2023高考梳理：直线与圆模块 第三节　直线、圆的位置关系测试题

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第三节　直线、圆的位置关系
【知识十四】直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相离
相切
相交
图示



几何法
d与r的大小
d>r
d＝r
d1，所以m10.
【练习14-4】设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为______________．
【解析】圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．

【探索2】切线问题
【例14-2】若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2上，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是 .
【解析】因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，所以x＋y=R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为=＝R，所以直线与圆相切
【例14-3】过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，（1）求此切线方程；（2）并求其对应的切线长．
【解析】（1）因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
（2）因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
【练习14-5】平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程为________________．
【解析】依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心(0,0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为＝，解得c＝±5.故所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0和2x＋y－5＝0.
【练习14-6】圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为______________．
【解析】由于点P在圆上,故所求切线的斜率为,故所求切线方程为y－＝(x－1),即x－y＋2＝0.
【练习14-7】以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为______________．
【解析】由(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离为d＝3知，r＝3.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
【练习14-8】由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
【解析】切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.

【反思】求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．

【例14-4】过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为____________．
【解析】由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得所以圆心坐标为(3，0)，
半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.



【练习14-9】已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】设圆心为C(a，－a)，则＝，解得a＝1，所以r＝＝，
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.

【知识十五】弦长问题
【例15-1】(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
【解析】由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝，则有|AB|＝2＝2 ＝.
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________________________．
【解析】设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，即半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(3)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
【解析】圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线的距离等于3，于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.

【练习15-1】已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
【解析】设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)．
由于圆过点(1,0)，则半径为r＝|x0－1|，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝.
由弦长为2可知，，解得(x0－1)2＝4，∴x0－1＝±2，∴x0＝3或－1(舍去)．
故圆心坐标为(3,0)，半径为2，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.

【练习15-2】已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．
【解析】(1)　∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1，2)，∵(－1)2＋22