2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列是假命题的是(    )

A. 平行四边形对边平行
B. 矩形的对角线相等
C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D. 对角线相等的四边形是矩形

4. 一组数据，，，，，，的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

7. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是，的中点，，，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的陌数关系，下列结论错误的是(    )

A. 小王骑车的速度为
B. 小李骑车的速度为
C. 的值为
D. 走完全程，小李所用的时间是小王的

10. 直线与直线是常数，且交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简的结果是______．
12. 某班名同学一周在校体育锻炼的时间如表：

则这名同学一周在校体育锻炼时间的平均数是______小时．

13. 将直线向上平移个单位长度得到的直线解析式是______．
14. 元朝朱世杰的算学启蒙一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是______．
15. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图，则的值是______．

16. 如图，在矩形中点为上一点，将沿翻折至，交于点，且，若，，则的值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 直线分别交轴，轴于点、．
    直接写出点，的坐标；
    ，两点在直线上，若，直接写出与的大小关系．
18. 在正方形中，对角线所在的直线上有两点、满足，连接、、、，如图所示．
    求证：≌；
    试判断四边形的形状，并说明理由．
     

19. 为了解某校九年级学生对哪一门课程最感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查每名学生必选且只能选择一门课程，将结果整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    
    一共抽取了______名学生，扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角的大小是______；
    补全条形统计图；
    若该校九年级共有名学生，估计该校九年级学生对数学最感兴趣的人数．
20. 直线经过，两点，点的坐标为．
    求和的值；
    点为线段上一点，点为直线上一点，．
    如图，若，求点坐标；
    如图，若，请直接写出点坐标．
     

21. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，都是格点，点为线段边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成而图，画图过程用虚线表示．
    在图中，先画▱，再在上画点，使直线平分▱的周长；
    在图中，先画面积为的矩形，再在上画点，使．
     

22. 某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元．
    求每台型电脑和型电脑的销售利润；
    该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．
    求关于的函数关系式；
    该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
    实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及中条件，设计出使这台电脑销售总利润最大的进货方案．
23. 问题背景
    如图，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：
    ；
    ．
    变式关联
    如图，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：
    ；
    ．
    拓展应用
    如图，正方形的边长为，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值．
     

24. 直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，面积为．
    直接写出点的坐标；
    如图，为线段的中点，点在轴上，以为边，向右作正方形，点落在直线上，求点的坐标；
    如图，在射线上，点在射线上，直线交轴于点，若，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得：．
故选：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘法运算即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：、平行四边形对边平行，正确，是真命题；
B、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，是真命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题；
故选：．
利用平行四边形的性质及判定、矩形的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质及判定、矩形的性质及判定，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数据从小到大排列是：，，，，，，，
出现次数最多的数是，故众数是；
处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是，
故选：．
根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可．
考查众数、中位数的意义，即从出现次数最多的数、和排序后处于之中间位置的数．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．记住，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理求出最大的内角，即可判断选项A和选项D；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形内角和等于．
 

7.【答案】 

【解析】解：由函数图象知，当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

8.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
同理可得：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质求出、，进而求出，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
小王骑车的速度为：，故选项A正确，不符合题意；
小李骑车的速度为：，故选项B正确，不符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
走完全程，小李所用的时间为，小王所用的时间为，故走完全程，小李所用的时间是小王的，故选项D错误，符合题意；
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线与直线是常数，且交于点，
解析式联立解得，，，
，
，
当为一个的确定的值时，是的正比例函数，
即：点在直线上，
点到直线的距离总是一个定值，
直线与直线平行，
，
．
故选：．
先求得交点的坐标，即可求出点的轨迹，进而判断出直线与直线平行，即可求出的值．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：这名同学一周在校体育锻炼时间的平均数是小时，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位长度得到的直线解析式是，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得点的坐标，本题得以解决．
【解答】
解：令，
解得，，
则，
点的坐标为，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，

由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
，
，
，
当点从到时，用，
，
中，，
四边形是菱形，
，，
在中，，
解得．
故答案为：．
通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
本题综合考查了菱形性质，勾股定理，一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：将沿翻折至，

，，
在与中，
，
≌，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题矩形的性质，全等三角形的判断和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：当时，即，解得，
所以直线与轴交点的坐标为，
当时，，
所以直线与轴交点的坐标为，
答：，；
直线，由于，
所以随的增大而增大，
又因为，
所以． 

【解析】令和，分别求出相应的与，进而确定点、点的坐标；
根据因此函数的增减性进行判断即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，掌握求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标的方法以及一次函数的增减性是正确解答的前提．
 

18.【答案】证明：正方形，
，
，
，
在与中
，
≌；
四边形是菱形．
理由：连接，

正方形，
，，，
，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
四边形是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断．
 

19.【答案】   

【解析】解：在这次调查中一共抽取了：名学生，
选择数学的有；名，
扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：，；
补全的条形统计图如图所示；

名，
答：估计该校九年级学生对数学最感兴趣的人数为名．
根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得数学的人数，即可得“数学”所对应的圆心角度数；
根据中求得的数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生对数学最感兴趣的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：根据题意得，解得；
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线为，
若，则，
，
，
把的坐标代入得，
解得，
；
若，则，
．
，
把点的坐标代入得，
解得，
 

【解析】利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到和的值；
求得直线的解析式，根据题意表示出点的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求得点的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，平行四边形，直线即为所求；
如图中，矩形，点即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的定义画出图形，连接，交于点，作直线交于点，直线即为所求；
构造正方形，取，的中点，，连接，取的中点，的中点，连接，，延长交的延长线于点，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意得

解得
答：每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元．

据题意得，，即，
据题意得，，解得，
，，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大．

据题意得，，即，

当时，随的增大而减小，
当时，取最大值，
即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大．
时，，，
即商店购进型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润；
当时，，随的增大而增大，
当时，取得最大值．
即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大． 

【解析】设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意列出方程组求解，
据题意得，，
利用不等式求出的范围，又因为是减函数，所以取，取最大值，
据题意得，，即，分三种情况讨论，当时，随的增大而减小，时，，，当时，，随的增大而增大，分别进行求解．
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．
 

23.【答案】问题情景：
证明：四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
证明：≌，
，
为的中点，
，
；
变式关联
证明：延长交于，交于，

四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
，
又，
≌，
，
，
，
；
延长到，使，连接，

为的中点，
，
，，
≌，
，
≌，
，，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
≌，
；
拓展应用
过点作，且使，连接，，过点作，交的延长线于点，

，，
≌，
，
，
，，
，即当，，三点共线时，的最小值为，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】问题情景：证明≌，由全等三角形的性质得出；
由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
变式关联：延长交于，交于，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
延长到，使，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出；
拓展应用：过点作，且使，连接，，过点作，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，即当，，三点共线时，的最小值为，求出则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，把，，代入得：
，解得：，
直线的解析式为：；
由知：，，
设，
当时，如图，

点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，，
四边形是正方形，
，，
，
而，
≌，
，，
，
在直线上，
，
，
；
当时，如图，

点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
在直线上，
，
，
；
 综上所述，满足条件的点坐标为或；
过点作轴交于点，交轴于，

，，，
，，，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，
即轴，
≌，
，
，
∽，
，
． 

【解析】分别令，，得出，的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
分两种情况讨论，，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，，证出≌，求解即可；，类比求解即可；
过点作轴交于点，交轴于，先根据勾股定理得出，再利用轴，得出轴，进而得出≌和，∽即可得出结果．
本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．