2021年中考数学专题测试22 等腰三角形

这是一份2021年中考数学专题测试22 等腰三角形，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题22 等腰三角形
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2020·四川雅安市·中考真题）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（ ）

A．B．C．D．
2．（2020·广东中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）

A．1B．C．D．2
3．（2020·山东东营市·中考真题）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ）

A．B．C．D．
4．（2020·山东威海市·中考真题）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
5．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）

A．（）nB．（）n﹣1C．（）nD．（）n﹣1
6．（2020·山东烟台市·中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）

A．60°B．70°C．80°D．85°
7．（2020·四川中考真题）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A．B．C．D．
8．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（）

A．B．C．D．
9．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
10．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A．30°B．25°C．15°D．10°
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·青海中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为________cm．

12．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．

13．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．

14．（2020·山东滨州市·中考真题）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
15．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为________．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

17．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．

18．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．

19．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．

（1）求证：；
（2）求的度数．

20．（2020·吉林长春市·中考真题）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

（问题解决）（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
（规律探索）（2）由（问题解决）可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
（结论应用）（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________．







一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2020·四川雅安市·中考真题）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【详解】
解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，
当点C在EF的中点左侧时，

设AC交DE于点H，
则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，
则S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，
可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，

则EC=t，BE=a-t，ME=，
∴S=，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，

S=，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，

此时BF=2a-t，MF=，
∴，
可知图象为开口向上的二次函数；
故选：A
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
2．（2020·广东中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）

A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】
由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt△AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，
∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，
∴∠AB’E=30°，
设AE=x,则BE=B’E=2x，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故选：D．
【点睛】
本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．
3．（2020·山东东营市·中考真题）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】
由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，
点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，
点P与点B重合时，CP即 BC最长，为13，
所以，△ABC是等腰三角形，
∴AB的长=2×
故选：C
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
4．（2020·山东威海市·中考真题）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】

如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．
【详解】

解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，


∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2x，
∴x＝5，
∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2），
故选：C．
5．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（）

A．（）nB．（）n﹣1C．（）nD．（）n﹣1
【答案】B
【分析】

利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】

解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的长度为（）n﹣1，
故选：B．
【点睛】

此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
6．（2020·山东烟台市·中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）

A．60°B．70°C．80°D．85°
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．（2020·四川中考真题）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．
【详解】
∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE=a，AE=3a，
∴，
∴，
∴△ABE与△ABC的面积之比为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】
，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径

外接圆的面积为
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
9．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【答案】B
【分析】
当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】
当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0
∵，，，
∴，
解得：，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
10．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（）

A．30°B．25°C．15°D．10°
【答案】A
【分析】
连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．

【点睛】
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·青海中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为________cm．

【答案】6cm
【分析】
根据矩形的性质可得对角线相等且平分，由可得,根据所对直角边是斜边的一半即可得到结果．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在Rt△ABC中，．
故答案为6cm．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键．
12．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．


【答案】66°
【分析】
由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．
【详解】
解：∵五边形是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA=．
故答案为：66°．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
13．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．

【答案】5
【分析】
利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．（2020·山东滨州市·中考真题）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
【答案】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠A=180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．
15．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为________．

【答案】102°
【分析】
根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】
三角形ABC为等边三角形



故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】（1）的长度为；（2）的长度为18.9cm
【分析】
（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出CD的长．
（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）在中，，

答：的长度为；
（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（+x）厘米，AO=（154+x）厘米，
∵∠A=30°，
∴CO=AO，
+x=（154+x），
解得：x=154-78≈154-135.096≈18.9cm．
答：的长度为18.9cm．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键．
17．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG=.
【分析】
（1）根据正方形的判定作图可得；
（2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求；

（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG=.
【点睛】
本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．

（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【分析】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
【详解】
解：连接OD，如图：

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．
19．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．

（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)15°．
【分析】
(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；
(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角形且∠BAE=150°是解题关键．
20．（2020·吉林长春市·中考真题）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

（问题解决）（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
（规律探索）（2）由（问题解决）可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
（结论应用）（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________．
【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3）
【分析】
（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可．
（2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题．
（3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADA′=90°，
由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，
∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，
∴四边形AEA′D是矩形，
∵DA=DA′，
∴四边形AEA′D是正方形．
（2）结论：△PQF是等腰三角形．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP=∠APF，
由翻折可知，∠APF=∠FPQ，
∴∠QFP=∠FPQ，
∴QF=QP，
∴△PFQ是等腰三角形．
（3）如图③中，

∵四边形PGQF是菱形，
∴PG=GQ=FQ=PF，
∵QF=QP，
∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m，
∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，
∴∠DQD′=30°，
∵∠D′=90°，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．