2020-2021学年福建省永安市第三中学高一10月月考数学试题（解析版）

2020-2021学年福建省永安市第三中学高一10月月考数学试题

一、单选题

1．下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系.

【详解】

A选项，因为0不是正整数，所以；B选项，因为不是整数，所以；

C选项，因为不是有理数，所以；D选项，因为不含任何元素，所以.

故选：C

【点睛】

本题考查常用数集，属于基础题.

2．已知命题，，则是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】分析：根据含量词的命题的否定的方法求解即可．

详解：由题意得，命题“，”的否定是，．

故选．

点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．

3．已知实数x，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】

由能推出；反之不能推出，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A

【点睛】

本题主要考查判断命题的充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.

4．若正数a，b满足 ，则的最大值为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】D

【解析】由求解.

【详解】

由题意得：，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为9.

故选：D

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.

5．已知，，令 t=，则t的取值范围为（    ）

A．-2<t<2 B．-3<t<3 C．-3<t<2 D．1<t<2

【答案】B

【解析】由，得到，然后再利用不等式的可加性求解.

【详解】

因为，

所以，又，

所以，

故选：B

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.

6．若，则的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】，利用基本不等式即可解决.

【详解】

则，，当，即时取“=”，

故选：C.

【点晴】

此题考基本不等式的应用，属于简单题.

7．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围．

【详解】

由题得，原命题的否命题是“，使”，

即，解得．选B.

【点睛】

本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题．

8．如果集合中只有一个元素，则a的值是（    ）

A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定

【答案】C

【解析】利用与，结合集合元素个数，求解即可．

【详解】

解：当时，集合，只有一个元素，满足题意；

当时，集合中只有一个元素，可得，解得．

则的值是0或4．

故选：．

【点睛】

本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．

二、多选题

9．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用交集和并集的运算求解.

【详解】

因为，所以，

所以

所以，.

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.

10．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BCD

【解析】根据充分必要条件得出a 范围，可得选项.

【详解】

由得，

因此，若是的充分不必要条件，则．

故选：BCD．

【点睛】

本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题.

11．（多选题）下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

【答案】BCD

【解析】当时，可判断选项A不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确．

【详解】

选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；

选项B: ，所以本命题是真命题；

选项C: ，所以本命题是真命题；

选项D: ，所以本命题是真命题；

故选:BCD．

【点睛】

本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．下列四个不等式中，解集为的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】根据题意，找到不等式对应的一元二次函数函数，再利用判别式判断其解集是否为空集即可.

【详解】

对于A，对应函数开口向下，显然解集不为；

对于B，，对应的函数开口向上，，其解集为；

对于C，，对应的函数开口向上，其解集为；

对于D，对应的函数开口向下，其解集为；

故选：BCD.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，掌握一元二次不等式的解集与一元二次函数的性质之间的关系是解题的关键，属于基础题.

三、填空题

13．已知集合，集合，若，则实数________.

【答案】

【解析】利用集合的包含关系可得，解方程即可求解.

【详解】

集合，集合，

∵，∴，∴.

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据集合的包含关系求参数值，属于基础题.

14．已知，，，则的最小值为__________.

【答案】25

【解析】展开开利用基本不等式即可求解.

【详解】

，

当且仅当 即 等号成立.

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.

15．若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.

【答案】；

【解析】分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；

（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；

（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．

【详解】

解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，

得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；

综上，的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．

四、解答题

16．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤k＋1}且B⊆A，求实数k的取值范围.

【答案】

【解析】【详解】试题分析：根据子集的定义结合图形分别讨论两种情况 的取值范围

试题解析：

解析　.

① 时，有2k－1>k＋1，解得 .

②时，有解得 .

综上，

【点睛】

，则 有以下3种情况

1. 是空集；

2.B是由的部分元素组成的集合；

3. 是由的全部元素组成的集合.

本题易错的是没讨论 的情况

17．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？

（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？

【答案】（1）当时，取得最小值14；（2）当时，取得最大值36

【解析】（1）设，，，然后利用基本不等式求得的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.

（2）设，，，然后利用基本不等式求得的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.

【详解】

（1）设，，，由均值不等式，得，

当且仅当时，取等号．

由得，即当时，取得最小值14．

（2）设，，，由均值不等式，得．

当且仅当时，取等号．由得．即当时，取得最大值36.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

18．设全集为R，集合A={x|3≤x<12}，B={x|2<x<9}.

（1）求；

（2）已知C={x|a<x<a+1}，若C⊆B，求实数a取值构成的集合.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）先求得，再求集合的交集即可；

（2）根据集合之间的包含关系，列出不等式，即可求得参数的取值范围.

【详解】

（1）因为B={x|2<x<9}，故可得或，

故可得.

（2）因为C⊆B，

故可得且，

解得.

【点睛】

本题考查集合的交并补运算，涉及由集合之间的包含关系求参数范围，属综合基础题.

19．已知，.

（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；

（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件

（2）当实数时，是的必要条件

【解析】（1）解不等式得到集合；再由是的充要条件，可得，进而可得出结果；

（2）要使是的必要条件，则 ，然后讨论和两种情况，即可得出结果.

【详解】

（1）.

要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，

则不存在实数，使是的充要条件；

（2）要使是的必要条件，则 ，

当时，，解得；

当时，，解得

要使 ，则有，解得，所以，

综上可得，当实数时，是的必要条件．

【点睛】

本题主要考查集合之间的关系，以及充分条件和必要条件，根据题中条件，确定集合之间的关系，即可求解，属于基础题型.

20．（1）设，证明：.

（2）已知，，，求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用作差法证明不等式成立；

（2）利用基本不等式可证明不等式成立.

【详解】

（1）

又，而 

故即

（2）因为，，所以，由，得，

故，，当且仅当时，等号成立.

【点睛】

本题主要考查了利用作差法和基本不等式证明不等式成立，属于中档题.

21．已知关于的不等式.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将代入，利用一元二次不等式的解法即可求解.

（2）根据不等式的解集确定方程的根，再利用韦达定理即可求解.

【详解】

解：（1）时，不等式即为，

它等价于，则.

时，原不等式的解集为.

（2）不等式的解集为，

，且，是关于的方程的根.

，.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法、由一元二次不等式的解求参数的取值，属于基础题.

22．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．

（1）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围；

（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．

【答案】（1），；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为．

【解析】（1）根据矩形温室的一边长为，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于的不等式，从而得出的取值范围；

（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.

【详解】

解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为米，则另一边长为米，

因此种植蔬菜的区域面积可表示，

由得：；

（2）

，

当且仅当，即时等号成立．

因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为．

【点睛】

本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．