四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题（含答案与解析）

成都为明学校20-21学年度上学期期中考试

高二年级   理  数

姓名：___________班级：___________考号：___________

（说明：试卷满分150分，考试时间：120分钟）

命题人：尹国辉                           审题人：__________

一、选择题:(每小题5分，共60分)

1.在直角坐标系中,直线的倾斜角是(    )

A.30°       B.120°      C.60°       D.150°

2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有50名,高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本,已知在高二年级的学生中抽取了6名,则在高一年级的学生中应抽取的人数为(        )

A.6 B.8 C.10 D.12

3.圆心为且和x轴相切的圆的方程是（   ）

A.       B.

C.  D.

4.下图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(      )

A．84，4.84　     B．84，1.6    C．85，1.6　      D．85，4.84

5.若满足约束条件,则的最小值是(    )

A. 0      B. 3 C. 4     D. 6

6.在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是(   )

A.  B.  C.  D.

7.执行下面的程序框图，则输出的 (   )

A.17     B.19   C.21    D.23

8.设，则“”是“”的（   ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（    ）（参考数据：）

A．3.1419 B．3.1417 C．3.1415 D．3.1413

10.圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为（   ）

A．8 B．9 C．16 D．18

11.设集合，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是(    )

A．       B． C． D．

12.过点作圆的切线,切点分别为,则的最小值为(   )

A.        B.        C.        D.

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.在区间上随机地取一个数,则满足的概率为__________

14.命题“”的否定为__________

15.执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是__________.
 

16.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是__________

三、解答题：（本大题共70分）

17（10分）已知直线,

(1)直线与的交点的坐标;

(2)过点且与垂直的直线方程

18(12分）从含有两件正品和一件次品的件产品中每次任取一件,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.

(1).每次取出不放回.

(2).每次取出后放回.

19（12分）已知直线L: 与圆C: ,
(1) 若直线L与圆 相切,求m的值;
(2) 若 ,求圆C 截直线L所得的弦长.

20（12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．

21.（12分）为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:

(1)根据以上数据,求关于的线性回归方程;

(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?

(参考公式:回归方程其中。

22.（12分） 已知圆的方程为：，以坐标原点为圆心的圆，圆内切于圆.

（1）求圆的方程；

（2）圆与轴交于、两点，圆内的动点使得、、成等比数列，求的取值范围；

（3）过点作两条直线分别与圆相交于、两点，且直线和直线的倾斜角互补，试判断直线和是否平行？请说明理由.

（理数）参考答案

1.答案：C

解析：先将直线方程化为斜截式,

再根据,,得到倾斜角.

2.答案：C

解析：

3.答案：A

解析：

4.答案：C

解析：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据84,84,86,84,87的平均数为；

方差为.

故选C.

5.答案：C

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

由，可得，

作出直线，平移直线，由图可得，当直线平移到经过点的位置时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，由，可得点的坐标为所以的最小值是

6.答案：C

解析：学生在确定选修地理的情况下,从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有(历史，政治),(历史,化学),（历史,生物）,（历史,物理）,(政治,化学),（政治,物理），（政治,生物）,（化学,生物）,（化学,物理）,（生物,物理）,共10种.其中含有生物的选择方法有:（历史,生物）,（政治,生物）,（化学,生物）,（生物,物理）,共4种.则所选的两科中一定有生物的概率.故选C.

7.答案：C

解析：由程序框图知等于正奇数数列的前项和，其中，当前项和大于100时退出循环，则，当时，；当时，，退出循环.则输出的的值为，故选C.

8.答案：B

解析：，即，等价于，

故推不出；由能推出。

故“”是“”的必要不充分条件。

故选B。

9.答案：A
解析：由几何概型中的面积型可得：

所以，

又，

所以。

故选：A。

10.答案：B

解析：

11. 答案：C

【详解】

解：由“”是真命题，

即存在实数使得圆与圆有交点，

则存在实数使得，

即关于实数的不等式有解，

即，

解得，故选C.

12.答案：C

解析：

∵

∴

故选C.

13.答案：

解析：

14.答案：

解析：

15.答案：k≤7

解析：第一步, ;
第二步, ;
第三步, ;
……
第步, ,
若输出,则,
说明时结束,故应填.

16.答案：

解析：

17.答案：1.

解方程组得

∴交点

2.

的斜率为,故由点斜式方程得过点且与垂直的直线方程为即.

解析：

18.答案：1.每次取出不放回的所有结果有其中左边的字母表示第一次取出的产品,右边的字母表示第二次取出的产品,共有个基本事件,其中恰有一件次品的事件有个,所以每次取出不放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为.
2.每次取出后放回的所有结果: 共有9个基本事件,其中恰有一件次品的事件有个,所以每次取出后放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为.

解析：

答案： 19、

解析： 试题分析:本题第(1)问,由于直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,即有 ,只要解出m即可;第(2)问,先求出圆心到直线的距离 ,由于原的半径为1,则由勾股定理可求出弦长。
解:(1) 直线 与圆 相切, 圆心 到直线 的距离
,解得 
当 时,直线 的方程为 ,圆心 到直线 的距离 ,
弦长
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,以及点到直线的距离公式,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练运用此性质是解本题的关键.

20.答案：（1）由，解得．

（2）这组数据的平均数为．

中位数设为m，则，解得

（3）满意度评分值在内有人，

其中男生3人，女生2人．记为

记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A

通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，

利用古典概型概率公式可知.

21.答案：（1），

.

,

,

,

,

所以回归直线方程为.

（2）设工厂获得的利润为万元，

则

，

所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元.

解析：

22. （1）；（2）；（3）平行，理由见解析.

【详解】

圆的方程可整理为：，故圆心，半径.

（1）圆的圆心坐标为，

因为，所以点在圆内，

设其半径为，因为圆内切于圆，所以有：，

即，解得，所以圆的方程为；

（2）由题意可知：、．

设，由、、成等比数列，得，

即：，整理得，

而

         ，

由于点在圆内，故有，由此得，所以，；

（3）因为直线和直线的倾斜角互补，故直线和直线的斜率存在，且互为相反数，设直线的斜率为，则直线的斜率为.

故直线的方程为，直线的方程为，

由，得，

因为点在圆上，故其横坐标一定是该方程的解，可得，

同理可得：，所以，

所以，直线和一定平行.

【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系、等差数列的性质、圆的公切线方程等知识，考查平面向量数量积的取值范围，考查直线平行的证明，解题时要将这些问题进行合理转化，难点在于计算量大，易出错.