统考版高考物理复习热点专项练二相互作用第14练平衡中的临界极值问题含答案

第14练　平衡中的临界极值问题

思维方法

1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题，求某一边的最小值．

2．多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解．

选择题

1．如图所示，三根不可伸长的轻绳一端共同系于O点，A端和B端分别固定在墙壁和地面上，某同学用水平方向的力拉绳OC，三绳绷紧后，OB绳竖直，OC绳水平，OA绳与竖直墙面夹角θ＝30°.三根绳能承受的最大拉力均为300 N，为保证三根轻绳都不被拉断，则人对OC绳的水平拉力最大不能超过(　　)

A．100 N　　　　　　　B．150 N

C．150 N          D．300 N

2．[2022·上饶一模]如图所示，一根轻弹簧穿在固定直杆AB上，轻弹簧的上端固定在A点，一个小球套在杆上并与弹簧的下端连接，直杆与竖直线的夹角θ＝53°，小球与杆之间的动摩擦因数为0.9，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当小球在杆上静止时，弹簧的变化量始终处于弹性限度内，弹簧的最大压缩量与最大伸长量的比值为(　　)

A．1∶4    B．1∶6

C．1∶9    D．1∶11

3．如图所示，小球质量2m，用细线相连并悬挂于O点，现用一轻质弹簧给小球施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量不可能是(　　)

A．    B．

C．    D．

4．如图所示，一根直杆固定在水平地面上，与水平地面成θ＝37°的倾角，杆上套着一个质量为m的圆环A，跨过定滑轮的细绳一端系在圆环A上，另一端系一物块B.细绳对圆环A的拉力方向水平向左．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆环A与直杆间动摩擦因数为μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，圆环可视为质点，要保证A不向上滑动，所悬挂的物块B质量不能超过(　　)

A．m    B．m

C．m    D．2m

5．(多选)如图所示，一质量为m的小球用线悬挂于O点，开始时悬线竖直．现对小球施加一与水平方向夹角为37°的力F将小球缓慢拉离竖直位置，直至悬线水平．拉动过程中，悬线始终处于伸直状态，已知重力加速度为g, (sin 37°＝0.6).则在此过程中，下列说法正确的是(　　)

A．拉力F的最大值为mg

B．拉力F的最小值为mg

C．悬线上拉力的最小值为mg

D．悬线上拉力的最大值为mg

6．如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m、半径为r的均匀半球体物块A，现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5，则A球球心距墙角的最远距离是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)

A．    B．2r

C．    D．

7．如图所示，质量为m(可视为质点)的小球P，用两根轻绳OP和O′P与小球拴接后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.3 m，现在小球上施加一方向与水平方向成θ＝37°的拉力F，将小球缓慢拉起，绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为T1，绳OP刚松弛时，O′P绳拉力为T2，则为(sin  37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)

A．3∶4    B．4∶3

C．3∶5    D．4∶5

第14练　平衡中的临界极值问题

1．答案：B

2．答案：D

解析：当弹簧被压缩，压缩量最大时小球有向下运动的趋势，摩擦力的方向向上，则：

kx1＋mg sin 37°＝μ·mg cos 37°

当弹簧被拉长，拉长量最大时小球有向上运动的趋势，摩擦力的方向向下，则

kx2＝mg sin 37°＋μ·mg cos 37°

代入数据，联立得：＝，故A、B、C错误，D正确．

3．答案：B

解析：对小球进行受力分析，利用图解法可判断：当弹簧上的拉力F与细线上的拉力垂直时，拉力F最小，为Fmin＝2mg sin θ＝mg，再根据胡克定律得：最小形变量Δx＝，则形变量小于是不可能的，由图可知条件允许的情况下，拉力可以一直增大，所以应该选B.

4．答案：D

解析：对圆环A受力分析，直杆固定在水平地面上，则可知此杆为“定杆”，则杆对圆环的弹力FN方向垂直于杆向上，对圆环受力分析，如图所示．对物体B，由平衡条件可得T＝mBg，当圆环刚要向上滑动时，根据平衡条件与正交分解可得沿杆的方向有T cos θ＝mg sin θ＋fm，垂直于杆的方向有FN＝T sin θ＋mg cos θ，其中fm＝μFN，联立解得mB＝2m，故悬挂的物块B质量不能超过2m，选项D正确．

5．答案：ACD

解析：在拉动过程中对小球受力分析，将三力平移构成矢量三角形，如图所示．当悬线水平时，拉力F取最大值，由共点力的平衡条件可得Fmax＝＝mg，A正确．当悬线竖直时，拉力F取最小值且为零，B错误．当悬线与拉力F垂直时，悬线上拉力取最小值，由共点力的平衡条件可得Tmin＝mg sin 53°＝mg，C正确．当悬线水平时，悬线上拉力取最大值，由共点力的平衡条件可得Tmax＝mg tan 53°＝mg，D正确．

6．答案：C

解析：由题意知，B的质量为2m，对A、B整体，地面对A的支持力为：FN＝3mg，当地面对A的摩擦力达到最大静摩擦力时，A球球心距墙角的距离最远，分别对A、B受力分析，如图所示；根据平衡条件得：

FNAB＝、FNBAcos θ＝μFN，

又FNAB＝FNBA，解得tan θ＝，

则A球球心距墙角的最远距离为x＝2r cos θ＋r＝r，故C正确，A、B、D错误．

7．答案：C

解析：O′P绳刚拉直时，OP绳拉力为T1，此时O′P绳拉力为零，小球受力如图甲所示．

根据几何关系可得sin α＝＝，可得α＝53°，则α＋θ＝90°；根据共点力的平衡条件可得FT1＝mg sin α；OP绳刚松弛时，O′P绳的拉力为FT2，此时OP绳拉力为零，小球受力如图乙所示，根据共点力的平衡条件可得FT2＝mg tan α，由此可得＝＝，故选C.