广西专用高考数学一轮复习考点规范练45直线与圆圆与圆的位置关系含解析新人教A版文

考点规范练45　直线与圆、圆与圆的位置关系

基础巩固

1.(2021安徽合肥一中模拟)“k∈[-2,]”是“直线l:y=kx与圆C:(x-2)2+y2=3相交”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2021广西南宁三中二模)已知圆(x-1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是(　　)

A.x-y-1=0 B.x+y-3=0

C.x+y+3=0 D.x=2

3.已知点A在圆C:(x+1)2+(y-1)2=1上,直线l:y=2x-2与两坐标轴交点分别为M,N两点,则△AMN面积的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

4.(2021广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　. 

5.过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为　　　　　. 

6.已知直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)2+(y-4)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则k=　　　　　. 

7.(2021浙江台州一中月考)圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0相交于A,B两点,则过A,B两点的直线方程为　　　　　　　,A,B两点间的距离为　　　　. 

8.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.

9.已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x-8相切于点P(4,0).

(1)求圆C的方程.

(2)在圆C上是否存在两个点M,N关于直线y=kx-1对称,且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在,写出直线MN的方程;若不存在,请说明理由.

能力提升

10.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为(　　)

A.-1或 B.1或-1

C.2或-2 D.1

11.直线y=x+m与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若∠MON≥,则实数m的取值范围是(　　)

A.[-2,2] 

B.[-4,4]

C.[-2,2] 

D.[0,2]

12.已知点P(x,y)是直线y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为　　　　　. 

13.(2021新高考Ⅰ改编)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),有以下结论:

①点P到直线AB的距离小于10;

②点P到直线AB的距离大于2;

③当∠PBA最小时,|PB|=3;

④当∠PBA最大时,|PB|=3.

其中所有正确的序号是　　　　. 

14.(2021全国Ⅱ)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交抛物线C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与直线l相切.

(1)求抛物线C,☉M的方程;

(2)设A1,A2,A3是抛物线C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.

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15.(2021河南郑州三模)已知圆M过点A(1,3),B(1,-1),C(-3,1),则圆M在点A处的切线方程为(　　)

A.3x+4y-15=0 B.3x-4y+9=0

C.4x+3y-13=0 D.4x-3y+5=0

答案：

1.B　解析由直线与圆相交,得圆心到直线的距离为d=,解得k∈(-),而(-)⫋[-2,],

由集合的关系可知,[-2,]是直线l与圆C相交的必要不充分条件.

2.B　解析由题意可知,当过圆心且过点P(2,1)时所得弦为直径,当与这条直径垂直时所得弦长最短,圆心为C(1,0),P(2,1),kCP==1,所以与直线PC垂直的直线斜率为k=-1,则由点斜式可得过点P(2,1)的直线方程为y-1=-(x-2),化简可得x+y-3=0.

3.D　解析如图,

圆C的圆心(-1,1)到直线y=2x-2的距离d=,

又r=1,则圆C上的点A到直线l的距离的最小值为-1.

又直线l:y=2x-2与两坐标轴的交点分别为M(1,0),N(0,-2),

则|MN|=.

因此△AMN面积的最小值为S=×(-1)=.故选D.

4.-3<a<-1或1<a<3　解析圆C方程可化为(x-a)2+y2=1,则圆心C(a,0),半径r1=1.

由圆D方程知圆心D(0,0),半径r2=2.

由圆C与圆D有且仅有两条公切线,故两圆相交,

又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.

5.-　解析因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),

所以直线P'Q的方程为y=(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d==1,

所以a=-.

6.　解析设点C(1,4)到直线l的距离为d,

则d==1.

因为d=,所以=1,解得k=.

7.y=x　　解析根据题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为C1(1,2),半径r=2,其一般方程为x2+y2-2x-4y+1=0,

联立变形可得y=x,即过A,B两点的直线方程为y=x,

点C1到y=x的距离d=,则|AB|=2×.

8.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1),

故直线l恒过定点P(1,1).

因为=1<,所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解圆的半径r=,圆心C(0,1),

圆心C到直线l的距离为d=.

由点到直线的距离公式得,解得m=±,故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为.

9.解(1)由已知,得圆心在经过点P(4,0)且与y=2x-8垂直的直线y=-x+2上,它又在线段OP的中垂线x=2上,

所以求得圆心C(2,1),半径为.

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

(2)存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件,理由如下.

假设存在两点M,N关于直线y=kx-1对称,则y=kx-1通过圆心C(2,1),求得k=1,所以设直线MN为y=-x+b,代入圆的方程得2x2-(2b+2)x+b2-2b=0,设M(x1,-x1+b),N(x2,-x2+b),又x1+x2==b+1,x1x2=,

则=2x1x2-b(x1+x2)+b2=b2-3b=0,解得b=0或b=3,这时Δ>0,符合题意,所以存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件.

10.B　解析由题意可知△ABC为等腰直角三角形,

故圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=sin,即,整理得1+a2=2,

即a2=1,解得a=-1或1,故选B.

11.C　解析如图,过点O作OH⊥MN,垂足为H,则H为MN的中点,

由∠MON≥,得∠MOH≥,可得OH≤2.

即点O到直线x-y+m=0的距离d=≤2,

解得-2≤m≤2.

因此实数m的取值范围是[-2,2].故选C.

12.2　解析根据题意画出图形,如图所示.

由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,

由圆的性质可得S四边形PACB=2S△PBC,四边形PACB的面积的最小值为2,∴S△PBC的最小值S=1=rd(d是切线长),

∴dmin=2,此时|CP|min=.

∵圆心到直线的距离就是PC的最小值,∴,

又k>0,∴k=2.

13.①③④　解析如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.

由条件得,直线AB的方程为=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=+4.又-4<2,+4<10,故①正确,②错误;

过点B分别作圆的两条切线BP3,BP4,切点分别为点P3,P4,则当点P在P3处时∠PBA最大,在P4处时∠PBA最小.

又|BP3|=|BP4|==3,

故③,④正确.

故填①③④.

14.解(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p>0,当x=1时,y2=2p,y=±.

因为OP⊥OQ,所以=1,即2p=1,

故抛物线的标准方程为y2=x.

☉M的方程为(x-2)2+y2=1.

(2)由题意可知直线A1A2,A1A3,A2A3均不平行于x轴.

设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),直线A1A2的方程为x-x1=m1(y-y1),直线A1A3的方程为x-x1=m2(y-y1),m1≠m2.

因为点A1在抛物线C上,所以x1=,所以直线A1A2的方程可化为x-m1y+m1y1-=0,直线A1A3的方程可化为x-m2y+m2y1-=0.

因为直线A1A2,A1A3与☉M相切,☉M的圆心坐标为(2,0),半径r=1,

所以=1,=1,

所以m1,m2为方程=1的根,

即m1,m2为方程m2(-1)+m(4y1-2)+-4+3=0的根.

又m1≠m2,所以-1≠0,

所以m1+m2=,m1m2=.

由消去x,得y2-m1y+m1y1-=0,

所以y1+y2=m1,即y2=m1-y1.

同理,y3=m2-y1.

设直线A2A3的方程为x=ky+b,

由得y2-ky-b=0,

所以y2+y3=k,y2y3=-b,

所以k=y2+y3=m1+m2-2y1=,-b=y2y3=(m1-y1)(m2-y1)=m1m2-y1(m1+m2)+.

所以☉M的圆心到直线A2A3的距离d==1=r,故直线A2A3与☉M相切.

15.A　解析设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由题意可得解得

所以,圆M的方程为x2+y2+x-2y-5=0,圆心为M,

直线AM的斜率为kAM=,

因此,圆M在点A处的切线方程为y-3=-(x-1),即3x+4y-15=0.