广西专用2022年高考数学一轮复习考点规范练39空间点直线平面之间的位置关系含解析新人教A版文

考点规范练39　空间点、直线、平面之间的位置关系

基础巩固

1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(　　)

A.垂直 B.相交

C.异面 D.平行

2.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A.直线AC B.直线AB

C.直线CD D.直线BC

3.(2021辽宁营口高三期末)已知空间中不过同一点的三条直线a,b,l,则“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.给出下列命题,其中假命题的个数为(　　)

①若直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行;

②若直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有直线都不垂直;

③若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;

④若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.

A.1 B.2 C.3 D.4

5.(2021山东肥城三模)如图,AB为圆锥底面直径,点C是底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=,圆锥侧面展开图是圆心角为π的扇形,当PB与BC所成角为时,PB与AC所成的角为(　　)

A. B. C. D.

6.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是(　　)

A.(0,) B.(0,)

C.(1,) D.(1,)

7.b是平面α外一条直线,下列条件可得出b∥α的是(　　)

A.b与α内一条直线不相交

B.b与α内两条直线不相交

C.b与α内无数条直线不相交

D.b与α内任意一条直线不相交

8.(2021宁夏固原一中高三月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,有以下结论:

①C1,M,O三点共线;②C1,M,O,C四点共面;③C1,O,B1,B四点共面;④D1,D,O,M四点共面.

其中正确结论的序号是　　　　. 

9.在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EF⊥AB,求异面直线EF与CD所成角的度数.

能力提升

10.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　)

A.一定平行 

B.一定相交

C.一定是异面直线 

D.一定垂直

11.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　)

A.①②④ 

B.②③

C.①② 

D.②③④

12.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=4,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成角的余弦值为　　　　　. 

13.已知m,n,l为不同直线,α,β为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是　　　　　.(填上所有真命题的序号) 

①m∥l,n∥l⇒m∥n;

②m∥α,n∥α⇒m∥n;

③m⊥α,n⊥β,α∥β⇒m∥n;

④m⊥α,α⊥β,n⊥β⇒m⊥n;

⑤m与l异面,n与l异面⇒m与n异面;

⑥m与l共面,n与l共面⇒m与n共面.

14.(2021山东招远一中月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,B1C1的中点.

(1)求证:E,F,B,D四点共面;

(2)若AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,AC1与平面EFBD交于点R,求证:P,Q,R三点共线.

高考预测

15.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.

(1)求证:EF⊥A1C1;

(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.

答案：

1.D　解析∵α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m⊄α,n⊂α,∴n在平面α内.

∵A∈m,A∈α,∴A是m和平面α相交的点,

∴m和n异面或相交,一定不平行.

2.C　解析由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β.

又因为D∈AB,所以D∈平面ABC.

所以点D在平面ABC与平面β的交线上.

又因为C∈平面ABC,C∈β,

所以点C也在平面β与平面ABC的交线上.

所以平面ABC∩平面β=CD.

3.A　解析空间中不过同一点的三条直线a,b,l,若a,b,l在同一平面,则a,b,l两两相交或a,b,l中有两条直线平行,另一直线与之相交,或三条直线两两平行.所以“a,b,l在同一平面”成立,则“a,b,l两两相交”不一定成立;而若“a,b,l两两相交”,则“a,b,l在同一平面”成立.故“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的充分不必要条件,故选A.

4.C　解析对于①,若直线a在平面α内,这时直线和平面不平行,但是平面内有直线和a是平行的,故①错误.对于②,若直线a在平面α内,这时直线和平面不垂直,但是平面内有直线和a是垂直的,故②错误.对于③,根据线面垂直的定义可知,③是正确的.对于④,a,c有可能是异面直线,故④错误.综上所述,有3个命题是错误命题,故选C.

5.C　解析设圆锥母线长为l,则l·π=2π,解得l=2.

∵PB=PC,PB与BC所成角∠PBC=,

∴BC=2,∴在Rt△ABC中,AC=2,作BD∥AC与圆O交于点D,

连接AD,四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=2,

连接PD,则∠PBD为PB与AC所成的角.

在△PBD中,PD=PB=2,BD=2,可得PD⊥PB,

∴△PBD为等腰直角三角形,∠PBD=.

6.A　解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于.

7.D　解析只有在b与α内所有直线都不相交,即b与α无公共点时,b∥α.

8.①②　解析∵O∈AC,AC⊂平面ACC1A1,∴O∈平面ACC1A1.

∵O∈BD,BD⊂平面C1BD,∴O∈平面C1BD,

∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点;

同理可得,点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点,

∴C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,

即C1,M,O三点共线,故①正确;

∵AA1∥BB1,BB1∥CC1,

∴AA1∥CC1,AA1,CC1确定一个平面,

又M∈A1C,AC⊂平面ACC1A1,

∴M∈平面ACC1A1,故②正确;

根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线,故C1,O,B1,B四点不共面,故③不正确;

根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线,故D1,D,O,M四点不共面,故④不正确.

9.解如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.

由此可得,GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2,

∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.

又EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF.

在Rt△EFG中,GF=1,GE=2,sin∠GEF=,

可得∠GEF=30°,∴EF与CD所成角的度数为30°.

10.D　解析两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.

11.A　解析当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①,

当截面过正方体的体对角线时得②,

当截面平行于正方体的一个侧面时得④,

但无论如何都不能得到截面③.

故选A.

12.　解析取DE的中点H,连接HF,GH.

由题意知,HF∥AD,且HF=AD=2,

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角或其补角.

在△GHF中,HF=2,可求得GF=GH=2,

∴cos∠GFH==.

故异面直线AD与GF所成角的余弦值为.

13.①③④　解析由平面的基本性质4知①为真命题;

平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故②为假命题;

⇒m∥n,故③为真命题;

⇒m⊥n,故④为真命题;

如图(1),长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故⑤为假命题;

如图(2),长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故⑥为假命题.

(1)

(2)

14.证明(1)连接B1D1,如图.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,B1C1的中点,

∴EF是△B1C1D1的中位线,∴EF∥B1D1.

又B1D1∥BD,∴EF∥BD,∴E,F,B,D四点共面.

(2)连接PQ.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,

∴PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线,

又AC1交平面BDEF于点R,

∴R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点.

∵两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上,

∴P,Q,R三点共线.

15.(1)证明如图所示,连接B1D1,

∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,

∴四边形A1B1C1D1为正方形.

∴A1C1⊥B1D1.

∵BB1⊥平面A1B1C1D1,

∴A1C1⊥BB1.

∵B1D1∩BB1=B1,

∴A1C1⊥平面BB1D1D.

∵EF⊂平面BB1D1D,

∴EF⊥A1C1.

(2)解取CC1的中点H,连接BH,EH.

∵EH?AB,∴四边形ABHE为平行四边形.

∴AE∥BH.

在平面BCC1B1中,过点F作FG∥BH,交CC1于点G,

则FG∥AE,连接EG,则A,E,G,F四点共面.

∵四边形BHGF为平行四边形,

∴GH=BF=,

∴C1G=CC1-CH-HG=a.

故当C1G=a时,A,E,G,F四点共面.