2021-2022学年天津市河东区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年天津市河东区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是

A.  B. 且 C.  D. 且

2. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，若、、分别是三边中点，，，，则的周长为

A.
B.
C.
D.

5. 若下列左边的式子有意义，则运算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 已知为正整数，且是整数，则的取值不可能是

A.  B.  C.  D.

7. 满足下列条件时，不是直角三角形的是

A. ，， B. ：：：：
C. ：：：： D.

8. 如图，在平行四边形中，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，下列四个判断中，不正确的是

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，则四边形是矩形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若且，则四边形是正方形
 

10. 如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，点是边上的动点点与点、不重合，设点为线段的中点，过点作，垂足为点，连接、若，则在点运动过程中的大小为

A.  B.
C.  D. 发生变化，无法确定

12. 已知直角三角形的斜边长为，周长为，则这个三角形的面积

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 化简：          ．
14. 若实数、满足，则______．
15. 已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是______．
16. 如图，折叠形的一边，点落在边上的点处，是折痕，已知，则 ______ ．
     

17. 如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点，是的中点，连接，若，则的长为______．
    
     

18. 我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”凸四边形的对角线，且这两条对角线的夹角为，那么该四边形较长的“中对线”的长度为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共46分）

19. 计算题：
    ；
    ．
20. 如图，一块草坪的形状为四边形，其中，，，，，求这块草坪的面积．
     

21. 在解决问题：“已知，求的值”．
    ，
    ．
    ，
    ，
    ，
    ．
    请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
    化简：______．
    若，求的值．
22. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    连结，若，，，求四边形的面积．
     

23. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
    线段与有什么数量关系，并说明理由；
    当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
24. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，同时停止．
    、出发秒后，求的长；
    当点在边上运动时，出发几秒钟后，能形成直角三角形？

25. 在正方形中，是边上任意一点，连接，点在上，，连接．
    以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连接如图求证：；
    点在边上移动，当时，直线与、的延长线分别交于点、如图，直接写出、、的数量关系：______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据二次根式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．是最简二次根式，故A符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理，数轴 正确应用勾股定理是解题关键．
直接利用勾股定理进而得出点 表示的数．
【解答】
解： ， ， ，
，
点 表示的数为： ．
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：，，分别是，，边的中点，，，，，
，，，
的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、当时，，故A不符合题意；
B、当，时，，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、当，时，，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的乘除法的法则，二次根式的化简，二次根式有意义的条件对各选项进行分析即可．
本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 

6.【答案】

【解析】解：，
是整数，
可以是，，，不能等于，
故选：．
首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值．
本题考查了二次根式的意义，关键是正确进行化简．
 

7.【答案】

【解析】解：、，是直角三角形，不合题意；
B、，是直角三角形，不合题意；
C、：：：：，，不是直角三角形，符合题意；
D、，，，，是直角三角形，不合题意；
故选：．
依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
．
，
．
，
故选：．
直接利用“平行四边形的对角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：因为，，所以四边形是平行四边形．故A选项不符合题意．
因为，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故B选项不符合题意．
因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形．故C选项不符合题意．
如果且，不能判定四边形是正方形，故D选项符合题意．
故选：．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟记平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：，
故．
故的取值范围是．
故选：．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，点为线段的中点，
，即，
，点为线段的中点，
，即，
，
点、、、在以点为圆心的同一个圆上；
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，得到，证明结论，于是得到结论．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：设其中一直角边长为，则另一条直角边长为：，
根据勾股定理得：，
解得：或，
直角三角形的两直角边为，，
这个三角形的面积为
故选：．
设其中一直角边长为，用含的式子表示出另一条直角边，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，从而确定出直角边，利用三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案是：．
二次根式的性质：，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
则原式．
故答案是：．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

15.【答案】

【解析】解：菱形的两条对角线长为和，
菱形的面积
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，另外，菱形的面积可以利用底乘以高，也可以利用对角线乘积的一半求解．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．
根据折叠的性质和勾股定理可知．
【解答】
解：连接 ， ，

， ，
在 中， ，
．
设 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ．
故 EC 的长为 ．
故答案为： ．   

17.【答案】

【解析】解：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点为的中点，
，
、，
，
，
故答案为：．
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：设四边形的“中对线”交于点，连接、、、，
，分别为，的中点，
，，
同理可得：，，，，
四边形为菱形，，
，
，
在中，，
，即该四边形较长的“中对线”的长度为，
故答案为：．
连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，，，证明四边形为菱形，根据菱形的性质和勾股定理计算，得到答案．
本题考查的三角形中位线定理、菱形的判定定理和性质定理，根据三角形中位线定理和菱形的判定定理证明四边形为菱形是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；

原式
．

【解析】直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
直接利用平方差公式以及完全平方公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：连接，在中，，则．
，又
是直角三角形
草坪面积．
这块草坪的面积为平方厘米．

【解析】连接，由，，可知，由、、的长可判断出是直角三角形，根据两三角形的面积可求出草坪的面积．
本题是勾股定理在实际中的应用，比较简单．
 

21.【答案】

【解析】解：，
故答案为：；
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
分子分母同时乘以，进行计算即可解答；
先利用分母有理化化简的值，然后再利用完全平方公式求出的值，最后整体代入进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解例题并应用例题解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
，
▱的面积．

【解析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，可证，可得结论；
先证是等边三角形，可求的面积，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

23.【答案】解：．
理由如下：依题意得，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
当满足：时，四边形是矩形．
理由如下：，，
四边形是平行四边形，
，三线合一，
，
▱是矩形．

【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用等量代换即可得证；
先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是．
 

24.【答案】解：由题意可得，
，，
，
，
即的长为；
当时，，
，，，
，
，
，
解得，
，
当是直角三角形时，经过的时间为：秒；
当时，点运动到点，此时运动的时间为：秒；
由上可得，当点在边上运动时，出发秒或秒后，能形成直角三角形．

【解析】根据题意可以先求出和的长，然后根据勾股定理即可求得的长；
根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
 

25.【答案】

【解析】解：四边形 为正方形，
，，
，
由题意可知：，
在和中，
，
≌，
，，
由旋转可知：，
，
，
即，
，，
≌ ，
，
又，
，
；

．
理由：如图，连接，

，，
，
，，
，，均为等腰直角三角形，
，，，
，，
，
又，
，
即，
又，，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，，
．
故答案为：．
先证≌，根据全等得出，，求出，再证出≌得出，即可得；
连接，可得，，均为等腰直角三角形，证明≌，根据全等三角形的性质可得，，则，在中，，由，，即可得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转变换的性质，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理以及旋转变换的性质是解题的关键．