2022届北京大附属中学中考数学仿真试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（   ）

A．115° B．120° C．130° D．140°

2．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（　　）

A．85° B．105° C．125° D．160°

3．－10－4的结果是（    ）

A．－7    B．7    C．－14    D．13

4．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）

A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5

5．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°

6．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A． B． C． D．

7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于(　　)

A．112 B．136 C．124 D．84

8．计算4×（–9）的结果等于

A．32 B．–32 C．36 D．–36

9．如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是

BC、CD，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰 角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（      ）

A． B． C． D．

10．下列分式中，最简分式是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在四边形ABCD中，，AC、BD相交于点E，若，则______．

12．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为_____人．

13．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为（﹣，0），M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心 C 的坐标是_____．

14．化简的结果等于__．

15．分解因式：x2﹣4=_____．

16．已知图中Rt△ABC，∠B=90°,AB=BC,斜边AC上的一点D，满足AD=AB，将线段AC绕点A逆时针旋转α （0°<α <360°），得到线段AC’，连接DC’，当DC’//BC时，旋转角度α 的值为_________,

17．已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，将连续的奇数1，3，5，7…按如图中的方式排成一个数，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数中，四个分支上的数分别用a，b，c，d表示，如图所示．

（1）计算：若十字框的中间数为17，则a+b+c+d=______．

（2）发现：移动十字框，比较a+b+c+d与中间的数．猜想：十字框中a、b、c、d的和是中间的数的______；

（3）验证：设中间的数为x，写出a、b、c、d的和，验证猜想的正确性；

（4）应用：设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．

19．（5分）某船的载重为260吨，容积为1000m1．现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m1，乙种货物每吨体积为2m1，若要充分利用这艘船的载重与容积，求甲、乙两种货物应各装的吨数（设装运货物时无任何空隙）．

20．（8分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）

21．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？

（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．

22．（10分）学校决定从甲、乙两名同学中选拔一人参加“诵读经典”大赛，在相同的测试条件下，甲、乙两人5次测试成绩（单位：分）如下：

甲：79，86，82，85，83.

乙：88，81，85，81，80.

请回答下列问题：甲成绩的中位数是______，乙成绩的众数是______；经计算知，.请你求出甲的方差，并从平均数和方差的角度推荐参加比赛的合适人选.

23．（12分）已知如图①Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，A,C,D在同一条直线上，点M,N,F分别为AB，ED，AD的中点，∠B=∠EDC=45°，             

（1）求证MF=NF

（2）当∠B=∠EDC=30°，A,C,D在同一条直线上或不在同一条直线上，如图②，图③这两种情况时，请猜想线段MF，NF之间的数量关系．（不必证明）   

24．（14分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题：“一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数．”其大意为：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹．问官和兵各几人？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．

2、C

【解析】
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．

【详解】

根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．

3、C

【解析】

解：－10－4=－1．故选C．

4、A

【解析】
连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．设DM=B′M=x，则AM=7-x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7-x）2=25-x2，通过解方程求得x的值，易得点B′到BC的距离．

【详解】

解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M，

∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，

∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，

又由折叠的性质知AB=AB′=5，

∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：，

即，

解得x=3或x=4，

则点B′到BC的距离为2或1．

故选A．

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

5、C

【解析】

分析：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．

解答：解：∵∠APD是△APC的外角，

∴∠APD=∠C+∠A；

∵∠A=30°，∠APD=70°，

∴∠C=∠APD-∠A=40°；

∴∠B=∠C=40°；

故选C．

6、B

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.

【详解】

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．

故选B．

7、B

【解析】

试题解析：该几何体是三棱柱.

如图：

由勾股定理

全面积为：

故该几何体的全面积等于1．

故选B.

8、D

【解析】
根据有理数的乘法法则进行计算即可.

【详解】

故选：D.

【点睛】

考查有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

9、B

【解析】
延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，

∴∠DCF=30°，又CD=4，

∴DF=2，CF= =2，

由题意得∠E=30°，

∴EF= ，

∴BE=BC+CF+EF=6+4，

∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，

即电线杆的高度为（2+4）米．

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

10、A

【解析】

试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.

考点：最简分式.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
利用相似三角形的性质即可求解；

【详解】

解：∵ AB∥CD，

∴△AEB∽△CED，

∴ ，

∴ ，

故答案为 ．

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．

12、1

【解析】

试题解析：∵总人数为14÷28%=50（人），

∴该年级足球测试成绩为D等的人数为（人）．

故答案为：1．

13、（，）

【解析】
连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度数，在Rt△COD中，解直角三角形即可解决问题；

【详解】

连接AB，OC，

∵∠AOB=90°，

∴AB为⊙C的直径，

∵∠BMO=120°，

∴∠BAO=60°，

∴∠BCO=2∠BAO=120°，

过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，∠DCB=∠DCO=60°，

∵B（-，0），

∴BD=OD=

在Rt△COD中．CD=OD•tan30°=，

∴C（-，），

故答案为C（-，）．

【点睛】

本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．

14、．

【解析】
先通分变为同分母分式，然后根据分式的减法法则计算即可．

【详解】

解：原式

．

故答案为：．

【点睛】

此题考查的是分式的减法，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．

15、（x+2）（x﹣2）

【解析】【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．

【详解】x2﹣4

=x2-22

=（x+2）（x﹣2）,

故答案为：（x+2）（x﹣2）．

【点睛】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．

16、15或255°

【解析】

如下图，设直线DC′与AB相交于点E，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，DC′//BC，

∴∠AED=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACB=∠BAC=45°，AB=AC，

∴AE=AD，

又∵AD=AB，AC′=AC，

∴AE=AB=AC=AC′，

∴∠C′=30°，

∴∠EAC′=60°，

∴∠CAC′=60°-45°=15°， 即当DC′∥BC时，旋转角=15°；

同理，当DC′′∥BC时，旋转角=180°-45°-60°=255°；

综上所述，当旋转角=15°或255°时，DC′//BC.

故答案为：15°或255°.

17、或．

【解析】
联立方程可得，设，从而得出的图象在上与x轴只有一个交点，当△时，求出此时m的值；当△时，要使在之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y的值异号，从而求出m的取值范围；

【详解】

联立

可得：，

令，

抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，

即的图象在上与x轴只有一个交点，

当△时，

即△

解得：，

当时，

当时，

，满足题意，

当△时，

令，，

令，，

，

令代入

解得：，

此方程的另外一个根为：，

故也满足题意，

故的取值范围为：或

故答案为: 或.

【点睛】

此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）68  ；（2）4倍；（3）4x，猜想正确，见解析；（4）M的值不能等于1，见解析.

【解析】
（1）直接相加即得到答案；

（2）根据（1）猜想a+b+c+d=4x；

（3）用x表示a、b、c、d，相加后即等于4x；

（4）得到方程5x=1，求出的x不符合数表里数的特征，故不能等于1．

【详解】

（1）5+15+19+29=68，

故答案为68；

（2）根据（1）猜想a+b+c+d=4x，

答案为：4倍；

（3）a=x-12，b=x-2，c=x+2，d=x+12，

∴a+b+c+d=x-12+x-2+x+2+x+12=4x，

∴猜想正确；

（4）M=a+b+c+d+x=4x+x=5x，

若M=5x=1，解得：x=404，

但整个数表所有的数都为奇数，故不成立，

∴M的值不能等于1．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用．当解得方程的解后，要观察是否满足题目和实际要求再进行取舍．

19、这艘船装甲货物80吨，装乙货物180吨．

【解析】
根据题意先列二元一次方程，再解方程即可.

【详解】

解：设这艘船装甲货物x吨，装乙货物y吨，

根据题意，得．

解得．

答：这艘船装甲货物80吨，装乙货物180吨．

【点睛】

此题重点考查学生对二元一次方程的应用能力，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键.

20、隧道最短为1093米．

【解析】

【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．

【详解】如图，作BD⊥AC于D，

由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），

∠BAC=30°，∠BCA=45°，

在Rt△ABD中，

∵tan30°=，即，

∴AD=400（米），

在Rt△BCD中，

∵tan45°=，即，

∴CD=400（米），

∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），

答：隧道最短为1093米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

21、 (1) ；（2）.

【解析】
（1）直接利用概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．

22、（1）83，81；（2），推荐甲去参加比赛.

【解析】
（1）根据中位数和众数分别求解可得；

（2）先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的意义判别即可得．

【详解】

（1）甲成绩的中位数是83分，乙成绩的众数是81分，

故答案为：83分、81分；

（2），

∴.

∵，，

∴推荐甲去参加比赛.

【点睛】

此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

23、（1）见解析；（2）MF= NF.

【解析】
（1）连接AE,BD，先证明△ACE和△BCD全等，然后得到AE=BD，然后再通过三角形中位线证明即可.

（2）根据图（2）（3）进行合理猜想即可.

【详解】

解：（1）连接AE,BD

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD

∴AE=BD

又∵点M,N,F分别为AB，ED，AD的中点

∴MF=BD,NF=AE

∴MF=NF

(2) MF= NF.

方法同上.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质以及三角形中位线的知识，做出辅助线和合理猜想是解答本题的关键.

24、官有200人，兵有800人

【解析】
设官有x人，兵有y人，根据1000官兵正好分1000匹布，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设官有x人，兵有y人，

依题意，得：

，

解得： ．

答：官有200人，兵有800人．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.