2022-2023学年天津市河东区三片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市河东区三片八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

4.  如图，在中，于点，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平行四边形的对角线、相交于点，是边的中点，连接，若，则线段的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，平行四边形的对角线，相交于点，则下列判断错误的是(    )

A. ≌
B. ≌
C. 和的面积相等
D. 和的面积相等

7.  如图，中，，于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，圆柱的高为，底面半径为，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，四边形是正方形，垂直于，且，，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若、都是实数，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

11.  如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  二次根式中字母的取值范围是______．

14.  与最简二次根式是同类二次根式，则          ．

15.  如图，水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑物工地，在间建一条直水管，则水管的长为______

16.  如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于点、，如果矩形的两邻边长分别是，，那么阴影部分的面积是______．

17.  已知，化简：______．

18.  如图，在直角坐标系中，是边长为的等边三角形，点始终落在轴上，点始终落在轴上，则的最大值是______．
 

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
如图，在中，，，是上一点，，．
求证：；
求长．

21.  本小题分
一架方梯长米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米，
这个梯子的顶端距地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
 

22.  本小题分
如图，四边形是矩形纸片，，，在上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处．
的长 ______ ；
的长 ______ ；
的长 ______ ；
求的长．

23.  本小题分
如图，矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
当平分时，写出与的数量关系，并说明理由．
 

24.  本小题分
如图所示，在直角梯形中，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位长度的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时停止运动、另一个动点也随之停止运动设运动的时间为秒．
设的面积为， ______ 用含的式子表示；
当为何值时，四边形是平行四边形？
分别求出当为何值时，
；
．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
即在到之间，
故选：．
先估算出的范围，再得出选项即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
，，
．
，，
．
故选：．
在中，于点，得出和是直角三角形；已知，，由勾股定理得到的长度，再结合，利用勾股定理得到的长度．
本题侧重考查知识点的理解、应用能力．本题是一道求三角形边的题目，需结合直角三角形的勾股定理进行求解．
 

5.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线、相交于点，
，
点是的中点，
，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
先证得是的中位线，由平行四边形的性质求得的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理；熟记平行四边形对角线互相平分和三角形的中位线定理是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、不一定等于，
≌错误，故此选项符合题意；
B、≌CDA正确，故此选项不符合题意；
C、≌，
和的面积相等正确，故此选项不符合题意；
D、和的面积都是面积的倍，所以和的面积相等正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，，
．
故选：．
在中，利用勾股定理求出，然后根据，可求出．
此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键有两点：利用勾股定理求出，利用面积表达式求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：底面圆周长为，底面半圆弧长为，即半圆弧长为：，展开得：
，，
根据勾股定理得：．
故选：．
此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
此题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
首先利用勾股定理求出，阴影部分的面积正方形的面积直角三角形的面积．
本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查被开方数的非负性，比较简单．
要使等式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出、的值，最后求的值．
【解答】
解：要使有意义，被开方数必须为非负数，
则，，
解得，
，
．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长为，
又，
四边形的周长为．
故选：．
利用勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，且，，
．
，，
四边形为矩形，
，
当最小时，最小．
当时，最小，此时，
，
，
线段的最小值为．
故选：．
连接由勾股定理可求出，又易证四边形为矩形，即得出，说明当最小时，最小．又可知当时，最小，结合等积法求出的值，即可求出线段的最小值．
本题考查勾股定理，矩形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，并结合矩形的判定和性质理解当最小时，最小是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
，
又，，
．
故答案为：．
由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
≌，
阴影部分的面积为：
，
．
故答案为：．
根据矩形的性质可得，，从而可以证明≌，可得阴影部分的面积即为三角形的面积．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：，

．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，以及三角形的三边关系，作出辅助线构造出三角形是解题的关键．
取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质可以求出的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得点、、三点共线时，的长度最大，然后计算即可得解．
【解答】
解：如图，取的中点，连接、，

则，
，
在中，，
所以，当点、、三点共线时，的长度最大，
最大值为．
故答案为：．  

19.【答案】解：

；


． 

【解析】利用平方差公式进行运算，进行乘法运算，再算加减即可；
先化简，进行除法运算，最后进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

20.【答案】证明：，，，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
． 

【解析】点拨
根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据勾股定理：
梯子顶端距离地面的高度为：米；
梯子下滑了米，
即梯子顶端距离地面的高度为米，
根据勾股定理得：，
解得米．
即梯子的底端在水平方向滑动了米． 

【解析】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出下滑后梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
 

22.【答案】；
；
；
设，则，，
在中，，
，
解得．
则． 

【解析】解：根据折叠可得，
故答案为：；
四边形是矩形，
，，
在直角三角形中：，
故答案为：；
四边形是矩形，
，
，
故答案为：；
见答案．
根据折叠的性质得；
先根据矩形的性质得，在中，利用勾股定理计算出，
根据矩形的性质得，则，
设，则，，然后在中根据勾股定理得到，再解方程即可得到的长．
本题考查了图形的折叠，矩形的性质和勾股定理，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

23.【答案】解：证明：四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
．
证明：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，
，
，
． 

【解析】利用矩形的性质，即可判定≌，即可得到，再根据，即可得出四边形是平行四边形；
先判定是等腰直角三角形，可得，再根据是的中点，可得，依据，即可得到．
本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
 

24.【答案】 

【解析】解：直角梯形中，，，，，，
依题意，，则，，
过点作于，

则四边形是矩形，，
，
故答案为：；
当四边形是平行四边形时，，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
，，
当时，，
，
，即，
解得：，
当时，；
当时，，
解得：，
当时，．
由题意知：，，将和的长代入，可求出与之间的函数关系式；
当四边形为平行四边形时，，即，可将求出；
当时，可得：，从而可将求出；当时，根据即：可将求出．
本题主要考查四边形的综合应用，掌握梯形、平行四边形的特殊性质是解题的关键．