2022年上学期周南中学高二年级第一阶段考试数学试卷含解析

这是一份2022年上学期周南中学高二年级第一阶段考试数学试卷含解析，共16页。试卷主要包含了集合，则=，已知复数z满足，则z的虚部为，已知函数，若，，，则，已知圆，直线，则等内容，欢迎下载使用。
2022年上学期周南中学高二年级第一阶段考试数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，则=（    ）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}1．B【分析】先化简集合集合，再由交集的定义可得结果．【详解】因为，，所以两集合的公共元素为0，1，2，={0，1，2}，故选：B．2．已知复数z满足，则z的虚部为A．  B．C．  D．【答案】C【解析】，所以z的虚部为．故选C．3．2022年3月17日记为2022317，把数字2022317进行重新排列可以得到___个不同的数字（      ）A．120 B．720 C．4320 D．1440选B 5．在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（   ）A． 4     B． 5    C． 6    D．7【答案】B【解析】试题分析：因为是正项等比数列，所以，，又，所以，．故选B．考点：等比数列的性 6．已知函数，若，，，则（   ）A.       B. C.       D. 【答案】C【解析】解：函数在是减函数， ，即，，即，，即，，故选   7．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（       ）A． B．C． D． 7．B【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.故选：B.8．已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】据题意，得，或，，，，，即，，故双曲线的离心率为.故选：C.   二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题是（    ）A 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】AC【解析】A选项，因为，，所以，因为，α，β是两个不同的平面，所以，A选项正确；B选项，若，，，则与n可能平行，可能异面，可能相交，B选项错误；C选项，若，，则，又因为，α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则，C选项正确；若，，，则可能在内，可能与平行，可能与相交，故D选项错误.故选：AC10．已知圆，直线，则  （    ）A．圆心M坐标为（2，1）        B．圆M的半径为3C．直线l与圆M相交             D．圆M上的点到直线l的距离最大值为【试题来源】重庆市缙云教育联盟2022届高三下学期2月质量检测【答案】BCD【解析】将化为标准方程：，故圆心为，半径 ，故A错，B对；圆心为到直线的距离为 ，故直线和圆相交，故C正确；由圆心为到直线的距离为知，圆M上的点到直线l的距离最大值为，故D正确，故选BCD.11．盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是     （    ）A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件B．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则【试题来源】广东省2022届高三下学期2月联考【答案】CD【解析】“取到2个白球”和“取到2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，A不正确；“第一次取到白球”发生会影响“第二次取到黑球”的概率，不是相互独立事件，B不正确；在第一次取到白球的条件下，第二次取一个球共有4个基本事件，其中取到的是黑球的事件有3个，其概率为，C正确；由题设，可能值为，且，，所以；可能值为，且，，所以；所以，D正确．故选CD.12．已知函数，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．12．BCD【分析】根据对数的函数的单调性，构造函数结合导数的性质、基本不等式，判断各选项的正误即可.【详解】∵是增函数，∴，故A错误；B：，，由，有，又是增函数，∴，正确.C：令，则，当时是减函数，∴，即，正确；D：令，则，当时是减函数，∴，即，正确；故选：BCD.  三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知,且,则_________________．【答案】【解析】由得,∴,,解得,14．某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝__________.答案　解析　由题意知P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.  15．已知平行四边形中,,,,平面内有动点,满足,则的取值范围为___________．【答案】【解析】因为平行四边形中,,,,所以建立如图所示的坐标系,则,,,,设,∵平面内有动点,满足,∴,即,∴,∴.故答案为. 16．把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为_________. 【答案】107【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数列， ，所以为第个奇数，又前个奇数行内数的个数的和为，前个奇数行内数的个数的和为，故在第个奇数行内，所以，因为第行的第一个数为，解得，即，所以. 四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知数列的前n项和为，，．（1）证明：数列为等比数列，并求出；（2）求数列的前n项和．【解析】（1）由已知，整理得，，所以，当时，，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以；（2）由（1）知，，当时，，当时，，所以，故当时，当时，，对也满足．故．  18．已知在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求角；（2）由（1）知：，根据是锐角三角形可求出，利用正弦定理化角为边，，，结合以及角的范围，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.(1)因为，由正弦定理可得：，因为，所以，所以，所以，，因为，，所以可得：，所以.(2)由正弦定理知：，所以，，所以，因为，故，所以，，所以，故的取值范围为.19．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面为直角三角形，，.（1）求证：平面；（2）若，，，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.【答案】（1）因为四棱锥中，，所以，因为，，所以平面.（2）存在，当为线段中点时，理由如下：由（2）可知，因为，，所以，又，，如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，由得令，所以.设，则，所以，直线与平面所成角为，所以，解得，符合题意，所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为.  20．为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).[解]　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为P3＝×＝×＝，故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝.ξ的分布列为：ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.21．已知双曲线方程为,,为双曲线的左､右焦点,离心率为,点P为双曲线在第一象限上的一点,且满足,.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作直线交双曲线于两点,则在轴上是否存在定点,使得为定值,若存在,请求出的值和该定值,若不存在,请说明理由.【解析】（1）解法一：由得：,,,,在中,由得：,代入,得：解得：,,双曲线方程为：.解法二：由得：,,设点,则点满足…①,,,即…②,,即…③,则由①②得：,代入③得：,,双曲线方程为：. （2）解法一：当斜率为时,,此时,,由得：；当斜率不为时,设,,,联立得：,则,,,,令,即,解得：,则,此时；综上所述：存在,使得；解法二：当斜率为时,,此时,,由得：；当斜率不为时,设,,,联立得：,则,,,,若为定值,则,,,此时；当,斜率为时,；综上所述,存在,使得；解法三：当斜率不存在时,,此时,,若,则；当斜率存在时,设,,,联立得,则,,,若为定值,则,,,此时；综上所述：存在,使得.22．已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时,令,若函数的图象与直线相交于不同的两点,,设,（）分别为点,的横坐标,求证：．【解析】（1）的定义域为,且．当时,,则在上单调递增．当时,若,则,在上单调递增；若,则,在上单调递减．综上所述,当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减．（2）当时,,所以,所以,所以．要证,即证．因为,所以,即证．令,则,即证（）．令（）,则,所以在上单调递减,所以,即,（）．①令（）,则,所以在上单调递增,则,即（）．②综合①②得（）,所以.