2022版高考数学二轮复习 课时作业16

课时作业(十六)

一、选择题

1．(2021·全国高三模拟)某工厂有A，B两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周A，B两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为(　A　)

A．0.95　 B．0.6　

C．0.35　　 D．0.15

【解析】　由题可得至多有一套生产线需要维护的概率P＝0.2×0.75＋0.8×0.25＋0.75×0.8＝0.95.故选A．

2．(2021·全国高三模拟)对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了．二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上．如图是一个边长为2的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷200个点，其中落入黑色部分的有125个点，据此可估计黑色部分的面积为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　据题设分析知，所求面积S＝2×2×＝.故选B.

3．(2021·江苏苏州市高三三模)设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则P(ξ<3)的值为(　D　)

(参考数据：P(u-σ<ξ<u＋σ)＝0.652 6，P(u-2σ<ξ<u＋2σ)＝0.954 4)

A．0.173 7 B．0.347 4

C．0.683 7 D．0.826 3

【解析】　因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以μ＝1，σ2＝4，即σ＝2，

所以P(ξ<3)＝＋P(u-σ<ξ<u＋σ)＝＋×0.652 6＝0.826 3，故选D.

4．(2021·四川高三三模)在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是(　D　)

A． B．　

C． D．

【解析】　设A事件为第一次抽到理科试题，B事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.故选D.

5．(2020·四川省成都市期末)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组，有实数解的概率为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　因为方程组有解，故直线ax＋by-8＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，

所以≤2即a2＋b2≥16，

当a＝1时，b＝4，5，6，有3种情形；

当a＝2时，b＝4，5，6，有3种情形；

当a＝3时，b＝3，4，5，6，有4种情形；

当a＝4，5，6时，b＝1，2，3，4，5，6，有18种情形；

故方程有解有28种情形，而(a，b)共有36种不同的情形，故所求的概率为＝.故选B.

6．(2021·浙江高三二模)设0<p<，随机变量ξ的分布列是

则当p在内增大时(　D　)

A．D(ξ)增大 B．D(ξ)减小

C．D(ξ)先减小后增 D．D(ξ)先增大后减小

【解析】　E(ξ)＝-1×p＋0×＋1×＝-2p，

D(ξ)＝×p＋×＋×

＝-4p2＋p＋＝-4＋，

对称轴为p＝，

∵当p在内增大时，∴D(ξ)先增大后减小，故选D.

7．(2021·陕西高三模拟)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比应为3∶2.若在该“牟合方盖”内任取一点，此点取自正方体内切球内的概率为(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　设正方体的棱长为a，

正方体体积为a3，“牟合方盖”的体积为a3，

而内切球的体积为π＝，

所以在该“牟合方盖”内任取一点，

由内切球在“牟合方盖”内部，

此点取自正方体内切球内的概率为＝，故选B.

8．(2021·浙江高三二模)已知正整数n≥4，p∈(0，1)，随机变量X的分布列是

则当n在[4，100]内增大时(　A　)

A．E(X)<1

B．E(X)＝1

C．E(X)>1

D．E(X)与1没有确定的大小关系

【解析】　由条件可知p＋p2＋p3＋…＋pn＝＝1，

E(X)＝p＋p3＋p5＋…＋p2n-1＝＝＝，

∵p∈(0，1)，n∈[4，100]，∴<1，即E(X)<1.故选A．

二、填空题

9．(2021·上海黄浦区)已知随机事件A和B相互独立，若P(AB)＝0.36，P(A)＝0.6(A表示事件A的对立事件)，则P(B)＝__0.9__.

【解析】　由对立事件的概率公式可得P(A)＝1-P(A)＝0.6，

由独立事件的概率乘法公式可得P(AB)＝P(A)P(B)，

因此，P(B)＝＝0.9.

10．(2021·江西省遂川中学高三月考)如图所示的圆盘的三条直径把图分成六部分，往圆盘内任投一飞镖(大小忽略不计)，则飞镖落到阴影部分内的概率为____.

【解析】　由题意，阴影部分为3个扇形，其面积正好占整个的一半，所以所求概率为.

11．(2021·河北秦皇岛市高三二模)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝__0.5__.

【解析】　因为ξ～N(105，σ2)，且P(ξ<120)＝0.75，

所以P(105≤ξ<120)＝0.25，所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，

所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.

12．(2021·四川达州市高三二模)若ξ为离散型随机变量，且ξ～B，则其方差D(ξ)＝____.

【解析】　由题意，随机变量ξ为离散型随机变量，且ξ～B，

根据二项分布的方差的计算公式，可得D(ξ)＝5×＝.

三、解答题

13．(2021·湖南高三月考)5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x＋y.

(1)求P(ξ＝4)；

(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．

【解析】　(1)从盒中摸出球的基本事件总数为C＝10，

ξ＝4的事件数有CC＋C＝3，

故P(ξ＝4)＝.

(2)ξ的可能取值为2，3，4，5，

所以P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝，

P(ξ＝5)＝＝，

所以ξ的分布列为：

数学期望为E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝3.6.

14．(2021·九龙坡区重庆市育才中学高三二模)有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个黑球)轮流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏．

(1)求先摸球者获胜的概率；

(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球．每次游戏获胜得1分，失败得0分．记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望E(X)．

【解析】　(1)先摸球者获胜，则游戏进行3轮或5轮

3轮：白黑黑：××＝，

黑白黑：××＝，

5轮：最后一球为黑球：＝，所以先摸球者获胜的概率为＋＋＝.

(2)X的所有可能取值为：0、1、2、3，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝2)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝，

分布列为：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

15．(2021·山西高三三模)2021年是中国共产党百年华诞．中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育．这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事，开新局．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；

(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝192.44.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？

参考数据：≈13.9，P(μ-σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ-2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ-3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4.

【解析】　(1)100人中得分不低于80分的人数为(0.014＋0.006)×10×100＝20，

随机变量ξ可能的取值为0，1，2.

又P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

则ξ的分布列为：

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.

(2)μ＝35×0.04＋45×0.06＋55×0.11＋65×0.36＋75×0.23＋85×0.14＋95×0.06＝68.4.

σ＝＝13.9，

P(X≥82.3)＝P(X≥μ＋σ)＝＝0.158 65，

每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.158 65，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量η，则η～B(500，p)，其中p＝0.586 5，

所以恰好有k个参赛者的分数不低于82.3的概率为P(η＝k)＝Cpk(1-p)500-k，k＝0，1，2，…，500.

由＝＝>1，

得k<501p＝79.483 7.

所以当1≤k≤79时，P(η＝k)>P(η＝k-1)，

当80≤k≤500时，P(η＝k)<P(η＝k-1)．

由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.