2021深圳实验学校高中部高一下学期阶段考试数学试卷含答案

深圳实验学校高中部2020-2021学年高一第二学期阶段考试

数  学

时间:120分钟     满分：150分      

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填涂清楚。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须黑色字迹的签字笔书写。

3．请按照题号顺序在答题卡的答题区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数，则的虚部是

A． B． C． D．

2．已知，则的取值范围为

A． B． C． D．

3．如图，平行四边形中，是的中点，

在线段上，且，记，，

则

A． B． C． D．

4.已知是不共线的向量，，若三点共线，则

A． B． C． D．

5．若非零向量满足，则

A． B． C． D．

6．在锐角中,已知，则下列正确的结论为          

A． B． C． D．

7．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是

A． B． C．      D．或

8.已知是内一点，且满足，记的

面积依次为，则等于

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．下列命题中错误的是

A．的充要条件是且     B．若则

C．若则或          D．

10．下列命题中正确的是

A．非零向量满足，则与的夹角为

B．已知非零向量，若，则的夹角为锐角

C．若是所在平面上的一点，且满足，

则为等腰三角形

D．在中，若点满足，则为的垂心

11.在中,已知，则下列结论中正确的是

A． B． C． D．

12．已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：

其中正确的命题是

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13．若，，与方向相同的单位向量为，则在方向上的投影向量为           ．

14. 如图，在矩形中，分别为和上的中点，  

若，其中则的值为_____．

15. 如图，在中，，是上的一点，

若，则实数的值为          .

16. 在中，角的对边分别是.且满足.若，且为锐角三角形，则面积的取值范围为___________.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. （本小题满分10分）

设向量，，

（1）若向量与向量平行，求的值；

（2）若向量与向量互相垂直，求的值.

18．（本小题满分12分）

（1）已知向量的夹角为，，，求；

（2）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，

求的最大值.

19．（本小题满分12分）

在中，三个内角的对边分别为，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

20．（本小题满分12分）

如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.

（1）为了美化公园周围的环境，现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；

（2）为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值.

21. （本小题满分12分）

已知，

（1）时，求的取值范围；

（2）若存在，使得，求的取值范围.

22．（本小题满分12分）

已知中，过重心的直线交边于，交边于，连结并延长交于点,设的面积为，的面积为，， .

（1）求；

（2）求证：； 

（3）求的取值范围.

数学参考答案

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分

1．C     2．D    3．D    4．D    5．B     6．A    7．D     8．C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．ABC          10．ACD          11．BC          12．AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13．         14．            15．           16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）

设向量，，

（1）若向量与向量平行，求的值；

（2）若向量与向量互相垂直，求的值.

17.（1）,                                     …………1分

向量与向量平行, ………5分

（2）因为 ， ，

因为与互相垂直，所以 ，      

即，                           ……………8分

，解得或.                          ……………10分

18．（本小题满分12分）

（1）已知向量的夹角为，，，求；

（2）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，

求的最大值.

18.（1）     …………………2分

                                    ……………………6分

（2）                ……………………7分

                         ……………………9分

                                       ……………………10分

19．（本小题满分12分）

在中，三个内角的对边分别为，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

19.（1）由

…2分

又因为          

解得                        ……………………5分

（2）在中，，且，

.                   ……………………7分

，                   ……………………9分

                       ……………………11分

等号时成立.         ……………………12分

20．（本小题满分12分）

如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.

（1）为了美化公园周围的环境，现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；

（2）为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值.

20.(1)由图可得：

                ………………………3分

，则，

，此时，可得，         

则当时，郁金香种植面积最大；                   ………………………5分

(2)由余弦定理，，，

，                      ………………………7分

令，则，

，………………10分

，即时，的最大值为3.                   ………………………12分

21．（本小题满分12分）

已知，

（1）时，求的取值范围；

（2）若存在，使得，求的取值范围.

21. （1）时，               ………………2分

令，则           ………………4分

                                 ………………6分

（2）由题意得，存在，使得

当时，，此时不存在使得方程有解……… ……7分

当时，

                       ………………9分

时， ，时，

                              ………………12分

22．（本小题满分12分）

已知中，过重心的直线交边于，交边于，连结并延长交于点,设的面积为，的面积为，，.

（1）求；

（2）求证：； 

（3）求的取值范围.

22.（1）,   G是重心，    ，

；                     ………………2分

（2）设,

，，，，

三点共线，则存在，使得，即，

即，      ………………4分

，整理得，                ………………6分

即，即，即；               ………………7分

（3）由（2），，

，        ………………8分

，，可知，

…10分

，，

则当时，取得最小值，当时，取得最大值，

，则的取值范围为.                       ………………12分