2023高考梳理：直线与圆模块 第二节　圆的方程测试题

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第二节　圆的方程 【知识十一】圆的标准方程【探索1】求标准方程【例11-1】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝1  B．x2＋(y＋2)2＝1  C．(x－1)2＋(y－3)2＝1  D．x2＋(y－3)2＝1 【练习11-1】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________． 【练习11-2】与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________． 【练习11-3】以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10    B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25    D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 【练习11-4】已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　)A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13   B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52    D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 【反思】(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”,“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．【探索2】待定系数法求标准方程【例11-2】求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．     【练习11-5】过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4    B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4    D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 【练习11-6】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程．       【反思】待定系数法求圆的标准方程的一般步骤  【探索3】思考提升【思考11-1】已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36   B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18    D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9  【思考11-2】方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　)A．一个圆    B．两个点   C．一个点和一个圆    D．一条直线和一个圆 【思考11-3】已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为___________． 【思考11-4】(1)若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是______．(2)设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为______．     【知识十二】点与圆的位置关系【例12】(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．点P在圆内   B．点P在圆外    C．点P在圆上    D．不确定(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________． 【练习12-1】若点(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是(　　)A．|a|＜1   B．a＜   C．|a|＜   D．|a|＜【练习12-2】已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为___________． [反思]　(1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可．②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 【知识十三】圆的一般方程方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，以为半径的圆 【探索1】圆的一般方程的概念理解【例13-1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．    【练习13-1】方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)A．以(a，b)为圆心的圆   B．以(－a，－b)为圆心的圆   C．点(a，b)   D．点(－a，－b)【练习13-2】若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)A．m≤2   B．m＜   C．m＜2   D．m≤ 【练习13-3】(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为______．(2)若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 【反思】　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．      【探索2】求圆的一般方程【例13-2】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值．      【练习13-4】已知A(2，2)，B(5，3)，圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称．(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值．      【练习13-5】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．        【反思】应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.     【探索3】与圆有关的轨迹方程问题【例13-3】已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．       【反思】求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程．特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点． 【练习13-6】如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．  【练习13-7】若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为_____． 【练习13-8】等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？      【练习13-9】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．        【探索4】思考提升【思考13-1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________． 【思考13-2】已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________. 【思考13-3】若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为________．【思考13-4】已知点A(1，－2)，B(4，0)，P(a，1)，N(a＋1，1)，当四边形PABN的周长最小时，过A，P，N三点的圆的圆心坐标为________________． 【思考13-5】已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．