2021安庆田中高二下学期5月月考数学（文）试题含答案

安庆田中2020-2021学年度高二（文）数学月考试卷

一、单选题(共60分)

1．下列说法正确的是（    ）

A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角

C．第一象限角一定不是负角 D．小于的角都是锐角

2．已知角终边经过点则（    ）

A． B． C． D．

3．已知复数，其中为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

4．某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题．甲和丁均说自己不会证明；乙说：丙会证明；丙说：丁会证明．已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话．据此可以判定能证明此题的人是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．若为实数，且，则下列命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知， （    ）

A． B． C． D．3

7．用反证法证明命题“已知为实数，若，则不都大于2”时，应假设（    ）

A．都不大于2 B．都不小于2 C．都大于2 D．不都小于2

8.已知函数是偶函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

9.在极坐标系中，的方程为与曲线的位置关系为（    ）

A．相交    B．相切     C．相离    D．不确定，与有关

10．年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：

由上表可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第周的残差（实际值减去预报值）为（    ）

A．        B．        C．           D．

11．已知实数，满足，则的最小值是（    ）

A．  B． C． D．

12．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.

已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题(共20分)

13．已知，均为锐角，若，，则__________．

14．若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．

15.观察以下式子：；；；

按此规律归纳猜想第5个等式为__________.

16．求函数的值域______________．

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)（1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.

18．(本题12分)已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的极坐标方程为：()=.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求.

19．(本题12分)已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的值域.

20．(本题12分)2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．

（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；

（2）若采用分层抽样从月收入在和的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在的概率．

（参考公式：，其中）

21．(本题12分)在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来汽车的发展方向．我国大力发展新能源汽车的生产和销售．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表

（1）从这6年中任意选取两年，求这两年中仅有1年的新能源汽车保有量大于4万辆的概率；

（2）用函数模型对两个变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（条数精确到0.01）．

参考数据：，，；设．

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

22．(本题12分)已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解．

【详解】

终边相同的角不一定相等，所以选项A错误；

钝角一定是第二象限角，所以选项B正确；

第一象限角可能是负角，如是第一象限的角，且是负角，所以选项C错误；

小于的角不都是锐角，如，所以选项D错误．

故选：B

2．D

【分析】

直接利用三角函数的定义即可.

【详解】

由三角函数定义，.

故选：D.

3．D

【分析】

利用复数除法运算化简复数，求出其共轭复数，相加得到结果.

【详解】

由题可得，

所以，所以，

故选:D.

4．A

【分析】

由丁和丙的说法矛盾，说明有一人说了真话，其它人都说假话，即可确定能证明此题的人.

【详解】

由题设知：丁和丙的说法矛盾，他们有一人说了真话，则甲、乙说了假话，又四名同学中只有一人会证明此题，

∴甲会证明，乙、丙、丁都不会证明，

故选：A.

5．D

【分析】

利用反例可说明AB错误；采用作差法可验证出C错误，D正确.

【详解】

对于A，当时，，A错误；

对于B，当，时，，，此时，B错误；

对于C，，，C错误；

对于D，，，，，

，D正确.

故选：D.

6．B

【分析】

由诱导公式对条件化简求得，根据两角差的正切公式，代入问题里面，求得结果即可.

【详解】

，

则

故选：B

7．C

【分析】

利用反证法定义求解即可

【详解】

利用反证法定义，应假设都大于2

故选：C

8．C

【分析】

根据函数是偶函数，由，结合，求得，再根据，利用平移变换求解.

【详解】

因为函数是偶函数，

所以，

因为，

所以，

所以，

要得到函数的图象，

只需将函数的图象向右平移个单位即可，

故选：C．

9．B

【分析】

将直线与曲线的方程化为普通方程，可知曲线为圆，再计算出圆心到直线的距离，利用几何法可判断出直线与曲线的位置关系.

【详解】

直线的极坐标方程可化为，即，

所以，直线的普通方程为，

曲线的普通方程为，曲线是圆心为原点，半径为的圆，

坐标原点到直线的距离为，

因此，直线与曲线相切.

故选：B.

10．A

【分析】

将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用减去所得结果即可得解.

【详解】

由表格中的数据可得，，

由于回归直线过样本的中心点，则，解得，回归直线方程为，

将代入回归直线方程可得，

因此，第周的残差为.

故选：A.

11．D

【分析】

运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.

【详解】

由，令，

因此，因为，所以，

因此的最小值是，

故选：D

12．D

【分析】

根据图2求出噪音的声波曲线对应的函数的解析式，再结合题意进行求解即可.

【详解】

由2可知：过两点，

所以有，

，

当时，，显然A不符合题意，此时函数的周期为，要想抵消噪音，只需函数向左或向右平移一个单位长度即可，

即得到，

或，故选项D符合，

显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意，

故选：D

【点睛】

关键点睛：根据图象求出正弦型函数的解析式，结合题意利用平移解决问题是解题的关键.

13．

【分析】

根据已知可得，又由同角三角函数的基本关系求出，最后利用诱导公式可求.

【详解】

解：，均为锐角，

，

，

，

，

，

.

故答案为：.

14．．

【分析】

根据题中条件，由扇形面积公式，即可得出结果.

【详解】

扇形的圆心角为144°，半径为，

所以扇形的面积为．

故答案为：．

15．

【分析】

利用归纳推理即可得出答案.

【详解】

依题可知第5个的等式为.

故答案为：

16．

【分析】

利用三元基本不等式求函数值域，注意等号成立条件是否在定义域内.

【详解】

由，则当且仅当时等号成立，

∴函数值域为.

故答案为：.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）运用诱导公式化简再代值即可；

（2）条件先平方，算出即可获解.

【详解】

（1）由题可知

原式

（2）,两边平方可得，解得

，又

，则

所以

18．（1），；（2）.

【分析】

（1）由消元可得圆的普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）利用几何法可求圆的弦长．

【详解】

（1）曲线的参数方程为(为参数)，转换为直角坐标方程为.

直线l的极坐标方程为：()=，根据转换为直角坐标方程为．

（2）利用圆心到直线的距离，

所以=.

19．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；

（2）由求出的取值范围，即可得到函数的单调递增区间；

（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得；

【详解】

解：

（1）因为，所以函数的最小正周期

（2）由得

的单调递增区间为

（3）因为，所以，所以，所以

所以函数的值域为.

20．（1）表格见解析，没有；（2）.

【分析】

（1）根据频数表计算后可得列联表，计算出后可得结论；

（2）按照分层抽样得两组的人数，并编号，然后用列举法写出任取3人的所有基本事件，并可得出至少有1人收入在的基本事件，计数后可得概率．

【详解】

（1）2×2列联表如下：

∴，

所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．

（2）按照分层抽样方法可知，月收入在的抽4人，记为，月收入在的抽2人，记为，

则从6人中任取3人的所有情况为：

、、、、、、、

、、、、、、、

、、、、、，共20种，

其中至少有一人月收入在的情况有16种，

所以3人中至少有1人月收入在的概率为．

【点睛】

方法点睛：本题考查独立性检验，考查古典概型．独立性检验的步骤：一是根据所给数据填写列联表，二是根据列联表计算，三是把与临界值比较，然后可得结论．

21．（1）；（2）．

【分析】

（1）利用古典概型概率的计算公式可求概率；

（2）设，可利用公式求出关于的线性回归方程，从而可得所求的与指数函数有关的回归方程.

【详解】

解：（1）设6年中任意选取两年，仅有1年的新能源汽车保有量大于4（万辆）为事件A，

∴．

所以，仅有1年的新能源汽车保有量大于4（万辆）的概率为．

（2）对两边取自然对数得：，设，

∴

∴，

∴．

∵，∴，∴．

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）分类讨论去绝对值即可求解；

（2）利用绝对值不等式求出，即可解出不等式.

【详解】

解：（1）∵，由，

则，

当时，，解得，；

当时，，解得，；

当时，，解得，，

综上，不等式的解集是；

（2）∵，

当时“”成立，故，

由关于x的不等式恒成立，

可得，

故，解得：，

故实数的取值范围是.

【点睛】

关键点睛：本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是分类讨论去绝对值.