2021乐山沫若中学高二下学期入学考试数学（理科）试题含答案

四川省乐山沫若中学2021年高二下期数学（理科）

入学考试试题

满分：150分    考试时间：120分钟  

一、选择题：（共12个小题，每题5分，共60分。）

1．点A（3，2，1）关于xOy平面的对称点为（　　）

A．（-3，-2，-1）       B．（-3，2，1）      C．（3，-2，1）      D．（3，2，-1）

2．抛物线的准线方程为　　

A.  B.  C.  D.

3．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件

4．体积为的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（     ）

A． B． C． D．

5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么　　

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为　　

A.  B.  C.  D.

7．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ）

A．      B．  C．      D．

9．已知，为椭圆的左、右焦点，点在上，，则等于　　

A.  B.  C.  D.

10．已知P是△ABC所在平面外一点，点P与AB，AC，BC的距离相等，且点P在

△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的（　　）

A．内心          B．外心           C．重心           D．中心

11．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（    ）

A．线段   B．圆   C．椭圆的一部分    D．抛物线的一部分

二、填空题：（共4个小题，每题5分，共20分。）

13．命题“”的否定是___________.

14．若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是　　．

15．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为　　   ．

16．已知双曲线右支上一点分别为其左右焦点，圆是内切圆，且与圆相切于点（为半焦距），若，则双曲线离心率的取值范围是_____．

三、解答题：（共6个小题，共70分。）

17．（满分10分）如图所示，直棱柱中，四边形ABCD为菱形，点E是线段的中点．

（1）求证：平面BDE；

（2）求证：．

18．（满分12分）已知圆，圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）求直线被圆截得的弦的长．

19．（满分12分）如图，一简单组合体的一个面内接于圆O，是圆O的直径，矩形所在的平面垂直于圆O所在的平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，试求该简单组合体的体积.

20．（满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于

，，，两点，且.

（Ⅰ）求该抛物线的方程

（Ⅱ）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．

21．（满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设点是的中点，求二面角的余弦值．

22．（满分12分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，点为椭圆上一动点，且直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设分别是椭圆的左右顶点，若点是上不同于的两点，且满，求证：的面积为定值．

数学试题（理科）答案

一、选择题（共12个小题，每题5分，共60分。）

1．D   2．C    3．C．  4．B． 5．B 

6、A   7．   8．、B   9．D   10．A       11．C    .12．A

二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分。）

13．   14．9    15．4    16．.

三、解答题：（共6个小题，共70分。）

17．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）连接AC交BD于点O，连接OE，即可得到，从而得证；

（2）依题意可得，再由，即可得到平面，从而得证；

【详解】

（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；

因为О，E分别为线段AC，的中点，故，

而平面BDE，平面BDE，故平面

（2）证明：因为直棱柱，故平面ABCD，

又平面ABCD，所以．

因为ABCD是菱形，所以．

又，平面，平面，

所以平面．

因为平面，故．

18．【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由圆的一般式方程求出圆心代入直线即可求出得值，即可求解；

（2）先计算圆心到直线的距离，利用即可求弦长.

【详解】

（1）由圆，可得

所以圆心为，半径

又圆心在直线上，即，解得．

所以圆的一般方程为，

故圆的标准方程为．

（2）由（1）知，圆心，半径．

圆心到直线的距离．

则直线被圆截得的弦的长为

．

所以，直线被圆截得的弦的长为．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由题意可得，，由线面垂直的判定定理可得面，再由，可得面，根据面面垂直的判定定理即可证明.

（2）根据面面垂直的性质定理可得，且面，根据锥体的体积公式即可求解.

【详解】

解  （1）证明：因为内接于圆O且为直径

所以

在矩形中有且与相交于点C

所以面

而

所以面

因此面面

（2）解：由题知，

面面且面面

所以面

所以.

又因为，

所以

同理面，

在中，所以矩形的面积为

因此该简单组合体的体积

20．【答案】

（Ⅰ）;

（Ⅱ）或2

【解析】

（Ⅰ）抛物线的焦点为，，

则直线的方程为，代入抛物线的方程，

可得，可得，

由抛物线的定义可得，

由已知，得，

解得，

即抛物线的方程为；

（Ⅱ）由可得，

可得或，

即有，，，，

设，，，

，，

即有，，

由，可得，

即，

解得或2

21．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的性质定理，可得，根据等腰三角形中线的性质，可得，利用线面垂直的判定定理，即可得证；

（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可得平面，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得，，的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.

【详解】

解：（Ⅰ）平面平面，平面平面=AC，平面，，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，是的中点，

∴，

∵，平面，

∴平面．        

（Ⅱ）∵平面平面，平面平面=AC，平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，

则，，，

由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，

设是平面的法向量，

则有，即，

令，则，，

∴，

设二面角所成角为，由图可得为锐角，

则．

22．【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析

【分析】

（1）根据题意可得，，再由即可求解.

（2）设，且直线的方程为：，由题意可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，再由，化简整理即可求解.

【详解】

（1）由题意可得

解得，椭圆的标准方程为

（2）证明：设，直线的方程为：

由得

即，

联立直线和椭圆方程：，

整理得：

由韦达定理可得：

又

代入，可得，

的面积，

的面积为定值．

【点睛】

关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线的方程中，考查了计算能力.