安徽省2021-2022学年八年级下学期数学教学质量检测（八）（含答案）

这是一份安徽省2021-2022学年八年级下学期数学教学质量检测（八）（含答案），共23页。试卷主要包含了函数中自变量x的取值范围是，下列说法中正确的是，若2＜a＜3，则等于等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省八年级教学质量检测（八）
数学（人教版）
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≠1
2．下列说法中正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的平行四边形是矩形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3．若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
4．为更好地学习贯彻“2022年全国两会”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“2022年全国两会”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：86，83，87，83，84，93．则这组数据的中位数是（　　）
A．84 B．85 C．86 D．87
5．若一个长方体的长为2cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为（　　）
A．cm3 B．cm3 C．21cm3 D．24cm3
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（　　）

A．8 B．10 C．13 D．15
7．某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（　　）

A．4升 B．升 C．升 D．升
8．如图，把含有30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在边AD和BC上，MN与BD交于点O．若O是MN的中点，则∠ONC的度数是（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
9．四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　）

A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．某同学参加校艺术节独唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面得分分别为90分、80分、95分，综合成绩中唱功占70%，表情占10%，动作占20%，则该名同学综合成绩为 　 　分．
12．已知一次函数y＝kx﹣b与的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（3k﹣1）x＝3b的解x＝　 　．
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝16，则HE等于 　 　．

14． 如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按A﹣B﹣C﹣D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，三角形PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，
（1） a＝　 　；
（2） 当P运动 　 　秒时，三角形APD的面积为8．


三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：
（1）x2+xy+y2；
（2）x2y﹣xy2．

16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且△AOF≌△COE，DF＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接AE，若AC平分∠EAF，△ABE的周长为15，求四边形ABCD的周长．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2：y＝﹣2x交于点C（a，4），点E为x轴上一个动点．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点E的坐标为（2，0），过点E作x轴的垂线，分别交直线l1、l2于点F、G，求△CFG的面积．

五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到M处的距离为100海里．
（1）求灯塔A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB＝15°，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从M到B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）

20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．





六．（本题满分12分）
21．为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图．

（1）填写下列表格

（2）已求得甲同学6次成绩的方差为（分2），求出乙同学6次成绩的方差；
（3）你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．
七．（本题满分12分）
22．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．
（1）求证：BG＝CE；
（2）若OB＝，BF是∠DBC的角平分线，求OE的长．

八．（本题满分14分）
23．北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．
（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

2021-2022学年安徽省八年级教学质量检测（八）
数学（人教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的平行四边形是矩形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
4．为更好地学习贯彻“2022年全国两会”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“2022年全国两会”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：86，83，87，83，84，93．则这组数据的中位数是（　　）
A．84 B．85 C．86 D．87
【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：83，83，84，86，87，93，处于中间位置的那个数是84和86，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是＝85．
故选：B．
5．若一个长方体的长为2cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为（　　）
A．cm3 B．cm3 C．21cm3 D．24cm3
【分析】利用长方体的体积公式求值即可．
【解答】解：V＝abc
＝2××
＝2
＝2
＝2×12
＝24（cm3），
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（　　）

A．8 B．10 C．13 D．15
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到DB＝DA，然后设DB＝x，即可用x的代数式表示出CD和DA，再根据勾股定理即可求得BD的长．
【解答】解：连接AD，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
设DB＝x，则CD＝BC﹣DB＝18﹣x，
∵∠C＝90°，AC＝12，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴x2＝（18﹣x）2+122，
解得x＝13，
即BD＝13，
故选：C．

7．某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（　　）

A．4升 B．升 C．升 D．升
【分析】根据图象先求出每分钟进水量，然后根据图象求出既出水又进水时，每分钟进水量，即可求出每分钟出水量．
【解答】解：根据图像可知，4分钟进水量为20L，
∴1分钟进水量为：＝5（L），
∵8分钟内既进水又出水时，进水量为10L，
∴这段时间内1分钟进水量为：＝（L），
∴1分钟出水量为：5﹣＝（L），
故选：C．
8．如图，把含有30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在边AD和BC上，MN与BD交于点O．若O是MN的中点，则∠ONC的度数是（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM＝OP，从而得出∠AMP＝75°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°，
在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为MN的中点，
∴OP＝MN＝OM，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝∠PMN＝30°，
∴∠AMP＝∠MPO+∠ADB＝30°+45°＝75°，
∴∠AMO＝∠AMP+∠PMN＝75°+30°＝105°，
∵AD∥BC，
∴∠ONC＝∠AMO＝105°，
故选：C．
9．四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
【分析】先判断四边形ABCD是平行四边形，即可判断直线l经过四边形对角线的交点，求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），
∴点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位与B点重合，点D向右平移2个单位，再向下平移3个单位与C点重合，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴过四边形ABCD对角线的交点的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），
∴对角线的交点为（，0），
∵过点（0，1）的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线l经过点（0，1）和（，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l所表示的函数表达式为y＝﹣2x+1，
故选D．

10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　）

A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据角平分线性质得：DE＝DF，证△AED≌△AFD，得AE＝AF，再一一判断即可．
【解答】解：①根据已知条件不能推出GA＝GD，∴①错误；
②∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
③∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确；
④∵AE＝AF，DE＝DF，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，
∴④正确；
∴②③④正确，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．某同学参加校艺术节独唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面得分分别为90分、80分、95分，综合成绩中唱功占70%，表情占10%，动作占20%，则该名同学综合成绩为 　90　分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：该名同学综合成绩为90×70%+80×10%+95×20%＝90（分），
故答案为：90．
12．已知一次函数y＝kx﹣b与的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（3k﹣1）x＝3b的解x＝　3　．
【分析】把A（a，1）代入求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案．
【解答】解：把A（a，1）代入得：1＝a，
解得a＝3，
∴A（3，1），
∴关于x的方程kx﹣b＝x的解为3，
∴关于x的方程（3k﹣1）x＝3b的解是x＝3，
故答案为：3．
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝16，则HE等于 　16　．

【分析】根据三角形中位线定理求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可．
【解答】解：∵D，F分别为BC，AB边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝32，
在Rt△AHC中，E为AC边的中点，
∴HE＝AC＝16，
故答案为：16．
14.如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按A﹣B﹣C﹣D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，三角形PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，
（1）a＝　5　；
（2）当P运动 　4或　秒时，三角形APD的面积为8．


【分析】首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5＜t≤10时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可．
【解答】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD＝2，
当点P与点C重合时，△ADP面积为4，
∴AD＝4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
∴AB＝5，
∴a＝5，
当0≤t≤5时，S＝2t，
令S＝8，
∴2t＝8，解得t＝4，
设当5＜t≤10时，函数解析式为S＝kt+b，
∴，
解得，
∴当5＜t≤10时，函数解析式为S＝﹣t+16，
令S＝8，
∴﹣t+16＝8，解得t＝；
故答案为：5；4或．
三．解答题（共9小题）
15．已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：
（1）x2+xy+y2；
（2）x2y﹣xy2．
【分析】（1）利用完全平方公式可得x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，然后把x，y的值代入进行计算即可解答；
（2）利用因式分解可得x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），然后把x，y的值代入进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝（2﹣+2+）2﹣（2﹣）（2+）
＝42﹣（4﹣3）
＝16﹣1
＝15，
∴x2+xy+y2的值为15；
（2）x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝（2﹣）×（2+）×[2﹣﹣（2+）]
＝（4﹣3）×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2，
∴x2y﹣xy2的值为﹣2．
16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米，
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM＝，
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8，
∴他应该往回收线8米．

17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且△AOF≌△COE，DF＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接AE，若AC平分∠EAF，△ABE的周长为15，求四边形ABCD的周长．

【分析】（1）由全等三角形的性质得AF＝CE，∠OAF＝∠OCE，则AF∥CE，即AD∥BC，再证AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）证AE＝CE，再证AB+BC＝15，然后由平行四边形的性质列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵△AOF≌△COE，
∴AF＝CE，∠OAF＝∠OCE，
∴AF∥CE，
即AD∥BC，
又∵DF＝BE，
∴AF+DF＝CE+BE，
即AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：如图，由（1）可知，AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
∵AC平分∠EAF，
∴∠FAC＝∠EAC，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴AE＝CE，
∵△ABE的周长为15，
∴AB+BE+AE＝15，
∴AB+BE+CE＝15，
即AB+BC＝15，
由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×15＝30．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与直线l2：y＝﹣2x交于点C（a，4），点E为x轴上一个动点．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点E的坐标为（2，0），过点E作x轴的垂线，分别交直线l1、l2于点F、G，求△CFG的面积．

【分析】（1）首先求出点C的坐标，再将A（﹣6，0）．C（﹣2，4）代入y＝kx+b，解方程即可；
（2）求出F，G的坐标，从而得出FG的长度，代入三角形面积公式；
（3）分∠AEC＝90°或∠ACE＝90°或∠CAE＝90°，由直角三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）将C（a，4）代入y＝2x中得，
a＝﹣2，
∴C（﹣2，4），
将A（﹣6，0）C（﹣2，4）代入y＝kx+b中，
，
解得，
直线l1解析式为y＝x+6；
（2）当x＝2时，y＝2+6＝8，
∴F（2，8），
当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4，
∴G（2，﹣4），
∴FG＝12，
∴S△CFG＝×12×4＝24．
19．如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到M处的距离为100海里．
（1）求灯塔A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB＝15°，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从M到B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）

【分析】（1）由题意得到∠FMA＝60°，AM＝100海里，求得∠AMB＝30°，过点A作AT⊥MN于T，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠ABT＝∠AMB+∠BAM＝45°，求得AT＝BT＝50（海里），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：∠FMA＝60°，AM＝100海里，
∴∠AMB＝30°，
过点A作AT⊥MN于T，
∴∠ATM＝90°，
∴AT＝AM＝50，
答：灯塔A到航线MN的距离是50海里；
（2）∵∠AMB＝30°，∠BAM＝15°，
∴∠ABT＝∠AMB+∠BAM＝45°，
∵∠ATM＝90°，
∴∠ABT＝∠BAT，
∴AT＝BT＝50（海里），
在Rt△AMT中，∠ATM＝90°，根据勾股定理得，
MT＝＝＝50（海里），
∴BM＝MT﹣BT＝（50﹣50）海里，
∴（50﹣50）÷50＝（﹣1）小时；
答：轮船从M到B处所用的时间为﹣1）小时．

20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．

【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°和等边△BEF，可以证明△FAB≌△ECB，进而可得CE＝AF；
（2）延长FA交BE于点G，结合（1）根据三角形的外角定义可得∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即可求出∠CBE的度数．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴FB＝EB，∠FBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴∠FBA＝∠EBC，
∴△FAB≌△ECB（SAS），
∴CE＝AF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
延长FA交BE于点G，

根据三角形的外角定义可知：
∠GAD＝∠AFP+∠APF，
∠BAG＝∠AFB+∠ABF，
∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，
∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，
∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，
即120°＝60°+46°+∠CBE，
∴∠CBE＝14°．
答：∠CBE的度数为14°．
21．为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图．

（1）填写下列表格

平均数/分
中位数/分
众数/分
甲
90
①　91　
93
乙
②　90　
87.5
③　85　
（2）已求得甲同学6次成绩的方差为（分2），求出乙同学6次成绩的方差；
（3）你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法分别计算甲的中位数，乙的平均数和众数即可；
（2）根据方差公式即可得出答案；
（3）通过比较甲、乙二人的中位数、众数、方差得出答案．
【解答】解：（1）将甲的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝91，因此甲的中位数是91分，
乙的成绩的平均数为＝90（分），
乙的成绩出现次数最多的是85，因此乙的众数是85分，
故答案为：91，90，85；

（2）乙同学的方差是：×[（95﹣90）2+（85﹣90）2+（90﹣90）2+（85﹣90）2+（100﹣90）2+（85﹣90）2]＝（分2），

（3）甲的中位数91比乙的中位数87.5大，甲的众数是93比乙的众数85要大，而甲的方差比乙的方差小，
所以从中位数、众数、方差的角度看，甲的成绩较好．
22．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．
（1）求证：BG＝CE；
（2）若OB＝，BF是∠DBC的角平分线，求OE的长．

【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC＝∠GOB＝90°，OC＝OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB＝∠CFB＝90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF＝∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE＝BC，根据正方形的性质，可知BC＝2，即可求出OE．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC＝OB，
∴∠EOC＝∠GOB＝90°，
∴∠OEC+∠OCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠OEC+∠OBG＝90°，
∴∠OBG＝∠OCE，
在△EOC和△GOB中，
，
∴△EOC≌△GOB（ASA），
∴BG＝CE；
（2）解：∵BF⊥CE，
∴∠EFB＝∠CFB＝90°，
∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠EBF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△EBF≌△CBF（SAS），
∴BE＝BC，
在正方形ABCD中，OB＝OC，∠BOC＝90°，
∵OB＝，
根据勾股定理，得BC＝2，
∴OE+＝2，
∴OE＝2﹣．
23．北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．
（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，从而可以得到该商店最多可购进A纪念品多少件；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以写出利润和购进A种纪念品数量的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件a元，购进B种纪念品每件b元，
由题意可得：，
解得，
答：购进A种纪念品每件120元，购进B种纪念品每件80元；
（2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品（100﹣x）件，
∵用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，
∴120x+80（100﹣x）≤9920，
解得x≤48，
∴x的最大取值为48，
答：该商店最多可购进A纪念品48件；
（3）设购进A种纪念品x件，利润为w元，
由题意可得：w＝30x+20（100﹣x）＝10x+2000，
∴w随x的增大而增大，
∵x≤48，
∴当x＝48时，w取得最大值，此时w＝2480，100﹣x＝52，
答：当购进A种纪念品48件，B种纪念品52件时获利最大，最大利润是2480元．