2021省齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二6月月考数学（理）试题含答案

三立高级中学2020-2021学年度下学期第二次月考试题

高  二  数 学（理 科）

时  间 ：120分钟           满分 ：150分

               2021.6

第I卷（选择题）   

一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．若纯虚数满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．极坐标系中，点到极轴和极点的距离分别为（    ）

A．            B．             C．              D．

3．展开式中的系数为（    ）

A． B．14 C． D．84

4．从甲、乙等位同学中任选人参加志愿者服务，则选中的人中甲、乙至少有人的情况有（    ）

A．种 B．种 C．种            D．种

5．若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．计算定积分（    ）

A． B． C． D．

7．设，，随机变量X的分布列是（    ）

则方差（    ）

A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关

C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关

8．设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则的值为（    ）

(参考数据：)

A．0.1737       B．0.3474      C．0.6837      D．0.8263

9．下列关于回归分析的说法中错误的是（    ）

A．回归直线一定过样本中心

B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C．甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好

D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

10．第届冬季奥林匹克运动会将于年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市人进行调查统计，得到如下列联表．

根据列联表可知（    ）

参考公式：，其中．

附表：

A．该市女性居民中大约有的人关注冰雪运动

B．该市男性届民中大约有的人关注冰雪运动

C．有的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关

D．有的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关

11．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种         D．96种

12．若函数存在零点，则的取值范围为（      ）

A．        B．     C．        D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．某班班会准备从含甲、乙、丙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为______．

14．i表示虚数单位，则______．

15．的展开式中常数项为___________.

16．设随机变量ξ服从二项分布 ，则等于__________

三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17．为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分.随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：

男居民评分结果的频数分布表

为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：

（1）求的值；

（2）为进一步改善物业服务状况，从评分在的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为，求的分布列与数学期望；

（3）以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率.

18．高一某学生参加学校的数学竞赛选拔考试，本次考试共有道选择题组成.得分规定：做对一道题得分，做错一道题得分，不做得分，分及格.该学生的目标至少得分，且确定该学生前道题的均正确，而剩下的道题每道题做对的概率均为.

（1）若该学生道题全都做，求得分的分布列和数学期望；

（2）该学生做多少道题时及格的概率最大？

19．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如下表所示：

（1）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）

（2）建立关于的回归方程；

（3）若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩．

参考数据：，；

参考公式：相关系数，，．

20．某小区准备在小区广场安装运动器材，为了解男女业主对安装运动器材的意愿情况，随即对该小区100名业主做了调查，得到如下2×2列联表：

（Ⅰ）判断能否有的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”；

（Ⅱ）从不愿意安装运动器材的业主中按性别用分层抽样的方法抽取5人，了解不愿意安装运动器材的原因，再从这5人中选2人参观其他小区的运动场所，求这2人中恰好有1人为女业主的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

21．已知函数.

（Ⅰ）求的单调递减区间；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.

22．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在实数a，使得有两个零点？说明理由．

参考答案

1．A

【分析】

设，代入即可,

【详解】

设.则，所以，.

故选：

2．C

【分析】

根据极坐标的定义求解.

【详解】

点到极轴的距离，到极点的距离.

故选：C

3．B

【分析】

求得二项展开式的通项，结合通项公式，确定的值，代入即可求解.

【详解】

由题意，二项展开式的通项公式为，

令，得，所以的系数为.

故选：B.

4．D

【分析】

列举法写出所有情况即可.

【详解】

设这五位同学分别是甲、乙、丙、丁、戊，则从这人中任选人且选中的人中甲、乙至少有人的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊，共种情况.

故选：D．

5．B

【分析】

由切点在切线上可得，可得，根据导数的几何意义，导数值就是该点处的切线的斜率，即可得解.

【详解】

函数的图象在点处的切线方程是，

可得，，

则.

故选：B.

6．B

【分析】

利用微积分的基本定理求解.

【详解】

，

，

故选：B

7．B

【分析】

根据方差公式求出方差，再判断即可.

【详解】

由分布列可得，

故.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式.

8．D

【分析】

由已知得，，再根据正态分布密度函数的对称性和参考数据可得选项.

【详解】

因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以，即，

所以，

故选：D.

9．C

【分析】

根据回归直线过样本中心点可判断A选项的正误；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B选项的正误；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C选项的正误；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确；

对于B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确；

对于C选项，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误；

对于D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确.

故选：C.

10．C

【分析】

计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【详解】

由列联表中的数据可得，

因此，有的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关.

故选：C.

11．C

【分析】

根据题意分3步进行分析：将除A，B，C之外的三人全排列，A必须安排在D相邻的两个空位中，将B，C安排在剩下的3个空位中，利用分步计数原理可得.

【详解】

根据题意分3步进行分析：

第一步，将除A，B，C之外的三人全排列，有种情况，

第二步，由于必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，

第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有种情况，

则共有种不同的安排方法.

故选：C.

12．B

【分析】

函数存在零点，即有根，构造同构的形式，利用换元法转化为，利用导数研究函数的值域即可.

【详解】

方法一：

函数存在零点，即有根.

因为，所以有根.

设，则，即

令，则，

当时，，所以在上单增；

当时，，所以在上单减；

所以当时，y有最小值1.

要使有解，只需.

故选：B.

方法二：

因为，

所以.

令，因为在上单调递增，

所以，即.

当时， ;当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以.

要使代存在零点，只需，即.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：

①利用最值或极值研究；

②利用数形结合思想研究；

③构造辅助函数硏究.

13．

【分析】

根据题意利用排列组合首先求出基本事件总数，再求出要求的条件所包含的基本事件个数，利用古典概型即可求得结果.

【详解】

某班班会准备从含甲、乙、丙的6名学生中选取4人发言，

要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，

所以基本事件总数，

甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻包含的基本事件个数，

所以甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为.

故答案为：.

14．1

【分析】

根据虚数单位的运算性质求解出原式的结果.

【详解】

解：因为，

所以且，

所以，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：虚数单位的常见运算性质：

（1）；

（2）.

15．

【分析】

直接利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】

，

故展开式中常数项为：.

故答案为：

【点睛】

二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．

16．

【分析】

将转化为求，即可得到答案；

【详解】

，

故答案为：.

17．（1）0.015；（2）分布列见解析，；（3）.

【分析】

（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和为1求解即可；

（2）根据题意，随机变量服从超几何分布，进而求解即可；

（3）由频率分布直方图得女居民对物业服务“比较满意”的人数共有人，由频率分布表得男居民对物业服务“比较满意”的共有16人，进而得答案.

【详解】

（1）因为，

所以.

（2）依题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.

则，，

，.

所以随机变量的分布列为

故的分布列与数学期望.

（3）设事件{随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”}

因为样本人数200人，其中男居民共有80人，

所以样本中女居民共有120人.

由频率分布直方图可知，

女居民对物业服务“比较满意”的人数共有：人.

由频数分布表，可知男居民对物业服务“比较满意”的共有16人，

所以随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”的概率为.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中的数据计算，超几何分布，频率估计概率等问题，考查数据处理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于认真阅读试题，理清数据，合理的进行数据处理，求解.

18．（1）分布列见解析，数学期望；（2）该学生解答道题时及格的概率最大.

【分析】

（1）首先确定所有可能的取值，利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；利用数学期望的计算公式可求得；

（2）分别计算出该学生再做对时及格的概率，由此可得结果.

【详解】

（1）由题意知：可能取值为，

；；

；；

；

的分布列为：

.

（2）该学生前道题的均正确，再做道题及格的概率为；

再做道题及格的概率为；

再做道题及格的概率为；

再做道题及格的概率为.

，该学生解答道题时及格的概率最大.

【点睛】

方法点睛：求解离散型随机变量分布列的步骤为：

1.首先确定随机变量的所有可能取值；

2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；

3.进行列表，画出分布列的表格；

4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．

19．（1）答案见解析；（2）；（3）到2025年沙漠治理面积可突破100万亩．

【分析】

（1）根据数据，求得，再分别求得、，代入公式，即可求得相关系数r，分析即可得答案.

（2）将数据代入公式，即可求得，进而可得，即可得答案.

（3）当，求得，当时，，即可得答案.

【详解】

（1）由已知数据和参考数据得，，

，

，则

所以．

因为与的相关系数近似为0.998，说明与的线性相关程度相当高，

从而可以用线性回归模型拟合与的关系．

（2），．

所以回归方程为．

（3）当时，，

当时，，

所以到2025年沙漠治理面积可突破100万亩．

20．（Ⅰ）没有；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）由已知求得的值，与临界值比较可得结论；

（Ⅱ）分别列举从5人中选2人的事件，得到2人中恰好有1人为女业主的事件，再由古典概型概率计算可得．

【详解】

（Ⅰ）由表中数据可得的观测值 ，

∴没有的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”.

（Ⅱ）∵不愿意安装运动器材的业主中，男业主与女业主的人数之比为，

∴抽取的5人中男业主有3人，女业主有2人.

设这3名男业主分别为A，B，C，这2名女业主分别为a，b，

从5人中选2人有共10种选法，

其中恰有1名女业主的选法有，共6种，

∴所求概率为.

21．（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.

【详解】

（Ⅰ）由题可知.

令，得，从而，

∴的单调递减区间为.

（Ⅱ）由可得，

即当时，恒成立.

设，则.

令，则当时，.

∴当时，单调递增，，

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，

∴.

【点睛】

思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围.

22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）存在；答案见解析．

【分析】

（1）首先求出函数的定义域，再求出导函数，令，则，，再对参数分类讨论，即可求出得到函数的单调区间；

（2）结合（1）的结论，求出函数的极值，即可得到函数的零点，从而求出参数的取值范围；

【详解】

解：（1）函数的定义域为，

，令，则，．

（ⅰ）若，则恒成立，所以在上是增函数．

（ⅱ）若，则，当时，；当时，．

（ⅲ）若，则，当时，；当时，．

综上所述；当时，在上是增函数；

当，在，上是增函数，在上是减函数；

当时，在，上是增函数，在上是减函数．

（2）由（1）知（ⅰ）当时，在上是增函数，至多一个零点．

（ⅱ）当，在，上是增函数，在上是减函数．

此时，所以至多一个零点．

（ⅲ）当时，在，上是增函数，在上是减函数．

此时，

由，

所以存在一个，使．

，

若存在两个零点，则有解即可．

设，

，

所以在上是增函数，

由，，

所以存在一个，使得，，

综上，存在，使得有两个零点．

【点睛】

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．