2021永安三中高一下学期第一次月考数学试卷含答案

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永安市第三中学高中校2020级高一下学期3月份月考数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、已知复数，，则 (　　)A. B. C. D. 2、已知复数，（），则“”是“为纯虚数”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、在中，若, 则（）A. B. C. D.4、在中，角的对边分别是，，则=（）A. B. C. D. 5、已知向量，其中，，且，则向量和的夹角是（）A． B． C． D．6、在中，分别是角的对边，若，则的形状一定是（）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形7、已知，，且，则=(　　 )A. B. C. D. 8、如图在中，是的中点，是的三等分点（靠近点），若（），则 ( )A．　 B. C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9、在复平面内点所对应的复数分别为,则下列结论正确的是(　　)A. 的共轭复数虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 若，则点对应的复数是10、下列命题中,正确的命题为（） A. 对于向量，若，则或 B.若为单位向量，且∥，则； C.若与共线，与共线，则与共线 D. 四边形中， 11、设平面向量两两所成的夹角相等，且，，，则的值可能为(　　)A． B． C． D．12、在中,内角的对边分别为,且,则下列叙述正确的有（）A. B. 若,则的面积的最大值为C. 若,,且, 则 D. 若，且满足条件的不存在，则边的取值范围是第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、若，则．14、设平面向量，若，则． 15、如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为千米． 16、在中有如下结论：“若点为的重心，则”．设分别为内角的对边，点为的重心. 若，则内角的大小为 _；当时，的面积为 _.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题共10分）设复数（其中），．（Ⅰ）若是实数，求的值；（Ⅱ）若是纯虚数，求．
18、（本题共12分）已知两个非零向量．（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；（Ⅱ）若，求证：三点共线． 19、（本题共12分）在①；②；③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在中，内角的对边分别为 ,且满足，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若为上一点，,且,求． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)． 20、（本题共12分）在中，内角的对边分别为,向量，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求角的大小及向量在方向上的投影向量.【提示：向量在方向上的投影向量为，其中为与同向的单位向量，为与的夹角】 21、（本题共12分）岛观察站发现在其南偏东方向有一艘可疑船只，正以每小时海里的速度沿南偏东方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛正南方向处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东方向且相距海里的处，随即以每小时海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，距离岛多少海里？（2）假设海监船在处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． 22、（本题共12分）在平行四边形中，，若分别是边上的点，且满足，.（Ⅰ）当,时,求向量和夹角的余弦值；（Ⅱ）当时,求的取值范围.