2021成都外国语学校高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

成都外国语学校2020——2021学年度上期期中考试

高二数学试卷（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．本堂考试120分钟，满分150分。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂。4．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．）

1.命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ）

A. 焦点在轴上    B. 渐近线方程为    C. 虚轴长为4   D. 离心率为

3. 直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ）

A．      B．    C．   D．

4.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

5．平面与平面平行，且直线,下列命题中正确的是（    ）

A、与内的所有直线垂直           B、与内的所有直线异面

C、与内的所有直线平行           D、与内的无数条直线平行   

6.已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（   ）

A.  B.  C.  D.

7.空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（    ）

A.          B.           C.           D.

8.若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（    ）

     A.                  B.                 C.                 D.

9.已知的顶点，顶点在抛物线上运动，点满足关系，则点的轨迹方程为（     ）

A.               B.   

C.               D.

10.唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A.           B.             C.            D.

11．抛物线的焦点为，设， 是抛物线上的两个动点，

，则的最大值为（     ）

A．          B．         C．         D．

12．设是双曲线的右顶点， 是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（    ）

A.       B.        C.         D.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）

13.已知圆和圆，则两圆的公切线有_____条．

14.与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线标准方程为__________.

15.有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______．

16.已知O为坐标原点，椭圆T：，过椭圆上一点P的两条直线PA，PB分别与

椭圆交于A，B，设PA，PB的中点分别为D，E，直线PA，PB的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为_______．

三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它每题12分，共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）已知直线，，.

（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；

（2）若//，求与的距离.

18．（本小题满分12分）已知，，其中．

（1）若，且为真，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19.（本小题满分12分）若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.

20、（本小题满分12分）已知圆C过定点F ，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．

(1)求曲线E的方程；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

21、（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点、分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.

22、（本小题满分12分）已知椭圆方程为．

（1）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上运动，求的取值范围；

（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．

成都外国语学校2020——2021学年度上期期中考试

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5 DBAAD   6-10 CBCBB   11-12 DA

二、填空题

13.3    14.     15.2      16.

三、解答题

17．解析：(1)设P（t,t）,由，得

∴或6    ∴P的坐标为或   ………………………………（5分）

（2）由//得            ………………………………………………（7分）

∴，即

∴与的距离………………………………………………（10分）

18．解析：（1）由，解得，所以；

又 ，因为，解得，所以．

当时，，又为真，都为真，所以． ……（6分）

（2）由是的充分不必要条件，即，，

其逆否命题为，由（1），，

所以，即：  ………………………………………………………（12分）

19.解析：(1)令方程中的，得，令，得.

所以点的坐标分别为.

所以圆的圆心是，半径是，

所以圆的标准方程为.……………………………………（6分）

(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.

若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.……………………（8分）

若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.

圆的圆心到直线的距离，解得.

则直线的方程为，即.…………………………（11分）

综上，直线的方程为或.…………………………………（12分）

20、解析：(1)由题意，点C到定点F和直线x＝的距离相等，

故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.           …………………………………（4分）

(2)由方程组消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由根与系数的关系有y1＋y2＝－，y1y2＝－1.            ……………………（7分）

设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0)．

所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN

＝|ON||y1|＋|ON||y2|，

＝|ON||y1－y2|＝×1×

＝ .   ………………………………………………………………（10分）

因为S△OAB＝，所以 ＝，解得k＝±.……………………（12分）

21、解析：（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，

由椭圆的定义知,的周长为，∴，故

∴椭圆的方程为 ………………………………………………………（4分）

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线

设，

把直线代入椭圆方程，整理可得,

，即

∴，，

∵，

∵、都在轴上方．且，∴， ∴，

即,代入       ……………（8分）

整理可得，

即，整理可得，

∴直线，∴直线过定点……………（12分）

22、解析：（1）由已知，，设，

．

结合，得，

故；…………………………………………………………（4分）

（2）①当直线l的斜率不存在时，其方程为，

由对称性，不妨设，此时，

故．          …………………………………………………………（6分）

②若直线的斜率存在，设其方程为，

由已知可得，则，

设、，将直线与椭圆方程联立，

得，

由韦达定理得，．       ………………………（8分）

结合及，

可知．

将根与系数的关系代入整理得：

，

结合，得．………………………（10分）

设，，

则．

的取值范围是．…………………………………………………………（12分）