2023年黑龙江省哈尔滨市萧红中学校中考三模数学试题（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市萧红中学校中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，数轴上表示数的相反数的点是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

2．下列运算中，结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．下列图形中，是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）

A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体

5．如图，已知直线，直角三角板的顶点A在直线m上，则等于（   ）

A．21° B．48° C．58° D．30°

6．如图，点为外一点，为的切线，A为切点，与相交于点，，，则线段的长为（    ）

A．3 B． C．6 D．9

7．方程的解为（　　）

A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1

8．对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、、和点、、．若，，，则的长度是（    ）

A． B．3 C．5 D．

10．如图，在中， 是平分线的交点，过点O作，分别交于点，已知（常数） ，设的周长为，的周长为，在下列图像中，大致表示与之间的函数关系式的是（  ）    

A． B． C． D．

二、填空题

11．某市常住人口约为5240000人，数字5240000用科学记数法表示________.

12．函数y=中，自变量x的取值范围是_____．

13．计算：_______．

14．分解因式：a2b﹣9b=_____．

15．不等式组的解集是______．

16．一个袋子中装有6个球，其中4个黑球2个白球，这些球除颜色外，其他都完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出两个球为一黑一白球的概率是______．

17．抛物线的顶点坐标是___________．

18．一个扇形的半径为6cm，面积为，则此扇形的圆心角为______度．

19．已知：等腰三角形ABC的面积为30，AB=AC= 10，则底边BC的长度为_________ m.

20．如图，在中，，，点在线段上，，点在线段的延长线上，，连接，若的面积等于10，则的长为______．

三、解答题

21．先化简，再求代数式的值．其中a＝2sin60°﹣3tan45°．

22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和点，其中点、、均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出锐角等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10；

(2)连接，以为边在方格纸中画出正方形，点、在小正方形的顶点上；在（1）（2）条件下，连接，并直接写出线段的长．

23．学习成为现代入的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．

(1)在统计的这段时间内，共有 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 %；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)若5月份到图书馆的读者共28000人次，估计其中约有多少人次读者是职工？

24．如图，在中，，点是的中点，连接，点为的中点，过作交延长线于，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，若菱形的面积为12，请直接写出四个面积为6的三角形．

25．XH中学为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元．

(1)求甲、乙两种奖品每件多少元？

(2)如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求XH中学最多购买甲种奖品多少件？

26．已知：如图1，为的直径，为上一点，连接、，过点作的垂线交于点，连接．

(1)求的度数；

(2)如图2，延长交于点，是弧上一点，连接、、，、分别与、交于点、，若，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，交于点．若，，求的长．

27．如图，抛物线与轴交于A、两点，与轴的负半轴交于点，直线经过点A，连接、，若，的面积为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点为轴右侧抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求S与的函数解析式；

(3)在（2）的条件下，过点作的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，连接，若，求点的坐标．

参考答案：

1．A

【分析】根据相反数的定义、数轴的定义即可得．

【详解】2的相反数是，

由数轴图可知，点N表示的数为，

则数轴上表示数的相反数的点是点N，

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数、数轴，熟练掌握数轴的定义是解题关键．

2．B

【分析】A．不是同类项，不能合并；

B.去括号合并同类项直接得答案判断即可；

C.利用完全平方公式运算即可；

D.利用同底数幂乘法进行运算即可．

【详解】解：A. 2a+3b不是同类项，不能合并，故此选项错误；

B. 2a-(a+b)=2a-a-b=a-b，故此选项正确；

C. (a+b)2=a2+2ab+b2，故此选项错误；

D.,故此选项错误

故选：B

【点睛】本题考查了整式运算，涉及合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式；熟练掌握这些知识点并能灵活运用是解题的关键．

3．D

【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．

【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，不合题意；

C、不是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，符合题意；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．

4．A

【详解】A、球的主视图、左视图与俯视图均是圆形，故本选项符合题意；

B、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；

C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意；

D、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，故本选项不符合题意．

故选A．

5．B

【分析】过C作，根据平行公理的推论得到直线，根据平行线的性质得出，由即可求出答案．

【详解】解：过C作，

∵直线，

∴直线，

∴，

∵，

∴．

故选B．

【点睛】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行计算是解此题的关键．

6．A

【分析】连接，利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出、的长．

【详解】连接，

为的切线，

，

，，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质以及的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

7．D

【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

详解：去分母得：x+3=4x，

解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解，

故选D．

点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

8．C

【分析】根据反比例函数的图像性质选出正确选项．

【详解】解：当时，随的增大而减小，所以，即．

故选：C．

【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像性质．

9．B

【分析】由，根据平行线分线段成比例，即可得出，代入即可得出答案．

【详解】解：∵，

，，，

．

故选：B．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，属于基础概念题型，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得出对应线段的比．

10．B

【分析】由于是平分线的交点，根据角平分线的性质得到OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，又EF∥BC，可得到∠1＝∠3，则EO＝EB，同理可得FO＝FC，再根据周长的所以可得到y＝x＋a，（x＞0），即它是一次函数，即可得到正确选项．

【详解】如图，∵是平分线的交点，

∴∠1＝∠2，

又∵EF∥BC，

∴∠3＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴EO＝EB，

同理可得FO＝FC，

∵x＝AE＋EO＋FO＋AF，

y＝AE＋BE＋AF＋FC＋BC，

∴y＝x＋a，（x＞0），

即y是x的一次函数，

所以B选项正确．

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）的图象和性质以及角平分线的性质和平行线的性质，正确得出函数关系式是解题关键．

11．

【分析】利用科学记数法即可求解．

【详解】解：∵，

故答案为：．

【点睛】本题考查了用科学记数法表示大于10的数，解题关键是掌握科学记数法的形式，即，n等于原数的整数位数减去1．

12．x≠﹣3

【详解】由题意得，x+3≠0，解得x≠﹣3．故答案为x≠﹣3．

13．

【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.

【详解】2-=.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．

14．b（a+3）（a﹣3）

【详解】【分析】先提取公因式b，然后利用平方差公式进行因式分解即可．

【详解】a2b﹣9b

=b（a2﹣9）

=b（a+3）（a﹣3），

故答案为b（a+3）（a﹣3）．

【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．

15．/

【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．

【详解】解：解不等式，得，

解不等式，得，

故原不等式组的解集是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，本题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

16．

【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中两个球为一黑一白球的情况，再利用概率公式求解即可．

【详解】解：如图，

∵共有30种等可能性结果，摸出两个球为一黑一白球的的有16种，

摸出两个球为一黑一白球的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题考查用树状图或列表法求概率，正确画出树状图是解题的关键．

17．(1，2)

【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标．

【详解】∵是抛物线的顶点式，

∴顶点坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．

18．30

【分析】设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．

【详解】解：设这个扇形的圆心角为，则

，

解得，，

故答案为：30．

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．

19．或

【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．

【详解】作CD⊥AB于D，

则∠ADC=∠BDC=90°,△ABC的面积=AB⋅CD=×10×CD=30，

解得：CD=6，

∴AD==8m；

分两种情况：

①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：

BD=AB−AD=2m,

∴BC==；

②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：

BD=AB+AD=18m，

∴BC==；

综上所述：BC的长为或.

故答案为或.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论等腰三角形.

20．

【分析】过点作于点，过点作于点，先证明，设，则，，再根据的面积等于10列方程，及勾股定理即可．

【详解】解：过点作于点，过点作于点，

，

，

，

在中，，，

，，

，

，，，

，

解得：

在中，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，掌握数形结合及转化思想方法是本题的关键．

21．

【分析】根据分式的化简，首先将分式化简为最简形式，再利用已知a＝2sin60°﹣3tan45°计算a的值，将其带入即可求出．

【详解】解：÷（a﹣2﹣）

＝÷（﹣）

＝÷

＝×

＝．

当a＝2sin60°﹣3tan45°＝2×﹣3×1＝﹣3时，

原式＝＝＝．

【点睛】本题主要考查分式的化简，特殊三角函数值得计算，此题较简单，但要细心计算．

22．(1)见解析

(2)图见解析，

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出对应点位置，进而得出答案；

（2）利用网格的特点和正方形的特点作出图形，利用勾股定理即可求出的长．

【详解】（1）如图所示，即为所求；

（2）如图所示，正方形即为所求，连接，

．

【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，涉及了等腰三角形的性质、勾股定理与网格问题等知识，解题的关键是通过计算初步确定边或高的大小，然后画出图形，属于中考常考题型．

23．(1)8，

(2)将条形统计图补充完整见解析

(3)10500

【分析】（1）根据学生的人数除以占的百分比，即可求出总人数，根据商人的人数除以总人数即可求出商人所占百分比；

（2）求出职工的人数，补全条形统计图即可．

（3）由职工的百分比乘以28000即可得到结果．

【详解】（1）解：总人数：（万人次），

商人占的百分比：

（2）解：职工的人数为（万人次），

补全条形统计图，如答图所示：

（3）解：∵（人次），

∴估计其中约有10500人次读者是职工．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图， 频数、频率和总量的关系，用样本估计总体等知识，正确识图是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)、、、

【分析】（1）首先由E是的中点，，证得，即可得，又由在中，，D是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形；

（2）根据平行线之间的距离处处相等、等高模型和菱形的性质即可解决问题；

【详解】（1）证明：如图，∵，

∴，

∵E是的中点，是边上的中线，

∴，

在和中，

，

∴；

∴．

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，D是的中点，

∴，

∴四边形是菱形；

（2）∵，而的边上的高即为的边上的高，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，

∵，

∴的边上的高等于的边上的高，

∵，

∴．

综上：面积为6的三角形有：、、、．

【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质和三角形的面积，掌握全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键．

25．(1)甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元

(2)最多购买甲种奖品10件

【分析】（1）设甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则根据题意：购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元，列方程组解应用题；

（2）设购买甲种奖品件，列出不等式解题即可．

【详解】（1）设甲种奖品每件元，乙种奖品每件元

，解得

答：甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．

（2）设购买甲种奖品件，

，解得

答：最多购买甲种奖品10件．

【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，找出等量关系列出方程是解题的关键．

26．(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）根据垂直的定义及圆周角定理即可解答；

（2）根据垂直平分线的定义及圆周角定理得到，弧与圆周角的关系及外角性质得到即可；

（3）根据等腰直角三角形的性质及弧与圆周角的关系得到，再根据圆的内接四边形的性质及勾股定理得到，最后利用全等三角形的判定与性质得到即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

（2）解：连接，

∵是直径，，

∴是的垂直平分线，

∴，，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

（3）解：∵是直径，等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，，

连接，

∵，

∴，

∵圆内接四边形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，，是等腰直角三角形，

∴，

设，设，

∵为直径，

∴，

在中，勾股得，

∴，

在中，勾股得，

∴，

解得，

∴，

∴，

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，弧、圆周角、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．

27．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点，再设，根据三角形的面积建立一元二次方程，解方程即可求出，最后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）根据题意得到，再设直线的解析式为，将A和P代入建立二元一次方程组，解方程组求得k和b关于t的表达式，从而得到，进一步得到，求出，根据三角形的面积公式即可得到答案；

（3）通过待定系数法求出的解析式，过点作轴于，证得等腰，等腰，求出关于t的表达式，进一步证明等腰，过点作轴于，求出关于t的表达式和点横坐标关于t的表达式，利用，得到，根据点E为两直线的交点再次求出点E的横坐标，通过横坐标建立方程，解方程即可求出t的值，即可求出点P的坐标．

【详解】（1）解：当时，，

∴，

∴，

∴，

设，

∵，

∴，

∴（舍），，

∴，

∴，，

把和代入抛物线中，

得，

∴；

（2）解：设直线的解析式为，

把和代入得，

解得，

∴，

当时，，

∴，

∴，

，

∴；

（3）解：设的解析式为，

把和代入得，

解得，

∴，

过点作轴于，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴等腰，等腰，

∴，

∴，

∵，

∴等腰，

过点作轴于，

∴，

∴，

∴点横坐标为，

∵，，

∴将直线向上平移个单位，

∴，

∵直线与交于点，

∴ ，

解得，

∴，

∴，

∴，（舍），

当时，可作图知与题意不符，

∴

【点睛】本题为二次函数和一次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出二次函数的解析式，充分利用题目中的条件，结合一元二次方程和二元一次方程组的相关知识进行求解．