2021-2022学年湖南省怀化市新晃县城区学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省怀化市新晃县城区学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 一个边形的内角和为，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数中，正比例函数是(    )

A.  B.  C.  D. ．

5. 在下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 随的增大而增大 D. 时，

8. “早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在四边形中，，，请再添加一个条件，使四边形是矩形．添加的条件不能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，、分别是、的中点，在延长线上，，，，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 点关于轴对称点的坐标是______．
12. 一次函数的图象不经过第______象限．
13. 在中，，，，则______，______．
14. 某班位同学中，月份出生的频率是，这个班月份出生的同学有______人．
15. 甲、乙两人在一次跨栏比赛中，路程与时间的函数关系如图所示，根据图形，下列说法：
    这次比赛的赛程是米；
    甲先到达终点；
    乙在这次比赛中的平均速度为；
    乙的平均速度比甲快．
    其中正确的是______填序号．

16. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为，则第个矩形的面积为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

17. 已知正比例函数的图象经过点．
    求这个函数表达式．
    点、是否在这个函数的图象上？
18. 如图，已知及是正方形的两个顶点，正方形与轴相交于点和点，与轴相交于点和点．
    写出点、、、的坐标．
    图中点在点的北偏东的方向上，与点的距离为请类似的写出点、点分别在点的什么方向上，以及到点的距离．

19. 已知：如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，．
    求证：≌；
    判断是什么三角形？说明理由．

20. 某校举行以“建党一百周年”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表．

请根据图表提供的信息，解答下列问题．
求表中和所表示的数；
请在图中补全频数分布直方图；
若比赛成绩不低于分可以获奖，则获奖率为多少？

21. 如图，点，点在轴负半轴上，，为线段上一点，轴，垂足为点，轴，垂足为点．
    点的坐标为______；
    求直线的表达式；
    若点的横坐标为，求四边形的面积．

22. 如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线交边，分别为点，，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

23. 由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式李叔叔从市场得知如下信息：

李叔叔计划购进商品共件进行销售，设购进商品件，商品全部销售完后获得利润为元．
求出与之间的函数关系式；
若李叔叔用不超过元资金一次性购进两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．

24. 如图，点是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
    如图，求证：≌；
    如图，延长交直线于点．
    如图，求证：；
    如图，若为等边三角形，判断的形状，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点在第二象限，
故选：．
根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，，能作为直角三角形的三边长，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，能作为直角三角形的三边长，
故B不符合题意；
C、，，
，
，，能作为直角三角形的三边长，
故C不符合题意；
D、，
，，不能作为三角形的三边长，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：依题意有：
，
解得．
故答案为：．
多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是二次函数，故A不符合题意；
B、是一次函数，不是正比例函数，故B不符合题意；
C、是反比例函数，故C不符合题意；
D、是正比例函数，故D符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
故选：．
由角平分线的定义可知，由平行四边形的性质可知，，由平行线的性质及三角形的内角和定理可得答案．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义及三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
，A错误；
函数值随的增大而减少，C错误；
图象与轴的交点为
，B正确；
图象与轴的交点为
时，，D错误．
故选：．
根据一次函数的性质结合图象即可的出结论．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：“早”字出现的频率是：，
故选：．
利用频率的计算方法计算即可．
此题主要考查了频率，关键是掌握频率频数总数．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
只要有一个角是就是矩形，或者对角线相等就是矩形，
故B、、D正确，A错误．
故选：．
首先判断四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法即可判断．
本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，记住平行四边形的判定方法以及矩形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形
四边形的周长．
故选：．
根据勾股定理先求出的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出和的长，进一步分析判定四边形是平行四边形，从而不难求得其周长．
本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：已知的坐标为，
根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

12.【答案】二 

【解析】解：一次函数中的，
该函数图象经过第一、三象限．
又，
该函数图象与轴交于负半轴，
该函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案是：二．
由一次函数中，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

13.【答案】  

【解析】解：，，
；
而，
．
故答案为；．
根据三角形内角和定理得；然后再根据含的直角三角形三边的关系得到，把代入计算即可．
本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形．也考查了含的直角三角形三边的关系以及三角形内角和定理．
 

14.【答案】 

【解析】解：人，
故答案为：．
根据频率的求法，频率计算可得答案．
本题主要考查了频率的计算公式，是需要识记的内容．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可知，
这次比赛的赛程是米，故说法正确；
甲先到达终点，故说法正确；
乙在这次比赛中的平均速度为：，故说法正确；
甲的平均速度比乙快，故说法错误．
所以正确的个数为个．
故答案为：．
通过图象可以看出甲乙两人从同一起点同时出发，赛程都是米，甲用时秒，乙用时秒，依次可判断甲乙的速度，从而解决问题．
本题主要考查了函数的图象，需要从图象分析出实际问题，解题的关键是理解横轴和纵轴表示的含义，转化为实际问题中的数据．
 

16.【答案】 

【解析】解：已知第一个矩形的面积为；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是；

故第个矩形的面积为：．
故答案是：．
易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为．
本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
 

17.【答案】解：正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的解析式为；

当时，，
点不在该函数的图象上；
当时，，
点在该函数的图象上． 

【解析】直接把点代入正比例函数，求出的值即可；
把点、代入中函数解析式进行检验即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：由图可得，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
由图可得，
点在点的南偏西方向上，离原点的距离为；
点在点的正北方向上，与点的距离为． 

【解析】根据平面直角坐标系和图形，可以直接写出点、、、的坐标；
根据平面直角坐标系和图形，可以得到点、点分别在点的什么方向上，以及到点的距离．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、方向角，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌；
是等腰直角三角形．
理由：≌，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】结合矩形的性质利用可证明≌；
利用全等三角形的性质可得，利用直角三角形的性质及平角的定义可求解，进而可证明是等腰直角三角形．
本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，利用证明直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：样本容量，
所以，
；
如图：

读图表可得比赛成绩不低于分的人数为，
故获奖率为． 

【解析】利用第组的频率与频数可计算出样本容量，根据根据频率的意义分别计算出和的值；
根据的结果，可以补全直方图；
由图表可得比赛成绩分以上的人数，除以总人数即可得答案．
本题考查了频数率分布直方图：会从频数分布直方图获取信息．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】 

【解析】解：，，
，
；
故答案为：；
设直线的函数解析式为，
把点和分别代入上式解得：，
直线的函数解析式为：；
把代入，得
点，
点，
轴，轴，，
四边形为矩形，，，
四边形的面积，
四边形的面积为．
由点，得出，再由，求得，从而得出点的坐标；
设出直线的解析式为：，代入、两点求得答案即可；
根据题意求得的纵坐标，进而得点的坐标，再证明四边形为矩形即可得出其面积．
此题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征已经矩形的判定和面积，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
 

22.【答案】证明：在矩形中，，
，
点为的中点，
．
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
．
四边形是菱形，
设则．
在中，，
即，
解得，
． 

【解析】结合矩形的性质易证得≌，则可得，可证得四边形是平行四边形，再利用可证得结论；
由矩形可知：，利用菱形的性质可设则，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，证得≌是关键．
 

23.【答案】解：由题意可得：，
与之间的函数关系式为；
由题意可得：，
解得：，
又，
，
，，
随的增大而增大，
当时，可获得最大利润，最大利润为：
元，
件．
答：当购进种商品件，种商品件时，可使得、商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润元． 

【解析】由甲商品利润乙商品利润，可得解析式；
由用不超过元资金一次性购进，两种商品，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题．
 

24.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
如图，≌，
，又，
，
；
为等边三角形，
，，又，
，又，，
，，
为等腰直角三角形． 

【解析】根据旋转的性质证明，得到≌；
根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
根据等边三角形的性质和旋转的性质求出，，判断的形状．
本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．