人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知函数满足且，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面四组函数中，与表示同一个函数的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 已知定义域是的函数满足：，，为偶函数，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数若的对称中心为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，，，则的值(    )

A. 恒大于 B. 恒小于 C. 等于 D. 无法判断

7. 设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，那么函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是(    )

A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列各组函数是同一函数的有(    )

A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则．(    )

A. 的最小值为
B. 在上单调递减
C. 的解集为
D. 存在实数满足

11. 若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有  对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有(    )

A.  B.
C.  D.

12. 有如下命题，其中真命题的选项为(    )

A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数，且的图象恒过定点
C. 函数有两个零点
D. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是          ．
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，          ．
15. 已知幂函数的图象过点，则          ．
16. 为了实现绿色发展，避免用电浪费，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”计费方法如表所示，若某户居民某月交纳电费元，则该月用电量为           度

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设函数．
    画出的图象
    当时，，求的最小值．
     

18. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．

求函数在上的解析式；

若对所有，恒成立，求实数的取值范围．

19. 已知幂函数的图象关于轴对称，集合．
    求的值；
    当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20. 已知函数，．
    Ⅰ当时，函数在上不单调，求实数的取值范围；
    Ⅱ对，，，且，使，求实数的取值范围．
21. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入成本，当年产量不足千件时，万元，当年产量不小于千件时，万元每千件商品售价为万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
    写出利润万元关于年产量千件的函数解析式；
    该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
22. 根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点，且过点；当时，曲线是函数图像的一部分．专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．

试求的函数关系式；

若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求函数的解析式、求函数值问题，换元思想的应用，属于基础题．
通过换元，求出的解析式，得到关于的方程，解出即可．

【解答】

解：令，则，
故，
故，
，
解得：，
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了判断两函数是否为同一函数的方法，属于基础题．
由函数的定义域及对应关系是否相同分别判断四个选项得答案．

【解答】

解：函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
，，定义域均为，对应法则也相同，两函数为同一函数；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函利用函数的奇偶性，对称性，周期性，求解函数值，属于中档题．

【解答】

解：因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为，所以．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键，是拔高题．

【解答】

解：若函数图象的对称中心为，则为奇函数，
即为奇函数，
必有且，解得，，
则的对称中心为，所以，
设
，
则，
由，得，去掉项，共项，
则两式相加得
，
所以，
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

设出幂函数的解析式，将已知点的坐标代入，求出幂函数的解析式，由于幂指数小于，求出单调递增区间．
本题考查通过待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质取决于幂指数的范围．

【解答】

解：设幂函数，，
则，得；
；
它的单调递增区间是．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义求出的值，再根据条件判断单调性，由得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．

【解答】

解：已知函数 是幂函数，
，，或 ，，或．
对任意的，且，满足，
故是增函数，．
若，，，即，，即，即．
则，
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数值域的求解，根据条件判断函数的奇偶性和取值范围，以及利用的定义是解决本题的关键，是中档题．
根据条件先判断函数的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可．

【解答】

解：，则是奇函数，
，
，，则，则，
则，即，即的值域为，
若，则，则，，
则，
若，则，则，，
则，
若，则，则，，
则．
综上函数的值域为，
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的判定，属于容易题．
利用函数的奇偶性的定义进行判定即可．

【解答】

解：因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，

为奇函数，为偶函数，为偶函数，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了判断两个函数是否为同一函数，是中档题．
根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．

【解答】

解：对于，，；，；
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于，，；
，；
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于，，；，；
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于，，；
，；
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、最值及不等式求解，属于基础题．
根据题意当时，，作出其图象，然后再由偶函数的性质作出的图象，通过观察函数图象即可判断．

【解答】

解：依题意，作出函数的图象，如图所示：

观察图象可得：的最小值为，A正确；在和上单调递减，B错误；的解集为，C正确；令，则有，D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对函数新定义的理解，函数奇偶性、单调性的判断，是难题．
通过对理想函数的分析，只要满足在定义域内既是奇函数又是递减的就符合条件，然后对所给的函数逐个分析是否正确即可．

【解答】

解：对于定义域上的任意，恒有，
是奇函数，
又对于定义域上的任意，，当时，恒有，
为减函数；
对于，函数在和是减函数，不能说在定义域上是减函数，不是“理想函数”；
对于，，即，则，
函数的定义域为，
函数在上单调递增，函数在上单调递增，
函数为上的增函数，不是“理想函数”；
对于，，减函数，
且，
在上既是奇函数，又是单调递减函数，是“理想函数”；

对于，
由二次函数的图象和单调性可知，为奇函数且在上单调递减，是“理想函数”．
故选CD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义判断选项A，由指数函数的性质判断选项B，由函数的单调性以及零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D．
本题考查命题的真假判断及其应用，函数的性质等，属于中档题．

【解答】

解：设幂函数，将代入，解得，
则，不成立，A错误；
函数，且中，令，则函数图象恒过定点，B正确；
函数在上单调递增，且，故只有一个零点，C错误；
函数的对称轴为，此时取得函数最小值，又，故的取值范围是，D正确；
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的定义域求法，是基础题．
由的定义域知的取值范围，再结合的解析式求得它的定义域．

【解答】

解：由的定义域为，即，
结合的解析式，可知其定义域可写为：且，
解得，
函数的定义域为．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
设，可得出，求得的表达式，利用奇函数的性质可求得在的表达式．

【解答】

解：根据题意，当时，则，
则，
由于函数是定义在上的奇函数，
则当时，，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的解析式，解题的关键是熟练掌握幂函数的定义及幂函数解析式的形式．属于基础题．
由幂函数过点，将坐标代入，解得的值得到幂函数的解析式，再求．

【解答】

解：由题意，函数是幂函数，所以，
又幂函数过点，，解得，
．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

先通过计算确定用电量超过度，设超过度的部分为，建立方程即可求解．
本题考查了分段函数的实际应用，考查了学生的应用能力和运算能力，所以基础题．

【解答】

解：不超过度的部分费用为；
超过度但不超过度的部分费用为，
而，
设超过度的部分为，则，解得，
故用电量为度，
故答案为：．

17.【答案】解：当时，，
当时，，
当时，，
则
画出的图象．

当时，，
当时，，，
当时，要使恒成立，则函数的图象都在直线的下方或在直线上，
因为的图象与轴的交点的纵坐标为，且各部分直线的斜率的最大值为，故当且仅当且时，不等式在上成立，
即的最小值为． 

【解析】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：因为函数为定义域上的奇函数，所以，

当时，，所以，

因为是奇函数，所以，

所以，

所以

作出在区间上的图象，如图：

可得函数在上为减函数，所以的最小值为，

要使对所有，恒成立，

即对所有恒成立，

令，，

则，即

可得：，

所以实数的取值范围是．

【解析】本题考查奇函数的性质，函数的图像与性质以及一元二次不等式的解法，恒成立问题．
利用奇函数的定义可得，当时，，可求，利用即可求出时函数的解析式，即可求出在上的解析式；

画出的图像，由图得函数的最小值，代入不等式，则对所有恒成立，令，利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围．

19.【答案】解：由幂函数，
可知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，满足条件，
因此，．
当时，的值域为，则集合，
由题意知，得，解得，
所以的取值范围为． 

【解析】本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，集合间的包含关系，属于中档题．
由题意，利用幂函数的定义，函数的奇偶性，求得的值．
先求出，再根据，考查端点间点的大小关系，求出的范围．
 

20.【答案】解：Ⅰ当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为在上不单调，所以，
解得．
即实数的取值范围是．
Ⅱ因为，所以在上单调递减，
所以，
而，
当时，在上单调递增，
所以方程至多有一个根，不符合题意；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以符合题意的必须满足或即或，
当时，函数在单调递增，在单调递减，
由题意，对任意的，方程在上至少有两个不同的解，
等价于，，
则，即，解得；
当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以，
则，所以，即，解得．
综上所述，实数的取值范围是 

【解析】本题主要考查函数的单调性，考查含有绝对值的函数的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
Ⅰ把的值代入函数 的解析式，然后求出函数的单调区间，从而可求出实数的取值范围；
Ⅱ首先求出在 ，内的值域为，然后通过分或两种情况进行讨论，根据，或者，即可求出实数的取值范围．
 

21.【答案】解：由题意可知，，
当时，，
当时，，
故L．
当时，，
当时，取得最大值为
当时，，
当且仅当时，取得最大值为，
，
当时，取得最大值为，
故当年产量为千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为万元，此时可捐万元物资款． 

【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合利润销售收入固定成本产品生产成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
 

22.【答案】解：，将代入得，
所以时，，
将代入得
所以时，
所以
，得，
当，得．
所以当和这两个时间段老师多提问，增加活动环节． 

【解析】本题考查了函数模型的应用，考查了学生的运算能力
利用待定系数法求出二次函数解析式，将点代入

求出另一段的解析式，即可求解；

分段解不等式，求出的范围，在的范围建议老师多提问，增加学生活动环节即可．