2022届黑龙江省哈尔滨市第113中学中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．这个数是(    )

A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数

2．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（ ）

A．0.96×107 B．9.6×106 C．96×105 D．9.6×102

3．对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

4．将不等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是(     )

A． B． C． D．

5．一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

6．如图，是的直径，弦，垂足为点，点是上的任意一点，延长交的延长线于点，连接.若，则等于（  ）

A． B． C． D．

7．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（　　）

A． B． C． D．

8．3月22日，美国宣布将对约600亿美元进口自中国的商品加征关税，中国商务部随即公布拟对约30亿美元自美进口商品加征关税，并表示，中国不希望打贸易战，但绝不惧怕贸易战，有信心，有能力应对任何挑战．将数据30亿用科学记数法表示为（　　）

A．3×109 B．3×108 C．30×108 D．0.3×1010

9．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5

10．已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）

A．（1，-5） B．（3，-13） C．（2，-8） D．（4，-20）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．在矩形ABCD中，AB=6CM，E为直线CD上一点，连接AC，BE，若AC与BE交与点F， DE=2，则EF：BE= ________ 。

12．如图，a∥b，∠1=40°，∠2=80°，则∠3=　　度．

13．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．

14．分解因式：_______

15．如果2，那么=_____（用向量，表示向量）．

16．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是_____．

17．PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠PAB=60°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？

19．（5分）某地一路段修建，甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做5天，再由甲、乙两队合作9天，共完成这项工程的三分之一．

（1）求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？

（2）若甲队的工作效率提高20%，乙队工作效率提高50%，甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2.5万元，现由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分，在完成此项工程的工程款不超过190万元的条件下要求尽早完成此项工程，则甲、乙两队至多要合作多少天？

20．（8分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

21．（10分）如图，抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，3），点D是x轴上一动点，连接CD，将线段CD绕点D旋转得到DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF．

（1）求抛物线解析式；

（2）若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到，求线段DF的长；

（3）若线段DE是CD绕点D旋转90°得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标．

22．（10分）先化简，再求值：，其中x=，y=．

23．（12分）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

24．（14分）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店每天的利润．若每份套餐售价不超过10元．

①试写出与的函数关系式；

②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．

【详解】

解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．
故选D．

【点睛】

本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．

2、B

【解析】

试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，故选B．

考点：科学记数法—表示较大的数．

3、C

【解析】

判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可：

∵a=1，b=，c=，

∴．

∴此方程有两个不相等的实数根．故选C．

4、B

【解析】

先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．

解：不等式可化为：，即．
∴在数轴上可表示为．故选B．

“点睛”不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

5、D

【解析】

试题分析：△=22-4×4=-12<0，故没有实数根；

故选D．

考点：根的判别式．

6、B

【解析】
连接BD，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．

【详解】

连接BD，

∵AB是直径，∠BAD=25°，

∴∠ABD=90°-25°=65°，

∴∠AGD=∠ABD=65°，

故选B．

【点睛】

此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．

7、A

【解析】
根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．

【详解】

现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣30）台机器．

依题意得：，

故选A．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

8、A

【解析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

【详解】

将数据30亿用科学记数法表示为，

故选A．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

9、C

【解析】
根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．

【详解】

解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），

∴2k﹣b=0，b=2k．

函数值y随x的增大而减小，则k＜0；

解关于k（x﹣3）﹣b＞0，

移项得：kx＞3k+b，即kx＞1k；

两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜1．

故选C．

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式．

10、C

【解析】

试题分析：=，∴点M（m，﹣m2﹣1），∴点M′（﹣m，m2+1），∴m2+2m2﹣1=m2+1．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．

考点：二次函数的性质．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、4:7或2:5

【解析】
根据E在CD上和CD的延长线上，运用相似三角形分类讨论即可.

【详解】

解：当E在线段CD上如图：

∵矩形ABCD

∴AB∥CD

∴△ABF∽△CFE

∴

设，即EF=2k，BF=3k

∴BE=BF+EF=5k

∴EF：BE=2k∶5k=2∶5

当当E在线段CD的延长线上如图：

∵矩形ABCD

∴AB∥CD

∴△ABF∽△CFE

∴

设，即EF=4k，BF=3k

∴BE=BF+EF=7k

∴EF：BE=4k∶7k=4∶7

故答案为：4:7或2:5.

【点睛】

本题以矩形为载体，考查了相似三角形的性质，解题的关键在于根据图形分类讨论，即数形结合的灵活应用.

12、120

【解析】
如图，

∵a∥b，∠2=80°，

∴∠4=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）

∴∠3=∠1+∠4=40°+80°=120°．

故答案为120°．

13、

【解析】

mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，

故答案为n(n-m)(m+1).

14、

【解析】

=2（）=.

故答案为.

15、

【解析】

∵2(+)=+,∴2+2=+,∴=-2,

故答案为.

点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.

16、且

【解析】

分式方程去分母得：2（2x-a）=x-2，

去括号移项合并得：3x=2a-2，

解得：，

∵分式方程的解为非负数，

∴ 且 ，

解得：a≥1 且a≠4 ．

17、60°或120°．

【解析】
连接OA、OB，根据切线的性质得出∠OAP的度数，∠OBP的度数；再根据四边形的内角和是360°，求出∠AOB的度数，有圆周角定理或圆内接四边形的性质，求出∠ACB的度数即可．

【详解】

解：连接OA、OB．

∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB；

∴∠PAO=∠PBO=90°；

又∵∠APB=60°，

∴在四边形AOBP中，∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，

∴

即当C在D处时，∠ACB=60°．

在四边形ADBC中，∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣60°=120°．

于是∠ACB的度数为60°或120°，

故答案为60°或120°．

【点睛】

本题考查的是切线的性质定理，圆内接四边形的性质，是一道基础题．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、1人

【解析】

解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：

，整理得0.8（x+88）=x，解之得x=1．

经检验x=1是原方程的解．

答：这个学校九年级学生有1人． 

设九年级学生有x人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：，根据题意可得方程，解方程即可．

19、（1）甲、乙两队合作完成这项工程需要36天；（2）甲、乙两队至多要合作7天

【解析】
（1）设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天，根据条件：甲队先做5天，再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的，列方程求解即可；

（2）设甲、乙两队最多合作元天，先求出甲、乙两队合作一天完成工程的多少，再根据完成此项工程的工程款不超过190万元，列出不等式，求解即可得出答案．

【详解】

（1）设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天

根据题意得，，

解得 x=36，

经检验x=36是分式方程的解，

答：甲、乙两队合作完成这项工程需要36天，

（2）

设甲、乙需要合作y天，根据题意得，

，

解得y≤7

答：甲、乙两队至多要合作7天．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

20、米.

【解析】
先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值.

【详解】

由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，

设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），

则据题意得：，

解得：，

∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+1，

∵y=﹣（x﹣4）2+，

∴飞行的最高高度为：米．

【点睛】

本题考核知识点：二次函数的应用. 解题关键点：熟记二次函数的基本性质.

21、 (1) 抛物线解析式为y=﹣；(2) DF=3；(3) 点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣ ，﹣）或E3（ ，﹣）或E4（，﹣）．

【解析】
（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式求解可得；

（2）证△COD≌△DHE得DH=OC，由CF⊥FH知四边形OHFC是矩形，据此可得FH=OC=DH=3，利用勾股定理即可得出答案；

（3）设点D的坐标为（t，0），由（1）知△COD≌△DHE得DH=OC、EH=OD，再分CD绕点D顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，表示出点E的坐标，代入抛物线求得t的值，从而得出答案．

【详解】

（1）∵抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、C（0，3），∴，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣+x+3；

（2）如图1．

∵∠CDE=90°，∠COD=∠DHE=90°，∴∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC，∴∠OCD=∠HDE．

又∵DC=DE，∴△COD≌△DHE，∴DH=OC．

又∵CF⊥FH，∴四边形OHFC是矩形，∴FH=OC=DH=3，∴DF=3；

（3）如图2，设点D的坐标为（t，0）．

∵点E恰好在抛物线上，且EH=OD，∠DHE=90°，∴由（2）知，△COD≌△DHE，∴DH=OC，EH=OD，分两种情况讨论：

①当CD绕点D顺时针旋转时，点E的坐标为（t+3，t），代入抛物线y=﹣+x+3，得：﹣（t+3）2+（t+3）+3=t，解得：t=1或t=﹣，所以点E的坐标E1（4，1）或E2（﹣，﹣）；

②当CD绕点D逆时针旋转时，点E的坐标为（t﹣3，﹣t），代入抛物线y=﹣+x+3得：﹣（t﹣3）2+（t﹣3）+3=﹣t，解得：t=或t=．故点E的坐标E3（，﹣）或E4（，﹣）；

综上所述：点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣，﹣）或E3（，﹣）或E4（，﹣）．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及分类讨论思想的运用．

22、x+y，．

【解析】

试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．

试题解析：原式= ==x+y，

当x=，y==2时，原式=﹣2+2=．

23、（1）1；（3）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．

【解析】

试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；

（3）由于根据（1）得到x≤1，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；

（3）首先把函数变为y==，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．

试题解析：（1）设一次购买x只，则30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．

答：一次至少买1只，才能以最低价购买；

（3）当10＜x≤1时，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=，当x＞1时，y=（16﹣13）x=4x；

综上所述：；

（3）y==，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．

②当45＜x≤1时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．

且当x=46时，y1=303.4，当x=1时，y3=3．∴y1＞y3．

即出现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象．

当x=45时，最低售价为30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．

考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论．

24、（1）①y=400x﹣1．（5＜x≤10）；②9元或10元；（2）能， 11元.

【解析】
(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x的值得出答案．

【详解】

解：（1）①y=400（x﹣5）﹣2．（5＜x≤10）， 

②依题意得：400（x﹣5）﹣2≥800，  解得：x≥8.5，

∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于9元．      

（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，

y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2，  

当y=1560时， （x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2=1560，

解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．

故该套餐售价应定为11元．

【点睛】

本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．