2020年江苏中考数学真题分项汇编专题03 方程及其应用

专题03方程及其应用

一．选择题（共3小题）

1．（2020•无锡）若，，则的值等于　　

A．5 B．1 C． D．

2．（2020•南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

3．（2020•盐城）把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为　　

A．1 B．3 C．4 D．6

二．填空题（共12小题）

4．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　　尺．

5．（2020•南京）已知、满足方程组，则的值为　　．

6．（2020•南京）方程的解是　　．

7．（2020•泰州）方程的两根为、，则的值为　　．

8．（2020•扬州）方程的根是　　．

9．（2020•徐州）方程的解为　　．

10．（2020•常州）若关于的方程有一个根是1，则　　．

11．（2020•盐城）分式方程的解为　　．

12．（2020•淮安）方程的解为　　．

13．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为　　．

14．（2020•南通）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　．

15．（2020•镇江）一元二次方程的两根分别为　　．

三．解答题（共15小题）

16．（2020•无锡）解方程：（1）；

17．（2020•苏州）解方程：．

18．（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．

（1）当时，求的值；

（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．

19．（2020•南京）解方程：．

20．（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．

21．（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．

进货单

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．

王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．

22．（2020•扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数、满足①，②，求和的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组则　　，　　；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么　　．

23．（2020•连云港）解方程组

24．（2020•连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．

25．（2020•徐州）（1）解方程：；

26．（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：

收费标准          实际收费

求，的值．

27．（2020•常州）解方程和不等式组：（1）；

28．（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．

（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；

（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

29．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元辆，小型汽车的停车费为8元辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？

30．（2020•镇江）（1）解方程：；

参考答案

一．选择题（共3小题）

1．（2020•无锡）若，，则的值等于　　

A．5 B．1 C． D．

【解答】，，

，

整理得：，即，

则的值为．

故选：．

2．（2020•南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

【解答】关于的方程为常数），

，

△，

方程有两个不相等的实数根，

根据根与系数的关系，方程的两个根的积为，

一个正根，一个负根，

故选：．

3．（2020•盐城）把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为　　

A．1 B．3 C．4 D．6

【解答】由题意，可得，解得．故选：．

二．填空题（共12小题）

4．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　8　尺．

【解答】设绳长是尺，井深是尺，依题意有

，

解得．

故井深是8尺．

故答案为：8．

5．（2020•南京）已知、满足方程组，则的值为　1　．

【解答】，

①②得：，

则，

故答案为1．

6．（2020•南京）方程的解是　　．

【解答】方程，

去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

故答案为：．

7．（2020•泰州）方程的两根为、，则的值为　　．

【解答】方程的两根为、，

．

故答案为：．

8．（2020•扬州）方程的根是　，　．

【解答】，

，

，．

故答案为：，．

9．（2020•徐州）方程的解为　　．

【解答】去分母得：

检验：把代入，

所以是原方程的解．

故答案为：．

10．（2020•常州）若关于的方程有一个根是1，则　1　．

【解答】关于的方程有一个根是1，

把代入方程得：，

解得：，

故答案为：1．

11．（2020•盐城）分式方程的解为　1　．

【解答】分式方程，

去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

故答案为：1．

12．（2020•淮安）方程的解为　　．

【解答】方程，

去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

故答案为：．

13．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为　　．

【解答】长为步，宽比长少12步，

宽为步．

依题意，得：．

14．（2020•南通）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　2028　．

【解答】，是方程的两个实数根，

，，即，

则原式

，

故答案为：2028．

15．（2020•镇江）一元二次方程的两根分别为　，　．

【解答】，

，

或，

解得，．

三．解答题（共15小题）

16．（2020•无锡）解方程：

（1）；

（2）．

【解答】（1），，，

△，

，

，；

（2），

解①得，

解②得，

所以不等式组的解集为．

17．（2020•苏州）解方程：．

【解答】方程的两边同乘，得，

解这个一元一次方程，得，

经检验，是原方程的解．

18．（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．

（1）当时，求的值；

（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．

【解答】（1）依题意，得：，

解得：．

（2），，

，

解得：．

答：的取值范围为．

19．（2020•南京）解方程：．

【解答】原方程可以变形为

，

，．

20．（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．

【解答】设走路线的平均速度为，则走路线的平均速度为，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：走路线的平均速度为．

21．（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．

进货单

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．

王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．

【解答】设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

，，．

答：甲商品的进价为60元件，乙商品的进价为40元件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．

22．（2020•扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数、满足①，②，求和的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组则　　，　　；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么　　．

【解答】（1）．

由①②可得：，

由①②可得：．

故答案为：；5．

（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，

依题意，得：，

由①②可得，

．

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．

（3）依题意，得：，

由①②可得：，

即．

故答案为：．

23．（2020•连云港）解方程组

【解答】

把②代入①，得，

解得．

把代入②，得．

原方程组的解为．

24．（2020•连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．

【解答】（1）设甲公司有人，则乙公司有人，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：甲公司有150人，乙公司有180人．

（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，

依题意，得：，

．

又，且，均为正整数，

，，

有2种购买方案，方案1：购买8箱种防疫物资，10箱种防疫物资；方案2：购买4箱种防疫物资，15箱种防疫物资．

25．（2020•徐州）（1）解方程：；

【解答】（1），

，

或，

解得：，；

26．（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：

收费标准           实际收费

求，的值．

【解答】依题意，得：，

解得：．

答：的值为7，的值为2．

27．（2020•常州）解方程和不等式组：

（1）；

【解答】（1）方程两边都乘以得：，

解得：，

检验：把代入得：，

所以是原方程的解，

即原方程的解是：；

28．（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．

（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；

（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

【解答】（1）设每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元，

依题意，得：，

解得：．

答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．

（2）设购买千克苹果，则购买千克梨，

依题意，得：，

解得：．

答：最多购买5千克苹果．

29．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元辆，小型汽车的停车费为8元辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？

【解答】设中型汽车有辆，小型汽车有辆，

依题意，得：，

解得：．

答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．

30．（2020•镇江）（1）解方程：；

【解答】（1），

，

，

，

经检验，是原方程的解，

此方程的解是；

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