2022届湖南省长沙市雅礼中学中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算的结果是（   ）．

A． B． C． D．

2．下列几何体中三视图完全相同的是（　　）

A． B． C． D．

3．如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是(  )

A．90° B．30° C．45° D．60°

4．下列运算正确的是（　　）

A．a6÷a3=a2 B．3a2•2a=6a3 C．（3a）2=3a2 D．2x2﹣x2=1

5．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）

6．在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数法表示为（  ）

A．13.51×106 B．1.351×107 C．1.351×106 D．0.1531×108

7．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（　　）

A．10° B．12.5° C．15° D．20°

8．如图，⊙O的半径OC与弦AB交于点D，连结OA，AC，CB，BO，则下列条件中，无法判断四边形OACB为菱形的是（    ）

A．∠DAC=∠DBC=30° B．OA∥BC，OB∥AC C．AB与OC互相垂直 D．AB与OC互相平分

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：

①AD是∠BAC的平分线；

②∠ADC=60°；

③点D在AB的中垂线上；

④S△ACD：S△ACB=1：1．

其中正确的有（　　）

A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④

10．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算：＝____．

12．Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若, 则    ．

13．双察下列等式：，，，…则第n个等式为_____．（用含n的式子表示）

14．八位女生的体重（单位：kg）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg．

15．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是        ．

16．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．求证：CD是⊙O的切线；若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．

18．（8分）某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

19．（8分）某船的载重为260吨，容积为1000m1．现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m1，乙种货物每吨体积为2m1，若要充分利用这艘船的载重与容积，求甲、乙两种货物应各装的吨数（设装运货物时无任何空隙）．

20．（8分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方米处的点C出发,沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号）

21．（8分）计算：.化简：.

22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（）的图象经过点，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称， CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.

（1）求m，n的值；

（2）若直线（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当时，求点F的坐标．

23．（12分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．

（1）求∠DOA的度数；

（2）求证：直线ED与⊙O相切．

24．如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、.

求证：四边形是平行四边形.若，，则在点的运动过程中：

①当______时，四边形是矩形；

②当______时，四边形是菱形.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】
根据同底数幂的乘除法运算进行计算.

【详解】

3x2y2x3y2÷xy3＝6x5y4÷xy3＝6x4y.故答案选D.

【点睛】

本题主要考查同底数幂的乘除运算，解题的关键是知道：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

2、A

【解析】
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．

【详解】

解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；

B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

故选A．

【点睛】

考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．

3、C

【解析】
根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△BEC绕点C旋转至△DFC的位置，

∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠EFC=45°.

故选：C.

【点睛】

本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转角度，每对对应边相等，故 为等腰直角三角形.

4、B

【解析】
A、根据同底数幂的除法法则计算；
B、根据同底数幂的乘法法则计算；
C、根据积的乘方法则进行计算；
D、根据合并同类项法则进行计算.

【详解】

解：A、a6÷a3=a3，故原题错误；

B、3a2•2a=6a3，故原题正确；

C、（3a）2=9a2，故原题错误；

D、2x2﹣x2=x2，故原题错误；

故选B．

【点睛】

考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

5、D

【解析】

分析：作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．

详解：作BC⊥x轴于C，如图，

∵△OAB是边长为4的等边三角形

∴

∴A点坐标为(−4,0),O点坐标为(0,0)，

在Rt△BOC中, 

∴B点坐标为

∵△OAB按顺时针方向旋转,得到△OA′B′，

∴

∴点A′与点B重合,即点A′的坐标为

故选D.

点睛：考查图形的旋转，等边三角形的性质.求解时，注意等边三角形三线合一的性质.

6、B

【解析】
根据科学记数法进行解答.

【详解】

1315万即13510000，用科学记数法表示为1.351×107.故选择B.

【点睛】

本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是a×10n（1≤│a│＜10且n为整数）.

7、C

【解析】

试题分析：根据三角形的三线合一可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠EDC=90°-∠ADE即可得到答案．

∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，

∴∠DAC=∠BAD=30°，

∵AD=AE（已知），

∴∠ADE=75°

∴∠EDC=90°-∠ADE=15°．

故选C．

考点：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理

点评：解答本题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

8、C

【解析】

（1）∵∠DAC=∠DBC=30°，

∴∠AOC=∠BOC=60°，

又∵OA=OC=OB，

∴△AOC和△OBC都是等边三角形，

∴OA=AC=OC=BC=OB，

∴四边形OACB是菱形；即A选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

（2）∵OA∥BC，OB∥AC，

∴四边形OACB是平行四边形，

又∵OA=OB，

∴四边形OACB是菱形，即B选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

（3）由OC和AB互相垂直不能证明到四边形OACB是菱形，即C选项中的条件不能判定四边形OACB是菱形；

（4）∵AB与OC互相平分，

∴四边形OACB是平行四边形，

又∵OA=OB，

∴四边形OACB是菱形，即由D选项中的条件能够判定四边形OACB是菱形.

故选C.

9、D

【解析】
①根据作图过程可判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可推知∠CAD＝10°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用10°角所对的直角边是斜边的一半，三角形的面积计算公式来求两个三角形面积之比.

【详解】

①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝10°，∴∠1＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，∵在直角△ACD中，∠2＝10°，∴CD＝AD，∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，S△DAC＝AC∙CD＝AC∙AD.∴S△ABC＝AC∙BC＝AC∙AD＝AC∙AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC∙AD：AC∙AD＝1:1，④正确.故选D.

【点睛】

本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键.

10、C

【解析】
解不等式组，再将解集在数轴上正确表示出来即可

【详解】

解1＋x≥0得x≥﹣1，解2x－4＜0得x＜2，所以不等式的解集为﹣1≤x＜2，故选C.

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组的求解，求出题中不等式组的解集是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】
根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可．

【详解】

解：∵12=21，
∴=1，
故答案为：1．

【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，先把化简是解题的关键．

12、

【解析】
利用直角三角形的性质，判定三角形相似，进一步利用相似三角形的面积比等于相似比的性质解决问题．

【详解】

如图，

∵∠CAB=90°，且AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠CAB=∠ADB，且∠B=∠B，

∴△CAB∽△ADB，

∴（AB：BC）1=△ADB：△CAB，

又∵S△ABC=4S△ABD，则S△ABD：S△ABC=1：4，

∴AB：BC=1：1．

13、＝

【解析】
探究规律后，写出第n个等式即可求解．

【详解】

解：

…

则第n个等式为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键.

14、1

【解析】
根据中位数的定义，结合图表信息解答即可．

【详解】

将这八位女生的体重重新排列为：35、36、38、38、40、42、42、45，

则这八位女生的体重的中位数为=1kg，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数．

15、9

【解析】

解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9

16、15

【解析】

试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．

故答案为15π．

考点：圆锥的计算．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为

【解析】

【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.

【详解】（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠BCD=∠BAC，

∴∠BCD=∠OCA，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°

∴∠OCD=90°

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）设⊙O的半径为r，

∴AB=2r，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴OD=2r，∠COB=60°

∴r+2=2r，

∴r=2，∠AOC=120°

∴BC=2，

∴由勾股定理可知：AC=2，

易求S△AOC=×2×1=

S扇形OAC=，

∴阴影部分面积为.

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

18、1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.

【解析】
此题可设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可

【详解】

设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷

根据题意可得

解得

答：每台大小收割机每小时分别收割0.4公顷和0.2公顷.

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键在于弄清题意，找到合适的等量关系

19、这艘船装甲货物80吨，装乙货物180吨．

【解析】
根据题意先列二元一次方程，再解方程即可.

【详解】

解：设这艘船装甲货物x吨，装乙货物y吨，

根据题意，得．

解得．

答：这艘船装甲货物80吨，装乙货物180吨．

【点睛】

此题重点考查学生对二元一次方程的应用能力，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键.

20、3+3.5

【解析】
延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．

【详解】

如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，

∵tan∠DCF=i=，

∴∠DCF=30°，

∵CD=4，

∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，

∴BF=BC+CF=2+2=4，

过点E作EG⊥AB于点G，

则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，

又∵∠AED=37°，

∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，

则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，

故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．

考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

21、（1）5；（2）-3x+4

【解析】
(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算.

（2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算.

【详解】

（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】

本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值.

22、（1）m=8,n=-2;(2) 点F的坐标为，

【解析】

分析：(1)利用三角形的面积公式构建方程求出n，再利用 待定系数法求出m的的值即可;(2)分两种情形分别求解如①图,当k<0时，设直线y=kx+b与x轴，y轴的交点分别为, . ②图中，当k>0时，设直线y=kx+b与x轴，y轴的交点分别为点,.

详解：（1）如图②

∵ 点A的坐标为，点C与点A关于原点O对称，

∴ 点C的坐标为．

∵ AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，

∴ B，D两点的坐标分别为，．

∵ △ABD的面积为8，，

∴ ．

解得 ．  ∵ 函数（）的图象经过点，

∴ ．

（2）由（1）得点C的坐标为．

① 如图，当时，设直线与x轴，

y轴的交点分别为点，．

由 CD⊥x轴于点D可得CD∥．

∴ △CD∽△ O．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴ 点的坐标为．

②如图，当时，设直线与x轴，y轴的交点分别为

点，．

同理可得CD∥，．

∵ ，

∴ 为线段的中点，．

∴ ．

 ∴ 点的坐标为．

综上所述，点F的坐标为，．

点睛：本题考查了反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积公式等知识，解题的关键是会用方程的思想思考问题，会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

23、（1）∠DOA =100°；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据∠CBA=50°，利用圆周角定理即可求得∠DOA的度数；（2）连接OE，利用SSS证明△EAO≌△EDO，根据全等三角形的性质可得∠EDO=∠EAO=90°，即可证明直线ED与⊙O相切．

试题解析：（1）∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°；

（2）证明：连接OE，

在△EAO和△EDO中，

AO=DO，EA=ED，EO=EO，

∴△EAO≌△EDO，

得到∠EDO=∠EAO=90°，

∴直线ED与⊙O相切．

考点：圆周角定理；全等三角形的判定及性质；切线的判定定理

24、 (1)、证明过程见解析；(2)、①、2；②、1．

【解析】
(1)、首先证明△BEF和△DCF全等，从而得出DC=BE，结合DC和AB平行得出平行四边形；(2)、①、根据矩形得出∠CEB=90°，结合∠ABC=120°得出∠CBE=60°，根据直角三角形的性质得出答案；②、根据菱形的性质以及∠ABC=120°得出△CBE是等边三角形，从而得出答案．

【详解】

(1)、证明：∵AB∥CD，∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，∵点F是BC的中点，

∴BF=CF，在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，FC=BF，

∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC=BE， ∴四边形BECD是平行四边形；

(2)、①BE=2；∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°；

∴∠ECB=30°，∴BE=BC=2，

②BE=1，∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，

∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=1．

【点睛】

本题主要考查的是平行四边形的性质以及矩形、菱形的判定定理，属于中等难度的题型．理解平行四边形的判定定理以及矩形和菱形的性质是解决这个问题的关键．