高考数学一轮复习考点规范练39直线平面平行的判定与性质含解析新人教A版文

考点规范练39　直线、平面平行的判定与性质

基础巩固

1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是(　　)

A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n⊂α,则m∥n

C.若m∥α,n⊥α,则m∥n D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

答案:D

解析:对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.

2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

答案:C

解析:对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.

3.设l表示直线,α,β表示平面.给出四个结论:

①若l∥α,则α内有无数条直线与l平行;

②若l∥α,则α内任意的直线与l平行;

③若α∥β,则α内任意的直线与β平行;

④若α∥β,对于α内的一条确定的直线a,在β内仅有唯一的直线与a平行.

以上四个结论中,正确结论的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:C

解析:②中α内的直线与l可异面,④中可有无数条.

4.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.

5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是(　　)

A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α

B.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线

C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α

答案:C

解析:如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;

如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.

∵n∥α,∴n与α无公共点,

∵m⊂α,∴n与m无公共点,

又m,n共面,∴m∥n,故选C.

6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不正确的是(　　)

A.MC⊥AN

B.GB∥平面AMN

C.平面CMN⊥平面AMN

D.平面DCM∥平面ABN

答案:C

解析:显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;

由题意易得GB∥MH,

又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,

所以GB∥平面AMN,所以B正确;

因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,

所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.

7.已知平面α∥β,P∉α,且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为　　　　　. 

答案:或24

解析:如图(1),∵AC∩BD=P,

∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.

∵α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,

∴AB∥CD.

∴,即,解得BD=.

图(1)

图(2)

如图(2),同理可证AB∥CD.

∴,即,解得BD=24.

综上所述,BD=或24.

8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 

答案:6

解析:过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　　　　　. 

答案:平行

解析:取PD的中点F,连接EF,AF,

在△PCD中,EF?CD.

∵AB∥CD且CD=2AB,

∴EF?AB,

∴四边形ABEF是平行四边形,

∴EB∥AF.

又EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.

10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件　　　　　　　　　　　　　　　　　时,有平面D1BQ∥平面PAO. 

答案:Q为CC1的中点

解析:如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,

所以QB∥PA.

连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.

又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,

所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.

又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.

故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.

11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.

(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;

(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.

答案:(1)证明如图①,取BC中点N,连接MN,C1N.

∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,

∴M,N,C1,A1共面.

∵BE=3EC,∴E是NC的中点.

又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.

∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,

∴DE∥平面A1MC1.

(2)解如图②,当AA1=1时,AM=1,A1M=,A1C1=.

∴三棱锥A-MA1C1的体积

AM·AA1·A1C1=.

图①

图②

12.如图,在多面体ABCDE中,平面ABE⊥平面ABCD,△ABE是等边三角形,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥BC,AB=AD=BC=2,M是EC的中点.

(1)求证:DM∥平面ABE;

(2)求三棱锥M-BDE的体积.

答案:(1)证法一取BE的中点O,连接OA,OM,

∵O,M分别为线段BE,CE的中点,

∴OM=BC.

又AD=BC,∴OM=AD,

又AD∥CB,OM∥CB,∴OM∥AD.

∴四边形OMDA为平行四边形,

∴DM∥AO,又AO⊂平面ABE,MD⊄平面ABE,

∴DM∥平面ABE.

证法二取BC的中点N,连接DN,MN(图略),

∵M,N分别为线段CE,BC的中点,∴MN∥BE,

又BE⊂平面ABE,MN⊄平面ABE,

∴MN∥平面ABE,

同理可证DN∥平面ABE,

MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABE,

又DM⊂平面DMN,∴DM∥平面ABE.

(2)解法一∵平面ABE⊥平面ABCD,AB⊥BC,BC⊂平面ABCD,

∴BC⊥平面ABE,∵OA⊂平面ABE,∴BC⊥AO,

又BE⊥AO,BC∩BE=B,

∴AO⊥平面BCE,

由(1)知DM=AO=,DM∥AO,

∴DM⊥平面BCE,

∴VM-BDE=VD-MBE=×2×2×.

解法二取AB的中点G,连接EG,

∵△ABE是等边三角形,

∴EG⊥AB,

∵平面ABE∩平面ABCD=AB,平面ABE⊥平面ABCD,且EG⊂平面ABE,

∴EG⊥平面ABCD,

即EG为四棱锥E-ABCD的高,

∵M是EC的中点,

∴M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,

∴VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC=VE-BDC,

∴VM-BDE=×2×4×.

即三棱锥M-BDE的体积为.

能力提升

13.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则(　　)

A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形

B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形

C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形

D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形

答案:B

解析:如图,由题意得,EF∥BD,且EF=BD.

HG∥BD,且HG=BD,

∴EF∥HG,且EF≠HG.

∴四边形EFGH是梯形.

又EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故B正确.

14.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且　　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. 

①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.

可以填入的条件有(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

答案:C

解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.

15.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD.

又平面PQNM∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PQNM,

∴MN∥PQ.

又MN∥AC,∴PQ∥AC.

∵AP=,

∴,

∴PQ=AC=a.

16.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为　　　　　. 

答案:

解析:取AC的中点G,连接SG,BG.

易知SG⊥AC,BG⊥AC,

故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,

所以SB∥HD.同理SB∥FE.

又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF?AC?DE,

所以四边形DEFH为平行四边形.

又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,

所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=.

17.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;

(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.

答案:(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,

知AB1∥DC1,A1D∥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,

∴平面AB1C∥平面DA1C1.

(2)解存在这样的点P满足题意.

如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,

∵B1B?CC1,∴BB1?CP,

∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.

∵A1D∥B1C,∴BP∥A1D.

又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,∴BP∥平面DA1C1.

高考预测

18.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2.

(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;

(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.

解:(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.

因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,

所以H是EF的中点,

且EF⊥AH,EF⊥CH.

从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,

又A'H∩CH=H,

所以EF⊥平面A'HC,

且EF⊂平面ABCD.

从而平面A'HC⊥平面ABCD.

过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,

则A'O⊥平面ABCD.

因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,

所以A'H=2,CH=4,

所以cos∠A'HC==.

所以HO=A'H·cos∠A'HC=,

则A'O=.

所以五棱锥A'-BCDFE的体积

V=.

(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=.

证明如下:

连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.

A'M=A'C,HO=HC,

所以OM∥A'H.

又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,

所以OM∥平面A'EF.

又BD∥EF,BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,

所以BD∥平面A'EF.

又BD∩OM=O,

所以平面MBD∥平面A'EF,

因为BM⊂平面MBD,

所以BM∥平面A'EF.