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安徽省淮北市五校联考2021-2022学年八年级第二学期期末考试数学试题 （含答案）
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这是一份安徽省淮北市五校联考2021-2022学年八年级第二学期期末考试数学试题 （含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学八年级（沪科版）·练习卷四（期末）
试题卷
（2021—2022学年下学期 命题范围：下册全部）
注意事项∶
1. 本试卷满分为150分，练习时间为 120分钟。
2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3. 请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4. 练习结束后，请将“试题卷”和"答题卷”一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分 40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列数据能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．6，7，8 B．1，，2 C．5，12，14 D．7，24，26
3．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差、的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．都不对
4．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
5．甲乙两台机床同时生产同一种零件，在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如表，关于以上数据，下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数大于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
6．如图，▱ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
8．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（ ）
A．1cm B．cm C．3cm D．4cm
9．实数a，b，c满足a+b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
10．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11．关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
12．若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
15．计算：﹣|﹣2|．
16．解方程：x2﹣1＝4（x+1）．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
17．已知如图，DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，AB＝13，BD＝12．求：
（1）∠ADB的度数；
（2）求出△ABD的面积．
18．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②中画图．
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4，其余两个顶点均为格点；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
20．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作AF∥BE交DE延长线于点F．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）若∠ABE＝45°，AB＝4，求四边形ABDF的面积．
七、（本题满分12分）
22．为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取n名学生的体育成绩进行分段（A：30分；B：29～25分；C：24～20分；D：19～10分；E：9～0分），统计图如图所示：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）．
（2）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（3）补全频数分布直方图．
（4）若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度是 ．
（5）成绩在25分以上（含25分）定为优秀，那么该市今年20000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生约有多少名？
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．
(1)求证：AF＝AE；
（2）若∠BAG＝10°，求∠EGC的度数；
（3）若DE＝CE，是CE：CG：EG的值．
数学八年级（沪科版）·练习卷四（期末）
解析版
（2021—2022学年下学期 命题范围：下册全部）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分 40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
2．下列数据能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．6，7，8 B．1，，2 C．5，12，14 D．7，24，26
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：A、62+72≠82，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
B、12+（）2＝22，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；
C、122+52≠142，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
D、72+242≠262，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
故选：B．
3．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差、的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．都不对
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵乙产品性能比甲产品性能更稳定，
∴它们方差的大小关系是S2甲＞S2乙，
故选：A．
4．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
【分析】方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
5．甲乙两台机床同时生产同一种零件，在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如表，关于以上数据，下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数大于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
【分析】分别计算出甲、乙两组数据的平均数、众数、中位数及方差，再进一步求解可得．
【解答】解：甲组数据2、0、4、3、2的平均数为×（2+0+4+3+2）＝2.2，众数为2，中位数为2，方差为×[（2﹣2.2）2×2+（0﹣2.2）2+（3﹣2.2）2]+（4﹣2.2）2＝1.76，
乙组数据1、3、4、0、4的平均数为×（1+3+4+0+4）＝2.4，众数为4，中位数为3，方差为×[（4﹣2.4）2×2+（0﹣2.4）2+（1﹣2.4）2]+（3﹣2.4）2＝2.64，
∴甲的平均数小于乙的平均数，甲、乙的众数不相等、中位数不相等，甲的方差小于乙的方差，
故选：D．
6．如图，▱ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝OC＝2cm，BC＝AD＝5cm，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝＝＝3（cm），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO＝＝＝（cm），
∴BD＝2BO＝2（cm），
故选：D．
7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故选：C．
8．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（ ）
A．1cm B．cm C．3cm D．4cm
【分析】连接AC，证△ABC是等边三角形，得∠ABC＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE，然后由勾股定理求出BE＝，即可得出答案．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AE垂直平分BC于E，
∴AB＝AC，BE＝CE，∠AEB＝90°，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE，
∵AB2﹣BE2＝AE2，
∴（2BE）2﹣BE2＝12，
解得：BE＝（负值已舍去），
∴BC＝2BE＝（cm），
故选：B．
9．实数a，b，c满足a+b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，b2﹣4ac≥0．
【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝1时，原方程化为a+b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
10．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据勾股定理出AN，计算即可．
【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝，
∴AM＝，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11．关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】利用根与系数之间的关系求解．
【解答】解：设另一个根为a，由根与系数之间的关系得，
a+2＝﹣1，
∴a＝﹣3，
故答案为﹣3，
12．若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和的公式（n﹣2）×180°和多边形的外角和公式，解方程即可求出n的值
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程
360°＝（n﹣2）×180°
解得n＝8
故答案为8．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，
故答案为：12．
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP＝PE时，求出即可．
【解答】解：根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
15．计算：﹣|﹣2|．
【分析】先利用乘法的分配律和二次根式的乘除法则计算，再把二次根式化为最简二次根式和去绝对值，然后合并即可．
【解答】解：原式＝+++﹣2
＝++4+﹣2
＝﹣2．
16．解方程：x2﹣1＝4（x+1）．
【分析】方程开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣1＝4（x+1），
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
（x+1）（x﹣5）=0
解得：x1＝﹣1，x2＝5；
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
17．已知如图，DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，AB＝13，BD＝12．求：
（1）∠ADB的度数；
（2）求出△ABD的面积．
【分析】（1）在Rt△ACD中，根据勾股定理即可求得AD的长，利用勾股定理逆定理即可得到∠ADB的度数；
（2）利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝5，
∵AB＝13，BD＝12．
52+122＝132，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）5×12÷2＝30．
故△ABD的面积是30．
18．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②中画图．
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4，其余两个顶点均为格点；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点．
【分析】（1）根据题目要求作出矩形ABCD即可；
（2）根据题目要求作出菱形ACBD即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，四边形ACBD即为所求．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．
【解答】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）∵四边形ABFC是矩形，
∴BC＝AF，AF＝EF，BE＝CE，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝3，
∴EF＝3．
20．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，根据矩形的面积公式列出方程并解答；
（2）根据矩形的面积公式列出方程，由一元二次方程根的判别式符号判定所列方程是否有根，据此进行判定．
【解答】解：（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，
依题意，得（42﹣3x）x＝144．
解得x1＝6，x2＝8．
由于x2＝8＞7，所以不合题意，舍去．
所以x＝6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米；
（2）依题意，得（42﹣3x）x＝150．
整理，得x2﹣14x+50＝0．
因为Δ＝（﹣14）2﹣4×1×50＝﹣4＜0．
所以该方程无解．
所以生态园的面积不能达到150平方米．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作AF∥BE交DE延长线于点F．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）若∠ABE＝45°，AB＝4，求四边形ABDF的面积．
【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，再证AB＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EG⊥AB于G，由菱形的性质得BE＝EF＝AB＝4，再证△EBG是等腰直角三角形，得EG＝BE＝2，然后由梯形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别为BC，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB＝2DE．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BE＝2DE，
∴AB＝BE，
∴▱ABEF为菱形；
（2）解：如图，过E作EG⊥AB于G，
由（1）可知，DE∥AB，AB＝2DE，AB＝4，
∴DE＝2，四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝4，
∴DF＝DE+EF＝6，
在Rt△EBG中，∠ABE＝45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG＝BE＝2，
∴S四边形ABDF＝（AB+DF）•EG＝×（4+6）×2＝10．
七、（本题满分12分）
22．为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取n名学生的体育成绩进行分段（A：30分；B：29～25分；C：24～20分；D：19～10分；E：9～0分），统计图如图所示：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 抽样调查 （填写“普查”或“抽样调查”）．
（2）n＝ 240 ，a＝ 20% ，b＝ 60 ．
（3）补全频数分布直方图．
（4）若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度是 72° ．
（5）成绩在25分以上（含25分）定为优秀，那么该市今年20000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生约有多少名？
【分析】（1）根据调查方式可得答案；
（2）根据“频率＝”，利用E组的频数和频率可得总数n，然后根据A的频数求出a，估计B的频率求出b；
（3）估计b的值补全频数分布直方图即可；
（4）用360°乘体育成绩在A段所占的比例即可；
（5）首先根据频率分布表可以得出样本中在25分以上（含25分）的频率，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）由题意得，n＝12÷5%＝240，
所以a＝，b＝240×25%＝60，
故答案为：240；20%；60；
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度是360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（5）20000×（20%+25%）＝9000（名）．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有9000名．
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．
(1)求证：AF＝AE；
（2）若∠BAG＝10°，求∠EGC的度数；
（3）若DE＝CE，是CE：CG：EG的值．
【分析】（1）证明△ADE≌△ABF（ASA）可得结论．
（2）证明△AGF≌△AGE（SAS），推出∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，推出∠EGF＝180°﹣2∠BAG可得结论．
（3）当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】（1）解：∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABF＝∠ADE＝∠BAD＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AE＝AF，
（2）∵AG平分∠EAF，
∴∠GAF＝∠GAE，
∵AF＝AE，AG＝AG，
∴△AGF≌△AGE（SAS），
∴∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，
∴∠EGF＝180°﹣2∠BAG，
∵∠EGF＝180°﹣∠EGC，
∴∠EGC＝2∠BAG，
∵∠BAG＝10°，
∴∠EGC＝20°
（3）当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（x+a）2＝a2+（2a﹣x）2，
解得x＝a，
∴CG＝a，EG＝a，
∴CE：CG：EG＝a：a：a＝3：4：5，
数学八年级（沪科版）·练习卷四（期末）
试题卷
（2021—2022学年下学期 命题范围：下册全部）
注意事项∶
1. 本试卷满分为150分，练习时间为 120分钟。
2. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3. 请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4. 练习结束后，请将“试题卷”和"答题卷”一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分 40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列数据能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．6，7，8 B．1，，2 C．5，12，14 D．7，24，26
3．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差、的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．都不对
4．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
5．甲乙两台机床同时生产同一种零件，在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如表，关于以上数据，下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数大于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
6．如图，▱ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
8．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（ ）
A．1cm B．cm C．3cm D．4cm
9．实数a，b，c满足a+b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
10．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11．关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
12．若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 ．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
15．计算：﹣|﹣2|．
16．解方程：x2﹣1＝4（x+1）．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
17．已知如图，DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，AB＝13，BD＝12．求：
（1）∠ADB的度数；
（2）求出△ABD的面积．
18．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②中画图．
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4，其余两个顶点均为格点；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
20．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作AF∥BE交DE延长线于点F．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）若∠ABE＝45°，AB＝4，求四边形ABDF的面积．
七、（本题满分12分）
22．为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取n名学生的体育成绩进行分段（A：30分；B：29～25分；C：24～20分；D：19～10分；E：9～0分），统计图如图所示：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）．
（2）n＝ ，a＝ ，b＝ ．
（3）补全频数分布直方图．
（4）若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度是 ．
（5）成绩在25分以上（含25分）定为优秀，那么该市今年20000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生约有多少名？
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．
(1)求证：AF＝AE；
（2）若∠BAG＝10°，求∠EGC的度数；
（3）若DE＝CE，是CE：CG：EG的值．
数学八年级（沪科版）·练习卷四（期末）
解析版
（2021—2022学年下学期 命题范围：下册全部）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分 40分）
1．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
2．下列数据能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．6，7，8 B．1，，2 C．5，12，14 D．7，24，26
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：A、62+72≠82，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
B、12+（）2＝22，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；
C、122+52≠142，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
D、72+242≠262，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
故选：B．
3．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它们的方差、的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．都不对
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵乙产品性能比甲产品性能更稳定，
∴它们方差的大小关系是S2甲＞S2乙，
故选：A．
4．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
【分析】方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
5．甲乙两台机床同时生产同一种零件，在某周的工作日内，两台机床每天生产次品的个数整理成甲、乙两组数据，如表，关于以上数据，下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数大于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
【分析】分别计算出甲、乙两组数据的平均数、众数、中位数及方差，再进一步求解可得．
【解答】解：甲组数据2、0、4、3、2的平均数为×（2+0+4+3+2）＝2.2，众数为2，中位数为2，方差为×[（2﹣2.2）2×2+（0﹣2.2）2+（3﹣2.2）2]+（4﹣2.2）2＝1.76，
乙组数据1、3、4、0、4的平均数为×（1+3+4+0+4）＝2.4，众数为4，中位数为3，方差为×[（4﹣2.4）2×2+（0﹣2.4）2+（1﹣2.4）2]+（3﹣2.4）2＝2.64，
∴甲的平均数小于乙的平均数，甲、乙的众数不相等、中位数不相等，甲的方差小于乙的方差，
故选：D．
6．如图，▱ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝OC＝2cm，BC＝AD＝5cm，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝＝＝3（cm），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO＝＝＝（cm），
∴BD＝2BO＝2（cm），
故选：D．
7．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故选：C．
8．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（ ）
A．1cm B．cm C．3cm D．4cm
【分析】连接AC，证△ABC是等边三角形，得∠ABC＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE，然后由勾股定理求出BE＝，即可得出答案．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AE垂直平分BC于E，
∴AB＝AC，BE＝CE，∠AEB＝90°，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE，
∵AB2﹣BE2＝AE2，
∴（2BE）2﹣BE2＝12，
解得：BE＝（负值已舍去），
∴BC＝2BE＝（cm），
故选：B．
9．实数a，b，c满足a+b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，b2﹣4ac≥0．
【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝1时，原方程化为a+b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
10．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据勾股定理出AN，计算即可．
【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝，
∴AM＝，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11．关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】利用根与系数之间的关系求解．
【解答】解：设另一个根为a，由根与系数之间的关系得，
a+2＝﹣1，
∴a＝﹣3，
故答案为﹣3，
12．若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和的公式（n﹣2）×180°和多边形的外角和公式，解方程即可求出n的值
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程
360°＝（n﹣2）×180°
解得n＝8
故答案为8．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，
故答案为：12．
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP＝PE时，求出即可．
【解答】解：根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
15．计算：﹣|﹣2|．
【分析】先利用乘法的分配律和二次根式的乘除法则计算，再把二次根式化为最简二次根式和去绝对值，然后合并即可．
【解答】解：原式＝+++﹣2
＝++4+﹣2
＝﹣2．
16．解方程：x2﹣1＝4（x+1）．
【分析】方程开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣1＝4（x+1），
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
（x+1）（x﹣5）=0
解得：x1＝﹣1，x2＝5；
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分）
17．已知如图，DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，AB＝13，BD＝12．求：
（1）∠ADB的度数；
（2）求出△ABD的面积．
【分析】（1）在Rt△ACD中，根据勾股定理即可求得AD的长，利用勾股定理逆定理即可得到∠ADB的度数；
（2）利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵DC＝4，AC＝3，∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝5，
∵AB＝13，BD＝12．
52+122＝132，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）5×12÷2＝30．
故△ABD的面积是30．
18．图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②中画图．
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4，其余两个顶点均为格点；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点．
【分析】（1）根据题目要求作出矩形ABCD即可；
（2）根据题目要求作出菱形ACBD即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，四边形ACBD即为所求．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．
【解答】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）∵四边形ABFC是矩形，
∴BC＝AF，AF＝EF，BE＝CE，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝3，
∴EF＝3．
20．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，根据矩形的面积公式列出方程并解答；
（2）根据矩形的面积公式列出方程，由一元二次方程根的判别式符号判定所列方程是否有根，据此进行判定．
【解答】解：（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，
依题意，得（42﹣3x）x＝144．
解得x1＝6，x2＝8．
由于x2＝8＞7，所以不合题意，舍去．
所以x＝6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米；
（2）依题意，得（42﹣3x）x＝150．
整理，得x2﹣14x+50＝0．
因为Δ＝（﹣14）2﹣4×1×50＝﹣4＜0．
所以该方程无解．
所以生态园的面积不能达到150平方米．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作AF∥BE交DE延长线于点F．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）若∠ABE＝45°，AB＝4，求四边形ABDF的面积．
【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，再证AB＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EG⊥AB于G，由菱形的性质得BE＝EF＝AB＝4，再证△EBG是等腰直角三角形，得EG＝BE＝2，然后由梯形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别为BC，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB＝2DE．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BE＝2DE，
∴AB＝BE，
∴▱ABEF为菱形；
（2）解：如图，过E作EG⊥AB于G，
由（1）可知，DE∥AB，AB＝2DE，AB＝4，
∴DE＝2，四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝4，
∴DF＝DE+EF＝6，
在Rt△EBG中，∠ABE＝45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG＝BE＝2，
∴S四边形ABDF＝（AB+DF）•EG＝×（4+6）×2＝10．
七、（本题满分12分）
22．为了了解全市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取n名学生的体育成绩进行分段（A：30分；B：29～25分；C：24～20分；D：19～10分；E：9～0分），统计图如图所示：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 抽样调查 （填写“普查”或“抽样调查”）．
（2）n＝ 240 ，a＝ 20% ，b＝ 60 ．
（3）补全频数分布直方图．
（4）若绘制“学生学业考试体育成绩扇形统计图”，则体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度是 72° ．
（5）成绩在25分以上（含25分）定为优秀，那么该市今年20000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生约有多少名？
【分析】（1）根据调查方式可得答案；
（2）根据“频率＝”，利用E组的频数和频率可得总数n，然后根据A的频数求出a，估计B的频率求出b；
（3）估计b的值补全频数分布直方图即可；
（4）用360°乘体育成绩在A段所占的比例即可；
（5）首先根据频率分布表可以得出样本中在25分以上（含25分）的频率，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）由题意得，n＝12÷5%＝240，
所以a＝，b＝240×25%＝60，
故答案为：240；20%；60；
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）体育成绩在A段所对应扇形的圆心角度是360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（5）20000×（20%+25%）＝9000（名）．
答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有9000名．
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．
(1)求证：AF＝AE；
（2）若∠BAG＝10°，求∠EGC的度数；
（3）若DE＝CE，是CE：CG：EG的值．
【分析】（1）证明△ADE≌△ABF（ASA）可得结论．
（2）证明△AGF≌△AGE（SAS），推出∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，推出∠EGF＝180°﹣2∠BAG可得结论．
（3）当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】（1）解：∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABF＝∠ADE＝∠BAD＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AE＝AF，
（2）∵AG平分∠EAF，
∴∠GAF＝∠GAE，
∵AF＝AE，AG＝AG，
∴△AGF≌△AGE（SAS），
∴∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，
∴∠EGF＝180°﹣2∠BAG，
∵∠EGF＝180°﹣∠EGC，
∴∠EGC＝2∠BAG，
∵∠BAG＝10°，
∴∠EGC＝20°
（3）当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（x+a）2＝a2+（2a﹣x）2，
解得x＝a，
∴CG＝a，EG＝a，
∴CE：CG：EG＝a：a：a＝3：4：5，
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