2022_2023学年高一数学上学期12月阶段性测试二试卷含解析

这是一份2022_2023学年高一数学上学期12月阶段性测试二试卷含解析，共12页。试卷主要包含了已知函数，是的反函数，则，函数的图象大致为，已知函数的值域为，且满足，若在，下列命题是真命题的是，已知，则等内容，欢迎下载使用。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．C．D．1
3．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，是的反函数，则（ ）
A．10B．8C．5D．2
5．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．函数是减函数
B．“至少有一个整数x，使得是质数”是存在量词命题
C．，
D．命题p：，的否定是：，
10．已知，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，则（ ）
A．不等式的解集是
B．
C．存在唯一的x，使得
D．函数的图象关于原点对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，则________．
14．已知函数，若，则实数a的取值范围是________．
15．若函数的最小值为，则实数a的值为________．
16．若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）化简下列各式：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．（12分）已知集合A是函数的定义域，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求实数a的取值范围．
19．（12分）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变．
（Ⅰ）若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少；
（Ⅱ）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放．
20．（12分）已知，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性并加以证明；
（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．
22．（12分）
已知二次函数满足，且．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）已知，讨论在上的最小值；
（Ⅲ）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
皖豫名校2022—2023学年（上）高一年级阶段性测试（二）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 D
解析 ，故．
2．答案 A
解析 不等式的解集是，可得，，则．
3．答案 A
解析 由，即，解得，则成立的充分不必要条件可以是．
4．答案 C
解析 因为函数，所以，所以，，．
5．答案 B
解析 ∵为幂函数，∴，∴，则的定义域为，并且在定义域上为增函数．由得解得．
6．答案 C
解析 由题可知的定义域为，，所以为奇函数，排除A，D．因为，排除B，故选C．
7．答案 D
解析 由，可得，，所以．因为的值域为，所以，可得，故．令，解得或．所以m最小为，n最大为3，则的最大值为4．
8．答案 B
解析 作出函数的大致图象如图所示．由可得．由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案 ABD
解析 对于A，，是减函数，所以A正确；对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在量词命题，所以B正确；对于C，，，所以C错误；对于D，命题p：，的否定是：，，所以D正确．
10．答案 BC
解析 对于A，若，令，，则，，，故A错误；对于B，显然，则，则，故B正确；对于C，因为，所以，所以，同理可得，即，故C正确；对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．
11．答案 BD
解析 对于A，在上是增函数，当时，，故A错误；对于B，在上单调递增，当时，，故B正确；对于C，在上单调递减，当时，，故C错误；对于D，在上单调递增，当时，，故D正确．
12．答案 BD
解析 对于A，不等式即，又在上单调递减，所以，解得，A错误；对于B，由得，，又，所以，B正确；对于C，因为，所以，所以不存在，使得，C错误；对于D，，故是奇函数，其图象关于原点对称，D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
解析 由题可知，．
14．答案
解析 易知函数在上单调递增，且．即，所以，．
15．答案
解析 由题可知，解得．．∵，∴．∵的最小值为，∴，，即，得，即．
16．答案
解析 不等式对任意恒成立，且，∴．当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立．令，则，由对勾函数性质易得在时，单调递增，故，∴，与矛盾，故此时k不存在．当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立，当时，显然成立，当时，不等式等价于对于任意恒成立，令，则，由对勾函数性质易得在时，单调递减，故，∴．综上，．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解 （Ⅰ）原式
（3分）
．（5分）
（Ⅱ）原式
（7分）
．（10分）
18．解 （Ⅰ）由题可知，即，解得，
所以．（2分）
若，则．（4分）
所以．（6分）
（Ⅱ）当，即时，，符合题意；（8分）
当，即时，有解得．（10分）
综上所述，实数a的取值范围为．（12分）
19．解（Ⅰ）过滤2 h后，，
所以污染物的浓度与初始浓度的比值是．（4分）
（Ⅱ）由题意知，前4 h消除了80%的污染物，
又因为，
所以，所以．（7分）
设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为，
由，即，
得，所以，（10分）
故至少还需过滤才能排放．（12分）
20．解 （Ⅰ）
（3分）
，
当且仅当时取等号，所以．（6分）
（Ⅱ）由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，（8分）
∴，同理，，
由题可知上述三式等号不能同时成立．（10分）
∴，
即原不等式得证．（12分）
21．解 （Ⅰ）函数为奇函数．（1分）
证明如下：
易知的定义域为，
因为，（3分）
所以为上的奇函数．（4分）
（Ⅱ），是奇函数且在定义域上单调递增．（5分）
不等式有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即不等式有解．（8分）
因为，所以，，
所以的取值范围是，（10分）
所以，即，
所以实数的取值范围是．（12分）
22．解 （Ⅰ）设，因为，所以，
则（1分）
因为，
所以解得（3分）
故．（4分）
（Ⅱ）．
当，即时，在上单调递减，
所以；（6分）
当且，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以；（7分）
当时，在上单调递增，
所以．
综上，当时，；当时，；当时，．（8分）
（Ⅲ）不等式可化简为．
因为，所以．
要使时，恒成立，显然时不可能．（10分）
当时，函数单调递增，
故解得．
综上可知，实数的取值范围为．（12分）