黑龙江省齐齐哈尔三立高级中学有限公司2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

三立高级中学2020-2021学年度下学期期中考试题

高  二  数 学（理 科）

第I卷（选择题）   

一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．2            B．            C．       D．

2．已知＝10，则n的值为（    ）

A．10           B．5             C．3          D．2

3．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（    ）

A．        B．1              C．       D．

4．已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（    ）

A．       B．            C．          D．

5．函数的单调递增区间为（    ）

A．    B．     C． D．，

6．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（    ）

A．36      B．120         C．720         D．240

7．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为（    ）

A．      B．       C．3    D．8

8．男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（    ）

A．     B．         C．   D．

9．函数的图像大致是（    ）

A．     B．

C．D．

10．在的二项展开式中，项的系数为（    ）

A．2       B．6      C．15           D．20

11．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ）

A．      B．      C．     D．

12．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为（    ）

A．     B．     C．   D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．__________.

14．有8个座位连成一排，现有5人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有___________(用数字作答).

15．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.

16．若(x＋a)25的展开式中常数项为－1，则a的值为________．

三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17．已知．求：

（1）展开式中第项的二项式系数；

（2）展开式中第项的系数；

（3）展开式的第项．

18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起；

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

19．⑴计算：        ⑵已知，求n.

20．已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

21．已知函数，且在点处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围.

22．已知函数，

（1）若直线与曲线相切，求的值．

（2）当时，求证：当时，恒成立．

参考答案

1．C

【分析】

根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果.

【详解】

因为，所以，

所以复数的虚部为.

故选：C

2．B

【分析】

根据组合数公式计算结果.

【详解】

由，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍)．

故选：B

3．D

【分析】

直接利用导数求切线斜率即可.

【详解】

设切线的斜率为，由，则，则有.

故选：D.

4．B

【分析】

根据极值与导数的关系判断．

【详解】

由知，时，，时，，时，，是极值点．虽然有，但在7的两侧，，7不是极值点．

故选：B．

5．D

【分析】

先求解出的解析式，然后根据的取值正负判断出的单调递增区间.

【详解】

因为，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

所以的单调递增区间为：和，

故选：D.

6．C

【分析】

分两步,第一步先排第一排,第二步再排第二排,然后利用分步乘法计数原理求解

【详解】

解：由于6人排两排，先排第一排共有6×5×4=120(种)，再排第二排，共有3×2×1=6(种).由分步乘法计数原理可知，共有120×6=720(种)方法.

故选：C

7．B

【分析】

依题意可得即可求出参数的值，再求出函数的导函数，求出函数的单调区间，列出表格即可求出函数在给定的区间上的最小值；

【详解】

解:由题意可得．由，解得，经检验得时，有极大值，所以，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最小值为．

故选：B

8．B

【分析】

先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.

【详解】

由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：，

所以不同的排法有种.

故选：B.

9．B

【分析】

首先对函数求导，利用导函函数求单调性，判断极值点的个数，再利用当时，恒成立，利用排除法可得正确选项.

【详解】

，

令，解得：或，

令，解得：，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，

当时，，，所以恒为正，排除选项C，

即只有选项B符合要求，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

10．C

【分析】

通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用的指数为2，求出展开式中的系数．

【详解】

展开式的通项为．

令得到展开式中的系数是．

故选：C．

11．C

【分析】

当时，利用导数确定函数函数有两个零点从而可得在上无解，讨论的取值，确定方程在上无解，即可.

【详解】

因为函数有2个零点，

则有2个解，

当时，，，

令得，所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，又，

当时，的图象与直线有2个交点，

当时，则与直线无交点，

即在上无解，

即在上无解，

当时，符合题意，

当时，与的负半轴始终交点，不符合题意，

当时，若在上无解，

则，即，所以，

综上知：，即的取值范围是.

故选：C

12．D

【分析】

构造函数，由，结合已知条件知的区间单调性，进而得到在上恒负，在上恒正，即可求解函数不等式的解集.

【详解】

，

在为减函数，而，

∴在上，；在上，；而，

∴在上，又函数为奇函数，

∴在上.

不等式等价于或，

∴.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：

（1）构造，由已知条件知在为单调递减且.

（2）由在、的符号及，得到在上恒负.

（3）由奇偶性判断在定义域上的符号.

（4）由函数不等式求解集即可.

13．

【分析】

直接利用微积分的基本定理求解.

【详解】

，

故答案为：

14．3600

【分析】

由题可得恰有两个空座位相邻，即有1个空位与这2个空位不相邻，则可将2个相邻空位捆绑在一起，与另一个空位进行插空.

【详解】

由题可得恰有两个空座位相邻，即有1个空位与这2个空位不相邻，则可将2个相邻空位捆绑在一起，与另一个空位进行插空.

分两步进行：

先将5人全排列，有种情况，

将“两个”空位进行插空，有种情况，

则恰有两个空座位相邻的不同坐法有种.

故答案为：3600.

15．

【分析】

先求出复数，计算出后可求的值.

【详解】

因为，故，所以，

故，故，

故答案为：.

16．1或9

【分析】

利用二项展开式的通项公式以及多项式相乘得出－a2＋10a－10＝－1，解方程即可求解.

【详解】

解析：由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而5的展开式通项为

Tk＋1＝(－1)k·xk－5，其中k＝0，1，2，…，5．

于是的展开式中x－2的系数为(－1)3＝－10，

x－1项的系数为(－1)4＝5，常数项为－1．

因此(x＋a)2的展开式中常数项为1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－a2＋10a－10，

依题意－a2＋10a－10＝－1，即a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9．

故答案为：1或9.

17．（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）利用二项式定理可得出展开式第项的二项式系数为；

（2）利用二项式定理可得出展开式第项的系数为；

（3）利用二项式定理可得出展开式的第项.

【详解】

的展开式通项为，

其中且.

（1）展开式中第项的二项式系数为；

（2）展开式中第项的系数为；

（3）展开式的第项为.

18．（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720

【分析】

（1）根据排列的定义进行求解即可；

（2）运用分步计数原理，结合排列的定义进行求解即可；

（3）运用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可；

（4）运用插空法，结合排列的定义进行求解即可；

（5）法一：运用特殊元素优先法，结合排列的定义进行求解即可；

法二：运用特殊位置优先法，结合排列的定义进行求解即可；

（6）法一：运用特殊元素优先法，结合排列的定义进行求解即可；

法二：运用间接法，结合排列的定义进行求解即可.

【详解】

（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种).

（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种).

（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).

（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1 440(种).

（5）法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种).

法二　(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3 600(种).

（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有＋＝3 720.

法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3 720(种).

19．

【分析】

利用组合数的性质即可计算.

【详解】

由组合数的性质可得.

20．

【分析】

由排列数公式和组合数公式即可求解.

【详解】

由得，，解得.

21．（1）单调递增区间是；（2）.

【分析】

（1）求导函数，令导函数大于零，解不等式得解.

（2）构造新函数，判断新函数的单调性，由单调性建立符合满足题设的不等式，进而可得参数范围.

【详解】

（1）函数在定义域是.

因为，

令，又，得，

所以函数的单调递增区间是

（2）由，得

令

则

由，得，

由，得，

所以函数在内单调递减，在内单调递增，

由题可知方程在区间内恰有2个相异的实根，

则，即，

由

解得，

综上所述，实数a取值范围是.

【点睛】

思路点睛：方程根的个数转化为函数单调性探究，以及最值的符号讨论.

22．（1）0；（2）.

【分析】

（1）依题意得，解方程即可；

（2）原方程化为，令，求导分析单调性，求值域即可求的取值范围．

【详解】

（1），，

∵函数在点处取得极值，，

即当时，，

，解得，经检验符合题意；

（2），，.

令，则.

∴当时，，随的变化情况如下表：

计算得，，，，

所以的取值范围为．

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

23．（1）；（2）证明见解析．

【分析】

（1）设切点，由，解方程即可求得结果；

（2）利用分析法可知，要证对恒成立，通过化简变形可知只需证明对恒成立，构造函数,求得可知函数为增函数,所以只需证明即可，再次构造函数,利用导数求得最值即可证得结果.

【详解】

（1）设直线与相切于点，

则，解得：，，；．

（2）要证对恒成立；

只需证：对恒成立；

即证:对恒成立；

两边同时加，即证,对恒成立；

即证:,对恒成立；

设，则，∴是增函数

只需证:，即对恒成立；

设，则，

∴在单减，在单增，

∴，所以当时，成立．

∴当时，当时，恒成立.

【点睛】

关键点睛：本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题的关键点将证明问题变形为对恒成立,对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立.