北师大版初中数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

北师大版初中数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：100分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 用配方法解方程时，应将其变形为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 对于任意实数，关于的方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定

6. 下列解方程变形正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则或

7. 一袋中装有形状、大小都相同的五个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是、、、、现从袋中任意摸出一个小球，则摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知的小数部分是方程的一个根，则该方程另一根的整数部分是．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若满足不等式组，则关于的方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根 D. 不能确定

10. 欧几里德在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接、，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是(    )

A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段

11. 某蔬菜种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量比年增加吨。若蔬菜产量的年平均增长率为，则下面所列的方程正确的是．(    )

A.  B.
C.  D.

12. 对于一元二次方程，下列说法：

若，则；

若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

若是方程的一个根，则一定有成立；

若是一元二次方程的根，则

其中正确的(    )

A. 只有 B. 只有 C.  D. 只有

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 方程的解是______．
14. 已知关于的方程和，其中前一个方程的一个根是后一个方程一个根的倍，则的值为______________．
15. 已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是______．
16. 某种文化衫，平均每天销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多销售件，如果每天要盈利元，则每件应降价          元

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？
18. 已知方程没有实数根，其中是实数，试判断方程有无实数根．
19. 若关于，的二元一次方程组的解，．

求的取值范围；

若是一个直角三角形的直角边长，是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程的解，求这个直角三角形的面积．

20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围；

如果符合条件的最大整数是关于的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．

21. 解方程：

如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，求证：四边形是正方形．

22. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
    如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
    如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23. 已知方程组的解满足为非正数，为负数．
    求的取值范围．
    在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为．
24. 若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
 

2.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和，
故选：．
本题考查了一元二次方程的解的意义，将看成整体根据已知方程的解得出或是解此题的关键．根据已知方程的解得出或，然后解这两个一元一次方程即可求出的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
则的最大整数值是．
故选：．
若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
不论为何值，，
即，
所以方程没有实数根，
故选：．
先根据根的判别式求出“”，再根据根的判别式进行判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，则，
所以，，
或，故选项A错误；
B.若，
则，故选项B错误；
C.若，则
，即，故选项C正确；
D.若，
则，
，
或，故选项D错误；
故选：．
A.利用因式分解法求解即可判断；
B.利用直接开平方法变形即可判断；
C.利用配方法变形即可判断；
D.利用因式分解法求解，即可判断．
本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程的解为，，
则数字、、、、中只有是该方程的解，
故摸出的小球上的数恰好是方程的解的概率是，
故选：．
首先求出方程的解，再根据概率公式求出答案即可．
此题考查概率的求法以及因式分解法求出一元二次方程的解，解本题的关键要掌握：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了估算无理数的大小及一元二次方程的根与系数的关系，首先估算出的整数部分，再确定小数部分，然后根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，再确定整数部分即可．
【解答】
解：，
，
的整数部分为，
则的小数部分为，
的小数部分是方程的一个根，
设方程的另一个根为，
，
，
，
，
则．
该方程另一根的整数部分是．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于时，方程无实数根．求出的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于，可得出方程没有实数根．
【解答】

解：解不等式组，得，
，
，
，
方程 没有实数根，
故选A．

10.【答案】 

【解析】解：设，则．
由题意可知：≌，是的中点，
，，
，
，
．
的解为，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：．
首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
本题考查了一元二次方程的解法、正方形的性质、翻折变换．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题解题的关键在于理清题目的含义，找到年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
利用增长后的产量增长前的产量增长率，设平均每次增长的百分率为，根据“年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量比年增加吨”，即可得出方程．
【解答】
解：设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】
解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故正确；
方程有两个不相等的实根，


则方程的判别式

方程必有两个不相等的实根，故正确；
是方程的一个根，
则

若，等式仍然成立
故不一定成立，故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：
或
或

故正确．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：当时，原方程为，
由求根公式得，
，
应舍去；
当时，原方程为，
由求根公式得，

应舍去；
故原方程的根为．
由于带有绝对值的符号，必须先考虑的范围再解方程，对不在范围内的值要舍去．
本题考查公式法解一元二次方程，由题目的结构特点，确定在不同的范围内求未知数的值，对于不在该范围内的值要舍去．
 

14.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解根的意义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解设是方程的一个根，则是方程的一个根，根据方程的解的定义可得，即，再将，得，解方程求出或然后分别代入即可求出的值
【解答】
解：设是方程的一个根，
则是方程的一个根，

那么，
，
即，
得，
解得或．
当时，，
；
当时，，
．
故实数的值为或．

15.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个解是，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个解是，根据根与系数的关系可得出关于的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】略
 

17.【答案】解：设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，
依题意，得：，
解得：，．
售价不能超过进价的倍，
，
不合题意，舍去，
．
答：每件文化衫应定价为元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，根据周销售利润每件的利润周销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．
 

18.【答案】解：没有实数根，

，即．

对于方程，

，

方程有两个不相等的实数根．

【解析】见答案
 

19.【答案】解：解方程组得
，，

解得，
的取值范围为．
，
解得，
、、分别是直角三角形的三边长，
，
解得，舍去，
，
三角形的面积为． 

【解析】本题主要考查解二元一次方程组、一元一次不等式组、一元二次方程，勾股定理和三角形面积等知识的综合运用．
解关于，的二元一次方程组，根据，值大于可得关于的不等式组，解不等式组可求解；
先用配方法求得一元二次方程的解，再利用勾股定理计算可求解．
 

20.【答案】解：由该一元二次方程有两个不相等的实数根得，

，解得 ，

由二次项系数不为得，

即

所以；

由题意得，，
，

把代入得

 ，

解得，

把代入得

，

解得，

所以该方程另一根．

【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可；
满足条件的的值为，然后把代入得，然后解得，再把代入方程即可解得方程的另一个根．
 

21.【答案】解：，
，
或，
或，
故方程的解为，．
证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，即，
菱形是正方形． 

【解析】本题考查解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础．
先证明四边形是菱形，再证明，即可得出结论．
 

22.【答案】解：是等腰三角形，
理由：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；

如果是等边三角形，则，
原方程可化为：，
，
解得：，． 

【解析】把代入方程，整理后得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
根据等边三角形的性质得出，代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程的解和解一元二次方程等知识点，能熟记等腰三角形的判定定理和等边三角形的性质是解此题的关键．
 

23.【答案】解：解方程组，得：，
根据题意，得：，
解得；

由的解为知，
解得，
则在中整数符合题意． 

【解析】解方程组得出、，由为非正数，为负数列出不等式组，解之可得；
由不等式的性质求出的范围，结合中所求范围可得答案．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
 

24.【答案】解：依题意，得 ，
，
．
即． 

【解析】把代入已知方程可以求得，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．