广西专用高考数学一轮复习考点规范练41空间点直线平面之间的位置关系含解析新人教A版理

考点规范练41　空间点、直线、平面之间的位置关系

基础巩固

1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(　　)

A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行

答案:D

解析:∵α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m⊄α,n⊂α,

∴n在平面α内.

∵A∈m,A∈α,∴A是m和平面α相交的点,

∴m和n异面或相交,一定不平行.

2.在空间中,四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)

A.l1⊥l4  B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定

答案:D

解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.

3.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A.直线AC 

B.直线AB

C.直线CD 

D.直线BC

答案:C

解析:由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β.

又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,

所以点D在平面ABC与平面β的交线上.

又因为C∈平面ABC,C∈β,

所以点C也在平面β与平面ABC的交线上.

所以平面ABC∩平面β=CD.

4.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1不共面

C.A,M,C,O不共面

D.B,B1,O,M共面

答案:A

解析:连接A1C1,AC,图略,则A1C1∥AC,

所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.

因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1,

所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.

同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.

5.给出下列命题,其中错误命题的个数为(　　)

①若直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行;

②若直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有直线都不垂直;

③若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;

④若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:对于①,若直线a在平面α内,这时直线和平面不平行,但是平面内有直线和a是平行的,故①错误.对于②,若直线a在平面α内,这时直线和平面不垂直,但是平面内有直线和a是垂直的,故②错误.对于③,根据线面垂直的定义可知,③是正确的.对于④,a,c有可能是异面直线,故④错误.综上所述,有3个命题是错误命题,故选C.

6.(2020江苏连云港期末)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BB1,P为B1C1的中点,则异面直线AC与BP所成的角为(　　)

A.90° B.60°

C.45° D.30°

答案:B

解析:取A1B1的中点Q,连接PQ,BQ,A1C1,∵P为B1C1的中点,

∴PQ∥A1C1∥AC,

∴∠BPQ即为异面直线AC与BP所成的角或其补角.

∵△BPQ是等边三角形,∴∠BPQ=60°,

即异面直线AC与BP所成的角为60°.故选B.

7.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是(　　)

A.(0,) B.(0,) C.(1,) D.(1,)

答案:A

解析:此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于

8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等,则满足条件的平面α的个数是(　　)

A.1 B.4 C.6 D.8

答案:B

解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1,AD,AB平行的直线各有3条,AA1=AD=AB,A-A1BD是正三棱锥,AA1,AD,AB与平面A1BD所成的角都相等,过顶点A作平面α∥平面A1BD,则直线AA1,AD,AB与平面α所成的角都相等,则满足条件的平面有4个,故选B.

9.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:

①若a∥b,b∥c,则a∥c;

②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;

③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;

④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b;

⑤若a⊥b,b∥c,则a⊥c;

⑥若a∥b∥c,则a,b,c共面.

其中真命题的序号是　　　　　. 

答案:①④⑤

解析:①由平行线的传递性(公理4)知①正确;

②举反例:在同一平面α内,a⊥b,b⊥c,有a∥c;

③举反例:如图的长方体中,a∥γ,b∥γ,但a与b相交;

④垂直于同一平面的两直线互相平行,知④正确;

⑤显然正确;

⑥由三棱柱的三条侧棱知⑥错.

10.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=4,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,求AD与GF所成角的余弦值.

解:取DE的中点H,连接HF,GH.

由题意知,HF∥AD,且HF=AD=2,

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角或其补角.

在△GHF中,HF=2,可求得GF=GH=2,

∴cos∠GFH==

故异面直线AD与GF所成角的余弦值为

能力提升

11.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　)

A.一定平行  B.一定相交

C.一定是异面直线 D.一定垂直

答案:D

解析:若两条平行线中的一条与第三条直线垂直,则另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.

12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为(　　)

A 

B 

C 

D.2

答案:C

解析:如图,可知最长的棱为长方体的体对角线AC=2,最短的棱为BD=1,∠ACE为异面直线AC与BD所成的角,由三视图中的线段长度可得,AB=,BD=CE=1,CD=,AE=,tan∠ACE=

13.已知m,n,l为不同直线,α,β为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是　　　　　.(填上所有真命题的序号) 

①m∥l,n∥l⇒m∥n;②m∥α,n∥α⇒m∥n;

③m⊥α,n⊥β,α∥β⇒m∥n;

④m⊥α,α⊥β,n⊥β⇒m⊥n;

⑤m与l异面,n与l异面⇒m与n异面;

⑥m与l共面,n与l共面⇒m与n共面.

答案:①③④

解析:由平行线的传递性知①正确;

平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故②错误;

m∥n,故③为真命题;

m⊥n,故④为真命题;

如图(1),长方体中,m与l异面,n1,n2,n3都与l异面,但n2与m相交,n1与m异面,n3与m平行,故⑤为假命题;

如图(2),长方体中,m与l共面,n与l共面,但m与n异面,故⑥为假命题.

(1)

(2)

14.在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:

(1)BC与AD是异面直线.

(2)EG与FH相交.

答案:证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α.

所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.

(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG.

同理EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.

又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与FH相交.

高考预测

15.(2020凉山州模拟)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　)

A.①②④ B.②③ C.①② D.②③④

答案:A

解析:当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①,

当截面过正方体的体对角线时得②,

当截面平行于正方体的一个侧面时得④,

但无论如何都不能得到截面③.

故选A.