2021-2022学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5}，则A∩（∁UB）＝（　　）
A．{2} B．{4} C．{2，4} D．{2，4，5}
2．（5分）若（a+bi）•i＝1+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
3．（5分）甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．（5分）在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
观看人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
m%
12%
6%
2%
从表中可以得出正确的结论为（　　）
A．表中m的数值为8
B．估计观看比赛场数的中位数为3
C．估计观看比赛场数的众数为2
D．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人
5．（5分）已知xlog34＝1，则4x的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．
6．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．ω＝2
B．
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称
7．（5分）已知平面向量满足，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
8．（5分）已知函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则下列选项正确的是（　　）
A．f（x1）＞0，f（x2）＞0 B．f（x1）＞0，f（x2）＜0
C．f（x1）＜0，f（x2）＞0 D．f（x1）＜0，f（x2）＜0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．每项系数之和为1 B．二项式系数之和为729
C．含有常数项﹣160 D．含有x的一次幂项
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝ex+x﹣2，若存在实数a，b（a＜b），有f（a）f（b）＜0，则下列选项一定正确的是（　　）
A．a＜0
B．b＞0
C．f（x）在（a，b）内有两个零点
D．若，则f（x）在区间内有零点
（多选）11．（5分）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球．以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以B1，B2分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A1与事件A2互斥
B．事件B1与事件A2相互独立
C．
D．
（多选）12．（5分）已知实数x，y＞0，且x+y2＝1，则下列选项正确的是（　　）
A．x+y＞1 B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知幂函数为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝　 　．
14．（5分）已知，则＝　 　．
15．（5分）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 　 　．
16．（5分）如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边CA，AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CFD分别沿DE，EF，FD向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体ABC﹣DEF．则二面角C﹣AB﹣E的余弦值为 　 　；几何体ABC﹣DEF的外接球表面积为 　 　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如表所示：
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/万件
90
84
83
m
75
68
（Ⅰ）求单价x的平均值；
（Ⅱ）根据以上数据计算得y与x具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得y关于x的经验回归方程为，求m的值．
附：．
18．（12分）在①acosC+ccosA＝2bcosB；②．这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，____．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求角A的取值范围．
19．（12分）为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下：
性别/睡眠时间
足8小时
不足8小时足7小时
不足7小时
男生
3
5
1
女生
1
7
3
（Ⅰ）记“足8小时”为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关；
睡眠情况
性别
合计
男生
女生
睡眠充足



睡眠不充足



合计



（Ⅱ）现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数，求X的分布列和均值．
附：．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）若AB＝BC＝1，直线AC与平面SBC所成角的大小为，求SA的长．

21．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≥﹣1；
（Ⅱ）若∀x∈（0，1），f（x）＜0，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）求证：f（x）≤（2﹣a）x2﹣3x；
（Ⅱ）若x0为函数f（x）的极值点，
①求实数a的取值范围；
②求证：．

2021-2022学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5}，则A∩（∁UB）＝（　　）
A．{2} B．{4} C．{2，4} D．{2，4，5}
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5}，
∴∁UB＝{2，4，6}，
则A∩（∁UB）＝{2，4}．
故选：C．
2．（5分）若（a+bi）•i＝1+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【解答】解：（a+bi）•i＝﹣b+ai＝1+i，
则，解得a＝1，b＝﹣1，
故a+b＝1﹣1＝0．
故选：B．
3．（5分）甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【解答】解：先在四位大学生选2人到A场馆进行志愿服务，剩下的两人到B场馆进行志愿服务即可，
则不同的安排方法种数为，
故选：A．
4．（5分）在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
观看人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
m%
12%
6%
2%
从表中可以得出正确的结论为（　　）
A．表中m的数值为8
B．估计观看比赛场数的中位数为3
C．估计观看比赛场数的众数为2
D．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人
【解答】解：对A，由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣12﹣6﹣2＝16，故A错误；
对B，因为8%+10%+20%＝38%＜50%，8%+10%+20%+26%＝64%＞50%，故中位数为3，故B正确；
对C，因为观看场数为3占的比例最高，故观看比赛场数的众数为3；
对D，观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，
∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故D错误．
故选：B．
5．（5分）已知xlog34＝1，则4x的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【解答】解：由题意得x＝log43，
所以4x＝3．
故选：A．
6．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．ω＝2
B．
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称
【解答】解：根据函数的部分图象，可得A＝1，＝﹣，∴ω＝2，故A正确；
再结合五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+），故B正确；
令x＝，求得f（x）＝sin＝1，为最大值，故f（x）的图象关于直线对称，故C正确；
把f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin（2x﹣）的图，故所得图象不关于原点对称，故D错误，
故选：D．
7．（5分）已知平面向量满足，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：不妨设，
∴，则，∴，
∵（x+m）2≥0，∴，则的最小值为3．
故选：D．
8．（5分）已知函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则下列选项正确的是（　　）
A．f（x1）＞0，f（x2）＞0 B．f（x1）＞0，f（x2）＜0
C．f（x1）＜0，f（x2）＞0 D．f（x1）＜0，f（x2）＜0
【解答】解：，则x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根，
∴，
又x1x2＝1，x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，
∴＝，同理，
令，则，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，
∴当0＜x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）＞0，
∴f（x1）＜0，f（x2）＞0．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．每项系数之和为1 B．二项式系数之和为729
C．含有常数项﹣160 D．含有x的一次幂项
【解答】解：令x＝1，则各项系数和为（1﹣2）6＝1，故A正确，
展开式的二项式系数和为26＝64，故B错误，
展开式的常数项为C＝﹣160，故C正确，
展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1，...，6，
令6﹣2r＝1，解得r＝∉Z，故展开式不含有一次幂项，故D错误，
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝ex+x﹣2，若存在实数a，b（a＜b），有f（a）f（b）＜0，则下列选项一定正确的是（　　）
A．a＜0
B．b＞0
C．f（x）在（a，b）内有两个零点
D．若，则f（x）在区间内有零点
【解答】解：易知f（x）＝ex+x+2在R上单调递增，
则由a，b满足a＜b，且f（a）f（b）＜0，得f（a）＜0，f（b）＞0，
又f（0）＝﹣1＜0，故b＞0必成立，a＞0有可能成立，且f（x）在（a，b）上有且只有一个零点，故AC错误，B正确；
对于D，因为，f（b）＞0，故f（x）在区间内有唯一零点，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球．以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以B1，B2分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A1与事件A2互斥
B．事件B1与事件A2相互独立
C．
D．
【解答】解：对于A，∵每次取出1球，∴事件A1与事件A2是互斥事件且是对立事件，故A正确；
对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为1个，
则取出白球概率发生变化，∴事件B1与事件A2不相互独立，故B错误；
对于C，若从甲箱取出1个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为5个，白球还是2个，
则P（B1|A2），故C错误；
对于D：因为P（A1）＝P（A2）＝，P（B2|A1）＝，P（B2|A2）＝，
所以P（B2）＝P（B2A1）+P（B2A2）＝P（B2|A1）•P（A1）+P（B2|A2）•P（A2）＝＝，故D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）已知实数x，y＞0，且x+y2＝1，则下列选项正确的是（　　）
A．x+y＞1 B． C． D．
【解答】解：对于A，因为x+y2＝1，所以x＝1﹣y2，y2＝1﹣x，
又x＞0，y＞0，所以x＝1﹣y2＜1，y2＝1﹣x＜1，即0＜x＜1，0＜y＜1，
所以x+y﹣1＝x+y﹣（x+y2 ）＝y（1﹣y）＞0，所以x+y＞1，故A正确；
对于B，因为x+y2＝1，x＞0，y＞0，所以1＝x+y2≥2，所以，
当且仅当x＝y2，即x＝，y＝时取等号，故B正确；
对于C，（+y）2＝x+y2+2y＝1+2y≤2，
所以0＜+y≤，当且仅当x＝，y＝时取等号，故C错误；
对于D，因为x+y2＝1，x＞0，y＞0，所以x＝1﹣y2，
所以xy＝（1﹣y2 ）y＝﹣y3+y，令f（y）＝﹣y3+y，0＜y＜1，
f'（y）＝﹣3y2+1＝﹣3（y﹣）（y+），
当0＜y＜时，f'（y）＞0，f（y）单调递增；
当＜y＜1时，f'（y）＜0，f（y）单调递减．
故f（y）max＝f（）＝，即xy，
所以，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知幂函数为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝　﹣1　．
【解答】解：∵幂函数 为奇函数，故α为奇数，再根据在（0，+∞）上单调递减，则α＜0，
综上可得，α＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（5分）已知，则＝　　．
【解答】解：因为，
所以＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（）2＝．
故答案为：．
15．（5分）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，4]　．
【解答】解：当﹣1＜x＜0时，f（x）＝lg（x+1）＜0，
因为f（x）的值域为R且x＞0时，f（x）＝x+﹣4，
当a≤0时，函数在x＞0上单调递增，f（x）的值域为R，显然符合题意，‘
当a＞0时，f（x）﹣4，当且仅当x＝2时取等号，
由题意得2﹣4≤0，
故0＜a≤4，
综上a的取值范围为（﹣∞，4]．
故答案为：（﹣∞，4]．
16．（5分）如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边CA，AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CFD分别沿DE，EF，FD向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体ABC﹣DEF．则二面角C﹣AB﹣E的余弦值为 　　；几何体ABC﹣DEF的外接球表面积为 　　．

【解答】解：取DE的中点P，EF的中点Q，故AP⊥DE，BQ⊥EF，
根据面面垂直的性质可得AP⊥平面DEF，BQ⊥平面DEF，故AP∥BQ，且AP＝BQ，故矩形APQB，
所以，根据图形的对称性，易得△ABC为正三角形，
取AB中点G，因为EA＝EB，CA＝CB，则CG⊥AB，EG⊥AB，
则二面角C﹣AB﹣E为∠CGE，且，
作GO⊥PQ，易得，且∠CGE＝∠CGO+∠OGE，，
故，
即二面角C﹣AB﹣E的余弦值为；

（2）设几何体ABC﹣DEF的外接球球心为O，设△ABC中心为P，△DEF中心为Q，易得P，O，Q共线，如图，

设外接球半径OC＝OD＝R，根据正三角形中的关系，，
因为，则，
即，即，
故，解得，
故外接球表面积为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如表所示：
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/万件
90
84
83
m
75
68
（Ⅰ）求单价x的平均值；
（Ⅱ）根据以上数据计算得y与x具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得y关于x的经验回归方程为，求m的值．
附：．
【解答】解：（Ⅰ）由表中数据可得，＝8.5．
（II）∵由最小二乘估计求得y关于x的经验回归方程为，
∴，
∴，解得m＝80．
18．（12分）在①acosC+ccosA＝2bcosB；②．这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，____．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，求角A的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）选①：因为acosC+ccosA＝2bcosB，
所以sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosB，
所以sinB＝2sinBcosB
所以．
选②：因为
所以，
即，
所以，
所以．
（Ⅱ）
所以，
又因为，所以，
所以．所以A的取值范围[，]．
19．（12分）为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下：
性别/睡眠时间
足8小时
不足8小时足7小时
不足7小时
男生
3
5
1
女生
1
7
3
（Ⅰ）记“足8小时”为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关；
睡眠情况
性别
合计
男生
女生
睡眠充足



睡眠不充足



合计



（Ⅱ）现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数，求X的分布列和均值．
附：．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解答】解：（Ⅰ）由题意，填表如如下：
睡眠情况
性别
合计
男生
女生
睡眠充足
3
1
4
睡眠不充足
6
10
16
合计
9
11
20
由表得≈1.818＜2.706．
∴没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关
（Ⅱ）由题意，X可取0，1，2，3，且X服从超几何分布，
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
即
X
0
1
2
3
P




E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）证明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）若AB＝BC＝1，直线AC与平面SBC所成角的大小为，求SA的长．

【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，
因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB，
所以平面SBC⊥平面SAB．
（Ⅱ）过点A作AH⊥SB，垂足为H，连结HC．
由（Ⅰ）得平面SBC⊥平面SAB，
又AH⊥SB，平面SBC∩平面SAB＝SB，
所以AH⊥平面SBC，
所以∠ACH就是直线AC与平面SBC所成角，
即∠ACH＝30°．
在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，故．
在Rt△AHC中，．
在Rt△SAB中，因为AH⊥SB，所以SA＝1．

21．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≥﹣1；
（Ⅱ）若∀x∈（0，1），f（x）＜0，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥﹣1，则x|x﹣1|≥0，
当x≥1时，x（x﹣1）≥0，解得x≥1，
当x＜1时，x（1﹣x）≥0，解得0≤x＜1，
综上所述，不等式的解集为[0，+∞）．
（Ⅱ）当x∈（0，1）时，
∵f（x）＜0，
∴x|x﹣a|＜a，即，
∴a＞0，
∴，整理，对任意的x∈（0，1）恒成立，
∵x∈（0，1），则＝，
∴不等式对任意的x∈（0，1）恒成立，
只需考虑不等式对任意的x∈（0，1）恒成立，
当x∈（0，1）时，，
令，
∵函数在（1，2）上单调递增，
∴当t∈（1，2）时，g（1）＜g（t）＜g（2），即0＜g（t）＜，
∴，则，
故实数a的取值范围为[，+∞）．
22．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）求证：f（x）≤（2﹣a）x2﹣3x；
（Ⅱ）若x0为函数f（x）的极值点，
①求实数a的取值范围；
②求证：．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由于f（x）＝2xlnx﹣ax2﹣x，故f（x）≤（2﹣a）x2﹣3x可转化为2xlnx≤2x2﹣2x，
又x＞0，则lnx≤x﹣1，
设g（x）＝x﹣1﹣lnx，
∵，
∴g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝0，即lnx≤x﹣1成立，即得证．
（Ⅱ）①设h（x）＝f'（x）＝2lnx﹣2ax+1，则．
当a≤0时，h'（x）≥0，h（x）＝2lnx﹣2ax﹣1在（0，+∞）上单调递增．
又因为h（2）＝f'（2）＝2ln2﹣4a﹣1＞0，且x＞0，x→0时，h（x）→﹣∞，
所以h'（x）＝0有唯一实根，经检验，满足存在极值点的条件；
当a＞0时，令，解得，
又因为x＞0，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→﹣∞，
所以要使函数f（x）存在极值点，只需，即，解得．
综上所述，当a∈时，函数f（x）存在极值点；
②证明：由①得2lnx0﹣2ax0+1＝0，
所以要证，只需证，
由lnx≤x﹣1，得ex﹣1≥x，ex≥x+1，
（i）当0＜x0＜1时，因为，
∴．
（ii）当x0≥1时，因为lnx≤x﹣1，x0lnx0≤x0（x0﹣1），
要证，
只需证，
即证，
即证对x0≥1成立．
令，
因为，
所以，
即x0≥1时，成立．
综上，即得证．
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