于点F.若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是( )
A. 105° B. 110° C. 100° D. 120°
7. 如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：
①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC .其中正确的有个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G.现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE=EF；④MG⋅MH=12，其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是( )
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
11. 如图，用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是( )
A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
12. 小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞(不考虑多个小球相撞的情况).若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球.现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球.以下说法：其中正确的说法是( )
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A. ① B. ②③ C. ③ D. ①③
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 容器中有A，B，C3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；
②最后一颗粒子一定是C粒子；
③最后一颗粒子一定不是B粒子；
④以上都不正确．
其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号)．
14. 在△ABC和△A1B1C1中，已知AC=A1C1=2，BC=4，B1C1=3，∠C=120°，∠C1=60°，点D，D1分别在边AB，A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是______ ．
15. 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=3，BC=5，AE=25，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD=DE.F是AE边上的一点，连接BD和BF，BD且∠FBD=45°，则AF长为______．
16. 已知，在△ABC中，∠A>∠B.分别以点A，C为圆心、大于12AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D；再分别以点B，D为圆心、大于12BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E.若△CDE是等边三角形，则∠A=______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
17. 【初步认识】
(1)如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．
求证：∠BOC=90°+12∠A．
【继续探索】如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设∠AED=m°，∠C=n°(m
①若m=50，n=70，求∠BOD的度数；
②用含m、n的式子直接表示∠BOD的度数为______．
(3)如图③，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，射线CO与∠ADE的平分线所在的直线相交于点H(不与点D重合)，直接写出点H在不同位置时，∠DHC与∠BOC之间满足的数量关系(用含m、n的式子表示)．
18. (1)如图，DE // BC，∠1=∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
(2)若把(1)中的“DE // BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得的命题是否为真命题？试说明理由；
(3)若把(1)中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
19. 如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
20. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
题设：______；
结论：______.(均填写序号)
证明：
______．
21. 如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．
(1)若AC=3，求S1的值
(2)若S1 + S2 = 26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．
22. 已知，在四边形ABCD中，点E、点F分别为AD、BC的中点，连接EF．
(1)如图1，AB//CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB、CD、EF之间的数量关系为______；
(2)如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB、CD、EF之间的数量关系？
(3)如图3，∠ABC=∠BCD=45°，连接AC、BD交于点O，连接OE，若AB=2，CD=22，BC=6，则OE=______．
23. 如图，直线AB，点P为直线AB外一点．
(1)过点P作AB的垂线；(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)
(2)你能证明上述作图的合理性吗？(画出图形，简要说明画法，并说明理由)
(3)如图，已知四边形ABCD，满足AB=AD，CB=CD，若AC=8，BD=6，则四边形ABCD的面积为________．
24. 如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC=6，OD=8.按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；
③作射线OG；
④分别以点C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；
⑤作直线HI，交射线OG于点P．
回答下列问题：
(1)连接PC、PD，填空：
由作法可知，点P在∠AOB的______上，∴点P到OA、OB的______相等．
由作法可知，点P在线段CD的______上，∴PC=______．
(2)若OP=52，求PC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设BE交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°
∵FH⊥BE，
∴∠BGJ+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGJ，
∴∠DBE=∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD=90°−∠BAC，
∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE，
∴∠F=12(∠BAC−∠C)；
③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD=∠BJH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE=∠BAC−∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质.根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】
解：① ∵EG // BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故本选项正确；
② ∵∠A=90 ∘，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG // BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，
即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故本选项正确；
③无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
④ ∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90 ∘+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故本选项正确。
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查平行线的定义，邻补角，内错角，对顶角，点到直线的距离.根据平行线和邻补角、点到直线的距离的定义，内错角、对顶角的性质解答．
【解答】
解：①同一平面内两直线的位置关系有相交、平行、重合，故错误，不是真命题；
②两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，所以有一条公共边的角叫邻补角错误，不是真命题；
③只有两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题；
④对顶角相等是真命题；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故此命题是假命题；
所以④为真命题．
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对顶角、互为补角、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对顶角、互为补角、平行线的判定和性质一一判断即可．
【解答】
解：①对顶角相等；是真命题；
②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；是假命题，可能都是直角；
③同旁内角互补，两直线平行；因此原命题是假命题；
④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．是假命题，需要添加条件两直线平行；
因此是真命题的是①．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：∵若a为实数，则a2=a，
∴a≥0，
∵a=−1−k2(k为实数)<0，
∴可以作为“命题A是假命题”的反例．
故选：D．
直接利用实数的性质进而分别判断．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握实数的性质是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠C′DB=∠BAC′+∠AC′D=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D//EB′//BC，
∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故选：B．
由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
7.【答案】A
【解析】【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴∠BED=∠CED=90°，
又∵△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠BED=90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C不一定在同一直线上，
∴AB不一定垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD=∠EBD，∠EBD=∠C，
∵∠A=90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∠C≠30°，
若A、D、C在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C=90°，∠C=30°，
∴∠C不一定等于30°
故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE=CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD=CD，
若A、D、C在同一直线上，则AD+CD=AC，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD>AC，
∴AD+BD≥AC，故⑤不正确．
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC2+BC2=2，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG//BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=12AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
CF=CD∠2=∠DCECE=CE，
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴AEBC=ACBF，
∴AE⋅BF=AC⋅BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG//BC，MH=CG，
MG=CH，MH//AC，
∴CHBC=AEAB；CGAC=BFAB，
即MG1=AE2；MH1=BF2，
∴MG=22AE；MH=22BF，
∴MG⋅MH=22AE×22BF=12AE⋅BF=12AC⋅BC=12，故④正确；
故选：C．
①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG//BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF⋅BF=AC⋅BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG⋅MH=22AE×22BF=12AE⋅BF=12AC⋅BC=12，依此即可作出判断．
此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；即可得出结论．
【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠COD=∠AOB，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
{∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO,
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，与OA>OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选B．
10.【答案】A
【解析】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选：A．
满足两个条件：①经过点B.②垂直AC；由此即可判断；
本题考查作图−复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】
解：用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，
其作图依据是，在△DOM和△NCE中，OD=CNOM=CEMD=NE,
∴△DOM≌△NCE(SSS)，
∴∠DOM=∠NCE，
∴CN//OA．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样(一奇一偶)．
(AA)→C，A与B一奇一偶；
(BB)→C，A与B一奇一偶；
(CC)→C，A与B一奇一偶；
(AB)→C，A与B一奇一偶；
(AC)→B，A与B一奇一偶；
(BC)→A，A与B一奇一偶．
由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③正确．
故选：D．
①和②可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的A、B数量的奇偶性来判断③的正确与否．
本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现A、B数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
13.【答案】①③
【解析】解：(1)最后剩下的可能是A粒子．
10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；
9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子．
(2)最后剩下的可能是C粒子．
10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；
所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；
这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子．
(3)最后剩下的不可能是B粒子．
A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：
A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：(B多1个，A、C共减少两个)；
B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：(B少1个，A、C总数不变)；
C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：(B多1个，A、C共减少两个)；
A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：(B少1个，A、C总数不变)；
A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：(B多1个，A、C共减少两个)；
B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：(B少1个，A、C总数不变)，
可以发现如下规律：
①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，
由于开始B粒子共有8颗，
所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个，
所以，最后剩下的不可能是B粒子．
②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的．
所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C．
故答案为：①③．
假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果．
本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，容易出错．
14.【答案】677
【解析】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图，
∵∠ACB=120°，∠A1C1B1=60°，
∴BC//B1C1，
∴ADBD=B1C1BC=34，
作AH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACH=60°，
在Rt△ACH中，CH=1，AH=2×sin60°=3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AB=52+(3)2=27，
∴AD=37AB=37×27=677，
故答案为：677．
由题意可将将△C1A1D1与△ACD重合，从而有BC//B1C1，得出AD=37AB，只要求出AB的长，根据AC=2，BC=4，∠ACB=120°解△ABC即可．
本题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形相似的判定与性质、勾股定理等知识，将将△C1A1D1与△ACD重合，条件集中是解决问题的关键．
15.【答案】354
【解析】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，
∴△BDH是等腰直角三角形，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD=BD，∠EDH=∠CDB，ED=CD，
∴△EDH≌△CDB(SAS)，
∴EH=CB=5，∠HED=∠BCD=90°，
∵∠EDC=90°，∠ABC=90°，
∴HE//DC//AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ABEH=AFEF=AFAE−AF，
∵AE=25，
∴35=AF25−AF，
∴AF=354，
故答案为：345．
将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，利用SAS证明△EDH≌△CDB，得EH=CB=5，∠HED=∠BCD=90°，从而得出HE//DC//AB，则△ABF∽△EHF，即可解决问题．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】45°
【解析】
【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB=30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A=45°．
【解答】
解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA=DC，EB=ED，
∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°，
而∠DEC=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=12×60°=30°，
∴∠CDB=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=45°．
故答案为45°．
17.【答案】(90−12m+12n)°
【解析】(1)证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−12(∠ABC+12∠ACB)，
∵∠A十∠ABC十∠ACB=I80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BOC=180°×12(180°−∠A)=90°+12∠A；
(2)解：根据第(1)问建立模型，可将图②补形成下图：
①由题(1)可知∠BOD=90°+12∠F，
∵∠F=180°−∠FEC−∠FCE，
∠FEC=∠AED=50°，∠FCE=180°−∠ACB=110°，
∴∠F=180°−50°−110°=20°，
∴∠BOD=90°+12∠F=100°；
②∵∠F=180°−∠FEC−∠FCE，
∠FEC=∠AED=m，∠FCE=180°−∠ACB=180°−n，
∴∠F=180°−m−(180°−n)=n−m，
∴∠BOD=90°+12∠F=90°+12(n−m)=(90−12m+12n)°；
故答案为：(90−12m+12n)°；
(3)由题(1)可知∠BOC=90°+12∠A，
①如图，点H在△ABC内时，∠DHC−∠BOC=12(n°−m°)；
设CH交DE于点F，
∴∠AED=∠ECF+∠EFC，
∵CO是∠ACB的平分线，
∴∠ECF=12∠ACB，
∵∠AED=m°，∠ACB=n°，
∴∠EFC=∠AED−∠ECF=m°−12n°，
∴∠HFD=∠EFC=m°−12n°，
∵DH平分∠ADE，
∴∠HDF=12∠ADE，
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−∠A−m°，
∴∠HDF=90°−12∠A−m°2，
∵∠HDF+∠DHF+∠HFD=180°，
∴∠DHF=180°−∠HDF−∠HFD=180°−90°+12∠A+m°2+12n°，
∴∠DHC=∠DHF=90°+12∠A+m°2+12n°，
∴∠DHC−∠BOC=90°+12∠A+m°2+12n°−(90°+12∠A)=(12n°−12m°)=12(n°−m°)；
②如图，当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
设CH交AB于点F，
∵∠BFC=∠A+∠ACF，且CO平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ACB=n°2，
∴∠BFC=∠A+n°2，
∴∠HFD=∠BFC=∠A+n°2，
∵DH平分ADE，
∴∠HDF=12∠ADE，
由(1)知，∠HDF=90°−12∠A−m°2，
∵∠DHF+∠HDF+∠HFD=180°，
∴∠DHF=180°−∠HDF−∠HFD，
∴∠DHF=180°−90°+12∠A+m°2−∠A−n°2=90°−12∠A+m°2−n°2，
∴∠DHC=∠DHF=90°−12∠A+m°2−n°2，
∵∠BOC=90°+12∠A，
∴12∠A=∠BOC−90°，
∴∠DHC=90°−∠BOC+90°+m°2−n°2，
∴∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
综上所述：点H在△ABC内时，∠DHC−∠BOC=12(n°−m°)；当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
(1)利用角平分线的性质以及三角形的内角和定理即可证得结论；
(2)①根据(1)可知∠BOD=90°+12∠F，然后利用三角形内角和定理即可求得∠BOD的度数；
②按①的步骤求得即可；
(3)分两种情况讨论：点H在△ABC内时，∠DHC−∠BOC=12(n°−m°)；当点H在△ABC外时，∠DHC+∠BOC=(180−12n+12m)°．
本题考查了三角形内角和定理，列代数式，利用分类讨论思想解决问题是关键．
18.【答案】解：(1)证明：∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
∴CD // FG．
∴∠BFG=∠CDB．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BFG=90°．
∴FG⊥AB．
(2)真命题．
理由如下：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD // FG．
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2．
∴DE // BC．
(3)真命题．
理由如下：同(2)可得∠2=∠3．
∵DE // BC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
【解析】略
19.【答案】已知：∠1=∠2，∠B=∠C
求证：∠A=∠D
证明：∵∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠3=∠2
∴EC//BF
∴∠AEC=∠B
又∵∠B=∠C
∴∠AEC=∠C
∴AB//CD
∴∠A=∠D
【解析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
20.【答案】①②③ ④ ∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE.(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应边相等)；
【解析】解：答案不唯一．如：
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE.(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应边相等)；
故答案为：①②③；④．
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE.(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应边相等)．
根据三角形全等的判定方法进行组合、证明，答案不唯一．
此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定方法是关键．
21.【答案】解：(1)∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，
∴BC=4，AB=5，
∵由题意可知△AMD≌△AMC，设DM=x，
∴CM=DM=x，AD=AC=3，BD=2，
∵SΔABM+SΔACM=SΔABC
∴12AB×DM+12AC×CM=12BC×AC
∴12×5x+12×3x=12×4×3，
解得DM=x=32，
∴S1=12×BD×DM=32；
(2)∵AC:BC: AB=3:4:5，
∴设AC=3x，BC=4x，AB=5x，
在如图1中：△AMD≌△AMC，
∴CM=DM，AD=AC=3x，则BD=2x，
∵S△ABM+S△ACM=S△ABC，
∴12AB⋅DM+12AC⋅CM=12AC⋅BC，
∴5x⋅DM+3x⋅DM=3x⋅4x，解得：DM=32x，
∴S1=12×BD⋅DM=12×2x⋅32x=32x2．
在如图2中，△BCN≌△BEN，
∵CN=EN，BE=BC=4x，则：AE=x，
∵S△ABN+S△CBN=S△ABC，
∴12AB·EN+12BC·CN=12AC·BC，
∴5x⋅EN+4x⋅EN=3x⋅4x，解得：EN=43x，
∴S2=12×AE⋅EN=12×x⋅43x=23x2
∵S1+S2=26，
∴32x2+23x2=26，解得：x2=12，
∴S△ABC=12⋅3x⋅4x=6x2=72．
【解析】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法．
(1)首先求出AB、BC的长，然后根据图形翻折的性质得出△AMD≌△AMC，设DM=x，根据S△ABM+S△ACM=S△ABC，得到关于x的方程，解方程求出x的值，得出DM的长，最后利用三角形的面积公式进行解答，即可求解；
(2)根据AC:BC: AB=3:4:5，设AC=3x，BC=4x，AB=5x，根据图形翻折的性质得出△AMD≌△AMC，得出CM=DM，AD=AC=3x，则BD=2x，再根据S△ABM+S△ACM=S△ABC得出DM=32x，同样的方法求出EN=43x，最后根据S1+S2=26得到关于x的方程，进一步求出x2的值，即可求解．
22.【答案】(1)2EF=AB+CD 20214
(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K.连接DK，作DH⊥CK于H．
∵∠ABF=∠KCF，BF=FC，∠AFB=∠CFK，
∴△AFB≌△KFC，
∴AB=CK，AF=FK，
∵∠BCD=150°，∠BCK=90°，
∴∠DCK=120°，
∴∠DCH=60°，
∴CH=12CD，DH=32CD，
在Rt△DKH中，DK2=DH2+KH2=(32CD)2+(AB+12CD)2=AB2+CD2+AB⋅CD，
∵AE=ED，AF=FK，
∴EF=12DG，
∴4EF2=DK2，
∴4EF2=AB2+CD2+AB⋅CD．
(3)20214．
【解析】解：(1)结论：AB+CD=2EF，
理由：如图1中，
∵点E、点F分别为AD、BC的中点，
∴BC=FC，AE=ED，
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠GCF，
∵∠BFA=∠CFG，
∴△ABF≌△CFG(ASA)，
∴AB=CG，AF=FG，
∵AE=ED，AF=FG，
∴2EF=DG=DC+CG=DC+AB；
故答案为2EF=AB+CD．
(2)见答案
(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．
由题意：A(1,1)，B(6,0)，D(4,2)，
∵AE=ED，
∴E(52,32)，
∵中线AC的解析式为y=−15x+65，中线BD的解析式为y=12x，
由y=12xy=−15x+65，解得x=127y=67，
∴O(127,67)，
∴OE=(52−127)2+(32−67)2=20214，
故答案为20214．
(1)根据三角形的中位线和全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K.连接DK，作DH⊥CK于H.首先证明△AFB≌△KFC，推出AB=CK，再利用勾股定理，三角形的中位线定理即可解决问题；
(3)如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．想办法求出点E、O的坐标即可解决问题；
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平面直角坐标系、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会建立平面直角坐标系解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】(1)如图PQ即为所求
(2)如图，连接PC、PD、QC、QD，直线PQ交AB于点O，
∵在△PCQ和△PDQ中，
PC=PDPQ=PQCQ=DQ
∴△PCQ≌△PDQ(SSS)
∴∠CPQ=∠DPQ，
∴180°−∠CPQ=180°−∠DPQ，
即∠CPO=∠DPO，
∵在△PCO和△PDO中
PC=PD∠CPO=∠DPOPO=PO
∴△PCO≌△PDO(SAS)
∴∠POC=∠POD
又∵∠POC+∠POD=180°
∴∠POC=90°
∴PQ⊥AB
(3)24．
【解析】
【分析】
此题(1)主要考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
(2)考查全等三角形判定方法，利用SSS，SAS判定．
(3)考查三角形面积问题，可以考虑S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可求的结果．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：设BD与AC交于点E，
∵AB=AD，CB=CD，
由(2)知，AC垂直平分BD，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=12BD·AE+12BD·CE
=12BD(AE+CE)
=12BD·AC
=12×6×8=24，
故答案为24．
24.【答案】平分线 距离 垂直平分线 PD
【解析】解：(1)由作法可知，点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到OA、OB的距离相等．
由作法可知，点P在线段CD的垂直平分线上，
∴PC=PD．
故答案为：平分线，距离；垂直平分线，PD；
(2)如图，过点P作PM⊥OD，PN⊥OA于点M，N，
∴PN=PM，
在Rt△PCN和Rt△PDM中，
PC=PDPN=PM，
∴Rt△PCN≌Rt△PDM(HL)，
∴CN=DM，ON=OM，
∴ON=OC+CN=6+CN，OM=OD−DM=8−DM=8−CN，
∴6+CN=8−CN，
∴CN=1，
∴ON=7，
∵OP=52，
∴PN=OP2−ON2=50−49=1，
∴PC=PN2+CN2=2，
∴PC的长为2．
(1)根据角平分线的性质，线段垂直平分线的性质即可完成填空；
(2)证明Rt△PCN≌Rt△PDM，可得CN=DM，ON=OM，可得6+CN=8−CN，解得CN=1，然后根据勾股定理可得结果．
本题考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
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