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北京市三年（2020-2022）中考数学真题按题型分类汇编：05解答题中档题、提升题知识点分类
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这是一份北京市三年（2020-2022）中考数学真题按题型分类汇编：05解答题中档题、提升题知识点分类，共25页。试卷主要包含了上，设抛物线的对称轴为x＝t，上任意两点，其中x1＜x2，，N等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
2．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
3．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
二．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
6．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，csB=45，求BF和AD的长．
五．菱形的判定（共1小题）
7．（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
六．圆的综合题（共3小题）
8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
10．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝ ，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（ ）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
参考答案与试题解析
一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，
∴m=a+b+cn=9a+3b+c，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−4a2a=2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴3a2a＜−b2a＜4a2a，即32＜t＜2．
当t=32时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
2．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：
3=a+b15=9a+3b，
解得a=1b=2，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＜0，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x=32与直线x=12之间，
即12＜−b2a＜32，
∴点（2，y2）与对称轴距离12＜2﹣（−b2a）＜32，
点（﹣1，y1）与对称轴距离32＜−b2a−（﹣1）＜52，
点（4，y3）与对称轴距离52＜4﹣（−b2a）＜72
∴y2＜y1＜y3．
解法二：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
3．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴为直线x=32，
∴满足条件的值为：t≤32．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞−ba=2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤32
∴满足条件的值为：t≤32．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝8+20(23.20−t)或x＝8−20(23.20−t)，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+20(23.20−t)，
第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
解得：x＝9+25(23.24−t)或x＝9−25(23.24−t)，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+25(23.24−t)，
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），
∴20(23.20−t)＜25(23.24−t)，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．
三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF=12BC，
∴CF＝BF＝b，
∵CE＝AE＝a，
∴EF=CF2+CE2=a2+b2；
（2）AE2+BF2＝EF2．
证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
∠AED=∠BMD∠ADE=∠BDMAD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
6．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，csB=45，求BF和AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵csB=45=BFBE，BE＝5，
∴BF=45BE=45×5＝4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
五．菱形的判定（共1小题）
7．（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∵OA＝OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
六．圆的综合题（共3小题）
8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 P1P2∥P3P4 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 P3 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【解答】解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，
设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝23，
∴tan∠NMO=3，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM•sin60°=32，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，
以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52−1=32，
当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．
由题意A′H=32，AH=12+52=3，
∴AA′的最大值=(32)2+32=392，
∴32≤d2≤392．
【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，线段AB到⊙O的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），
∴P'（﹣1，1），
如图，点Q即为所求；
②∵P'（﹣1，1），N（2，2），
∴Q（5，3），
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=05k+b=3，
∴k=37b=67，
∴y=37x+67，
同理，直线OM的解析式为y＝x，
∴37x+67=x，
解得x=32，
∴T（32，32），
∴NT=(2−32)2+(2−32)2=122，
∵OM=2，
∴NT=12OM；
（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，
由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，
∴TQ＝2MN，
∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，
∴TQ＝2﹣2t，
∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，
在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，
∴PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，
∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是解题的关键．
10．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 B2C2 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为2−1≤d≤2+1，
∵AC1＝3＞d，
∴点 C1′不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC2＝1，AB2=5，
∴C2′（0，1），B2′（1，0），
∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC3＝2，AB3=5，
当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），
由图可知此时C3′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为：B2C2．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为32，
∴t=3或−3．
（3）OA的最小值为1时，此时BC的长为3，OA的最大值为2，此时BC的长为62．
理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′=AC′2−AB′2=22−12=3．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′=12，
∴AE=AO2−OE2=22−(12)2=152，
∵S△AOC′=12•AO•C′F=12•OC′•AE，
∴C′F=154，
∴OF=OC′2−C′F2=12−(154)2=14，
∴FB′＝OB′﹣OF=34，
∴B′C′=FB′2+FC′2=(34)2+(154)2=62．
综上OA的最小值为1，此时BC的长为3，OA的最大值为2，此时BC的长为62．
【点评】此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出OA最小和最大时的图形，属于中考压轴题．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝ BC ，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（ 三线合一 ）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，连接BD．
在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（三线合一），
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
故答案为：BC，三线合一．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即m＝10.1；
（2）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值至少为13，
∴p1＜p2；
（3）11.0×200＝2200（百万元），
答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．
【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5
1．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
2．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
3．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
二．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
6．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，csB=45，求BF和AD的长．
五．菱形的判定（共1小题）
7．（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
六．圆的综合题（共3小题）
8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
10．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝ ，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（ ）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
参考答案与试题解析
一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【解答】解：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，
∴m=a+b+cn=9a+3b+c，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−4a2a=2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴3a2a＜−b2a＜4a2a，即32＜t＜2．
当t=32时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
2．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：
3=a+b15=9a+3b，
解得a=1b=2，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＜0，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x=32与直线x=12之间，
即12＜−b2a＜32，
∴点（2，y2）与对称轴距离12＜2﹣（−b2a）＜32，
点（﹣1，y1）与对称轴距离32＜−b2a−（﹣1）＜52，
点（4，y3）与对称轴距离52＜4﹣（−b2a）＜72
∴y2＜y1＜y3．
解法二：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
3．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴为直线x=32，
∴满足条件的值为：t≤32．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞−ba=2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤32
∴满足条件的值为：t≤32．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．二次函数的应用（共1小题）
4．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝8+20(23.20−t)或x＝8−20(23.20−t)，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+20(23.20−t)，
第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
解得：x＝9+25(23.24−t)或x＝9−25(23.24−t)，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+25(23.24−t)，
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），
∴20(23.20−t)＜25(23.24−t)，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．
三．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF=12BC，
∴CF＝BF＝b，
∵CE＝AE＝a，
∴EF=CF2+CE2=a2+b2；
（2）AE2+BF2＝EF2．
证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
∠AED=∠BMD∠ADE=∠BDMAD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
6．（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，csB=45，求BF和AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵csB=45=BFBE，BE＝5，
∴BF=45BE=45×5＝4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
五．菱形的判定（共1小题）
7．（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∵OA＝OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
六．圆的综合题（共3小题）
8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 P1P2∥P3P4 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 P3 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【解答】解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，
设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），
过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝23，
∴tan∠NMO=3，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM•sin60°=32，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，
以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52−1=32，
当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．
由题意A′H=32，AH=12+52=3，
∴AA′的最大值=(32)2+32=392，
∴32≤d2≤392．
【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，线段AB到⊙O的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．
对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），
∴P'（﹣1，1），
如图，点Q即为所求；
②∵P'（﹣1，1），N（2，2），
∴Q（5，3），
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=05k+b=3，
∴k=37b=67，
∴y=37x+67，
同理，直线OM的解析式为y＝x，
∴37x+67=x，
解得x=32，
∴T（32，32），
∴NT=(2−32)2+(2−32)2=122，
∵OM=2，
∴NT=12OM；
（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，
由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，
∴TQ＝2MN，
∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，
∴TQ＝2﹣2t，
∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，
在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，
∴PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，
∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出QT的长是解题的关键．
10．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 B2C2 ；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为2−1≤d≤2+1，
∵AC1＝3＞d，
∴点 C1′不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC2＝1，AB2=5，
∴C2′（0，1），B2′（1，0），
∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC3＝2，AB3=5，
当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），
由图可知此时C3′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为：B2C2．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为32，
∴t=3或−3．
（3）OA的最小值为1时，此时BC的长为3，OA的最大值为2，此时BC的长为62．
理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′=AC′2−AB′2=22−12=3．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′=12，
∴AE=AO2−OE2=22−(12)2=152，
∵S△AOC′=12•AO•C′F=12•OC′•AE，
∴C′F=154，
∴OF=OC′2−C′F2=12−(154)2=14，
∴FB′＝OB′﹣OF=34，
∴B′C′=FB′2+FC′2=(34)2+(154)2=62．
综上OA的最小值为1，此时BC的长为3，OA的最大值为2，此时BC的长为62．
【点评】此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出OA最小和最大时的图形，属于中考压轴题．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝ BC ，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（ 三线合一 ）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，连接BD．
在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（三线合一），
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
故答案为：BC，三线合一．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
12．（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即m＝10.1；
（2）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值至少为13，
∴p1＜p2；
（3）11.0×200＝2200（百万元），
答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．
【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5
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